ผลิตภัณฑ์ภายในระหว่างเวกเตอร์สองตัว

โอ ผลคูณจุดระหว่างเวกเตอร์สองตัว เป็นจำนวนจริงที่เกี่ยวข้องกับขนาดของเวกเตอร์เหล่านี้ นั่นคือ ความยาว และมุมระหว่างพวกมัน ในการคำนวณจึงจำเป็นต้องทราบความยาวและมุมที่ก่อตัว

โดยใช้ระนาบเป็นฐาน เวกเตอร์ระบุตำแหน่ง ความเข้ม ทิศทาง และทิศทาง ดังนั้นจึงใช้ในการศึกษากลศาสตร์ (ฟิสิกส์) เป็นตัวแทนของแรงที่ใช้กับวัตถุ

การแสดงเวกเตอร์ตามปกติคือลูกศรที่สิ้นสุดที่จุดหนึ่ง พิกัดของจุดนี้เรียกว่าพิกัดของเวกเตอร์โดยเริ่มจากจุด O (0,0) เราเขียน v = (a, b) เพื่อเป็นตัวแทน ดังนั้นเวกเตอร์ v = (1,2) จะถูกวาดดังนี้:

ตัวอย่างเวกเตอร์เริ่มต้นจากแหล่งกำเนิด

ในการคำนวณความยาวของเวกเตอร์นี้ ให้พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดจากมันและการฉายบนแกน x (หรือแกน y) ดังแสดงในรูปต่อไปนี้:

ความยาวของเวกเตอร์ v

ความยาวของเวกเตอร์ v เรียกว่า v เวกเตอร์บรรทัดฐาน หรือ โมดูลเวกเตอร์ v และแสดงโดย |v| สังเกตว่าบรรทัดฐานของเวกเตอร์ v = (a, b) คือการวัดด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมที่แสดงในรูปด้านบนได้อย่างแม่นยำ ในการคำนวณการวัดนี้ เราใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

|v|² = the² + ข²

|v| = √(a² + ข² )

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จุดสองจุด

รับเวกเตอร์สองตัว u และ v ผลิตภัณฑ์ภายในระหว่างพวกมันจะถูกแทนด้วย และถูกกำหนดเป็น:

= |u||v|·cosθ

นี่เป็นการคูณระหว่างเวกเตอร์สองตัว อย่างไรก็ตาม มันไม่ได้เรียกว่าผลคูณเพราะมันไม่ใช่การคูณทั่วไป เพราะมันเกี่ยวข้องกับมุมที่เกิดจากเวกเตอร์สองตัวนี้

มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว

ผลลัพธ์แรกที่เกิดจากคำจำกัดความข้างต้นคือมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว ด้วยจำนวนจริง "dot product", "u vector norm" และ "v vector norm" จึงสามารถคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ u และ v เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เพียงทำการคำนวณ:

อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)

= |u||v|·cosθ

= cosθ
|u||v|

ดังนั้น เมื่อหารผลคูณภายในด้วยบรรทัดฐานของเวกเตอร์ u และ v เราพบจำนวนจริงที่อ้างอิงถึงโคไซน์ระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองนี้ และด้วยเหตุนี้ มุมระหว่างพวกมัน

สังเกตว่าถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวเป็นเส้นตรง cosθ จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นผลิตภัณฑ์ข้างต้นจะมีผลดังต่อไปนี้:

= 0

จากนี้สรุปได้ว่า, เมื่อให้เวกเตอร์สองตัว u และ v, พวกมันจะเป็นมุมฉากถ้า = 0.

ผลิตภัณฑ์ภายในคำนวณจากพิกัดเวกเตอร์

เมื่อพิจารณาเวกเตอร์สองตัว u = (a, b) และ v = (c, d) ผลคูณดอทระหว่าง u และ v ถูกกำหนดโดย:

= = a·c + b·d

คุณสมบัติผลิตภัณฑ์ภายใน

จากเวกเตอร์ u, v และ w และจำนวนจริง α หมายเหตุ:

ผม) =

ซึ่งหมายความว่าผลคูณภายในของเวกเตอร์คือ "สับเปลี่ยน"

ii) = +

คุณสมบัตินี้เปรียบได้กับการแจกแจงของการคูณมากกว่าการบวก

iii) = = α

การคำนวณผลคูณภายในระหว่าง u และ v คูณด้วยจำนวนจริง α จะเหมือนกับการคำนวณผลคูณภายในระหว่าง αv และ u หรือระหว่าง v และ αu

iv) = 0 <=> วี = 0

ผลคูณภายในของ v ที่มี v จะเป็นศูนย์เท่านั้นถ้า v เป็นเวกเตอร์ว่าง

วี) ≥ 0 สำหรับ v ทั้งหมด

ผลคูณภายในของ v กับ v จะมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ

โดย Luiz Paulo Moreira
จบคณิต