THE การวิเคราะห์เชิงผสม เป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับกฎการนับ ในตอนต้นของศตวรรษที่ 18 การศึกษาเกมที่เกี่ยวข้องกับลูกเต๋าและไพ่ทำให้ทฤษฎีการนับมีการพัฒนาอย่างมาก
งานของ combinatorics ช่วยให้สามารถนับได้อย่างแม่นยำมากขึ้นหลักการพื้นฐานของการนับ (พีเอฟซี)แฟกทอเรียลและประเภทของการจัดกลุ่มเป็นตัวอย่างของแนวคิดที่ศึกษาในการวิเคราะห์เชิงผสมผสาน ซึ่งนอกจากจะให้ ใหญ่กว่า ความแม่นยำช่วยได้ ไม่การพัฒนาด้านอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ เช่น ความน่าจะเป็นและ โอ ทวินามของนิวตัน.
อ่านด้วยนะ: การจัดหรือ ครวมกัน?
การวิเคราะห์เชิงผสมมีไว้เพื่ออะไร?
การวิเคราะห์เชิงผสมนั้นสัมพันธ์กับกระบวนการนับ กล่าวคือ การศึกษาวิชาคณิตศาสตร์นี้ทำให้เราสามารถพัฒนาเครื่องมือที่ช่วยให้เราดำเนินการได้ นับได้อย่างมีประสิทธิภาพ. ลองดูปัญหาการนับทั่วไปดู:
ตัวอย่าง 1
พิจารณาสามเมือง A, B และ C เชื่อมต่อกันด้วยทางหลวง R1, R2, R3, R4 และ R5. กำหนดจำนวนวิธีที่เราสามารถเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง C ผ่านเมือง B
สังเกตว่าเราต้องออกจากเมือง A ไปที่เมือง B แล้วเท่านั้นจึงจะสามารถเดินทางไปยังเมือง C ได้ ดังนั้นมาวิเคราะห์กันทั้งหมด ความเป็นไปได้ เพื่อดำเนินการตามทางหลวง
วิธีที่ 1: R1 → R3
วิธีที่ 2: R1 → R4
วิธีที่ 3: R1 → R5
วิธีที่ 4: R2 → R3
วิธีที่ 5: R2 → R4
วิธีที่ 6: R2 → R5
ดังนั้นเราจึงมีหกวิธีในการเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง C ผ่านเมือง B อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าปัญหาที่เสนอนั้นค่อนข้างง่าย และการวิเคราะห์ดำเนินการได้ลำบากเพียงเล็กน้อย ดังนั้น ต่อจากนี้ไป เราจะศึกษาเครื่องมือที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งจะทำให้สามารถแก้ปัญหาได้โดยใช้งานน้อยลง
อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)
หลักการพื้นฐานของการนับ (PFC)
พิจารณาเหตุการณ์ E ที่สามารถทำได้ใน n ขั้นตอนที่เป็นอิสระและต่อเนื่องกัน ตอนนี้ ให้พิจารณาว่าจำนวนความเป็นไปได้ในการดำเนินการขั้นตอนแรกเท่ากับ P1ให้จินตนาการด้วยว่าจำนวนความเป็นไปได้ในการดำเนินการขั้นตอนที่สองคือ P2, เป็นต้น จนกระทั่งถึงขั้นสุดท้ายซึ่งมี Pไม่ ความเป็นไปได้ที่จะดำเนินการ
หลักการพื้นฐานของการนับ (PFC) ระบุว่า ความเป็นไปได้ทั้งหมด ของการจัดงาน E มอบให้โดย:
พี1 ·ป2 · … · ปไม่
ดังนั้นผลรวมจะได้รับจากผลคูณของความเป็นไปได้ของแต่ละขั้นตอนที่ประกอบขึ้นเป็นเหตุการณ์ E โปรดทราบว่าเพื่อกำหนดความเป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับการจัดงาน E จำเป็นต้องทราบความเป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับแต่ละขั้นตอน
ตัวอย่าง 2
ลองทำตัวอย่างที่ 1 ซ้ำโดยใช้หลักการพื้นฐานของการนับ
พิจารณาภาพในตัวอย่างที่ 1
โปรดทราบว่ากิจกรรมสามารถดำเนินการได้ในสองขั้นตอน ขั้นแรกจะเริ่มต้นจากเมือง A ไปยังเมือง B และขั้นที่สองคือการดำเนินการจากเมือง B ไปยังเมือง C ในการดำเนินการขั้นตอนแรก เรามีความเป็นไปได้สองทาง (ถนน R1 และ R2) และเพื่อดำเนินการขั้นที่สอง เรามีความเป็นไปได้สามอย่าง (R3, R4 และ R5).
ขั้นตอนที่ 1 → สองความเป็นไปได้ two
ขั้นตอนที่ 2 → สามความเป็นไปได้ three
โดยหลักการพื้นฐานของการนับ เราต้อง คูณ ความเป็นไปได้ทั้งหมดของแต่ละขั้นตอน.
2 · 3
6
ดังนั้น ในการไปจากเมือง A ไปยังเมือง C ผ่านเมือง B เรามีความเป็นไปได้ทั้งหมดหกประการ
ตัวอย่างที่ 3
สามารถแจกจ่ายเหรียญโอลิมปิกสามเหรียญในการแข่งขันของ ได้กี่วิธี จักรยานเสือภูเขา กับผู้เข้าแข่งขัน 5 คน?
การจัดระเบียบการแจกเหรียญรางวัลเป็นกิจกรรมที่สามารถทำได้ในสามขั้นตอน ขั้นตอนแรกคือการวิเคราะห์ความเป็นไปได้ทั้งหมดของผู้ที่จะได้รับเหรียญทอง กล่าวคือ ห้า ความเป็นไปได้
ขั้นตอนที่สองคือการวิเคราะห์ความเป็นไปได้ของผู้ที่จะได้รับเหรียญเงิน กล่าวคือ สี่ เนื่องจากสถานที่แรกไม่ป้อนตัวเลือกนี้ ขั้นตอนที่สามคือการวิเคราะห์ความเป็นไปได้ทั้งหมดของผู้ที่จะได้รับเหรียญทองแดง กล่าวคือ สาม, ตั้งแต่สองคนแรกได้รับการคัดเลือกแล้ว
ขั้นตอนที่ 1 → ห้าความเป็นไปได้
ขั้นตอนที่ 2 → สี่ความเป็นไปได้
ขั้นตอนที่ 3 → สามความเป็นไปได้
โดยหลักการพื้นฐานของการนับ เรามี:
5 · 4 · 3
60 ความเป็นไปได้
ดูด้วย: หลักการนับบวก - การรวมชุดหนึ่งชุดขึ้นไป
แฟกทอเรียล
โอ แฟกทอเรียล เป็นวิถีของ ย่อยสลายจำนวนธรรมชาติ. ในการคำนวณแฟกทอเรียลของตัวเลข ก็แค่คูณมันด้วยจำนวนก่อนหน้าทั้งหมดจนถึงเลข 1 แฟกทอเรียลแสดงด้วยเครื่องหมายอัศเจรีย์ — “!”
ดูตัวอย่างวิธีการคำนวณแฟกทอเรียลของตัวเลขบางตัว
ก) 2! (อ่านว่า: สองแฟคทอเรียล)
สำหรับการคำนวณ เพียงคูณจำนวนที่มาพร้อมกับแฟกทอเรียลด้วยบรรพบุรุษทั้งหมดจนถึงเลข 1 เช่นนี้
2! = 2 ·1 = 2
ข) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
ค) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
ง) 1! = 1
อย่างเป็นทางการเราสามารถเขียนแฟกทอเรียลได้ดังนี้:
พิจารณาจำนวนธรรมชาติ n > 2 แฟกทอเรียลของ n ถูกระบุโดย n! และหาได้จากการคูณ n ด้วยจำนวนเต็มบวกก่อนหน้าทั้งหมด
ไม่! = n (n – 1) · (n – 2) · (n – 3) · … · 1
สังเกตแฟกทอเรียลต่อไปนี้:
4! และ 5!
ตอนนี้ดำเนินการพัฒนาทั้งสอง:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
โปรดทราบว่าในการพัฒนา 5! ปรากฏการพัฒนาของ 4!. เราก็เขียนเลข 5 ได้! ดังนั้น:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
ตัวอย่างที่ 4
คำนวณแฟกทอเรียลsecหอน:
เห็นว่า 15! ได้รับการพัฒนาจนถึงวันที่ 13!. นอกจากนี้ โปรดทราบด้วยว่า ในตัวเศษของเศษส่วน องค์ประกอบจะถูกคูณ ดังนั้นเราสามารถ "ตัด" 13 ได้! ส่งผลให้มีเพียง 15 · 14 เท่านั้น
การสังเกต:0! = 1
ประเภทการจัดกลุ่ม
ปัญหาการนับบางอย่างซับซ้อนกว่าและแก้ไขได้ง่ายขึ้นด้วยเครื่องมือใหม่ เครื่องมือเหล่านี้เรียกว่าการจัดกลุ่มเนื่องจากจัดกลุ่มองค์ประกอบด้วยวิธีต่างๆ ทำให้กระบวนการนับง่ายขึ้น การจัดกลุ่มเหล่านี้ได้แก่ การจัดเรียงอย่างง่าย การเรียงสับเปลี่ยน และการรวมกันอย่างง่าย
จัดแบบง่ายๆ simple
พิจารณาชุดที่มีองค์ประกอบต่างกัน n รายการ เรียกมันว่า การจัดเตรียม จาก n องค์ประกอบที่นำมาจาก p ถึง p ลำดับใดๆ ที่เรียงลำดับโดย p และองค์ประกอบที่แตกต่างกันที่เลือกระหว่างองค์ประกอบ
ดังนั้นจำนวนเซตย่อยที่เกิดจากองค์ประกอบ p จะเป็นการจัดเรียงขององค์ประกอบ n ที่นำมาจาก p ถึง p สูตรที่ช่วยให้เราสามารถคำนวณจำนวนการจัดเตรียมได้ดังนี้
ตัวอย่างที่ 5
คำนวณมูลค่าของ A4,2 + อา5,2.
ในการคำนวณค่าของนิพจน์ ให้กำหนดแต่ละอาร์เรย์แล้วเพิ่มค่าเหล่านั้นเข้าด้วยกัน ในการกำหนดค่าแต่ละอาร์เรย์ เราต้องแทนที่ค่าในสูตร
โปรดทราบว่า n = 4 และ p = 2 ทั้งคู่ถูกแทนที่ในสูตร ตอนนี้ เราต้องคำนวณค่าของอาร์เรย์ขององค์ประกอบห้าตัวที่นำมาสองต่อสอง
ดังนั้น เราต้อง:
THE4,2 + อา5,2
12 + 20
32
ตัวอย่างที่ 6
จำนวนธรรมชาติสี่หลักที่แตกต่างกันสามารถสร้างได้โดยใช้ตัวเลข 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 เท่าใด
ในปัญหานี้เราสามารถใช้การจัดเรียงอย่างง่ายได้ตั้งแต่ 2435 ≠ 4235 เราจะเห็นว่า ในบางกรณี ลำดับขององค์ประกอบไม่ได้แยกความแตกต่างของพวกมัน ดังนั้นเราจึงไม่สามารถใช้การจัดเรียงได้
เนื่องจากเราต้องการกำหนดจำนวนทั้งหมดที่สามารถเกิดขึ้นได้ สังเกตว่าจำนวนองค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับ is แปดและเราต้องการจัดกลุ่มเป็นสี่ต่อสี่ ดังนั้น:
การเปลี่ยนแปลงอย่างง่าย
พิจารณาชุดที่มีองค์ประกอบ n เรียกมันว่า การเปลี่ยนแปลงอย่างง่าย ของ n องค์ประกอบ ทุกการจัดเรียงขององค์ประกอบ n ที่นำ n ถึง n. ดังนั้นเราต้อง:
เพื่อไม่ให้เกิดความสับสนระหว่างแนวคิด ให้เราแสดงการเปลี่ยนแปลงอย่างง่ายขององค์ประกอบ n โดย Pไม่. ดังนั้นเราต้อง:
พีไม่ = น!
ตัวอย่าง 7
คำนวณ P7 และพี่3.
ในการคำนวณพีชคณิตเหล่านี้ เราต้องแทนที่ค่าในสูตร ดู:
พี7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
พี7 = 5040
พี3 = 3 · 2 · 1
พี3 = 6
ตัวอย่างที่ 8
กำหนดจำนวนแอนนาแกรมที่สามารถมีได้ในคำว่าบราซิล
เราเข้าใจในฐานะแอนนาแกรมการสลับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวอักษรของคำนั้น เช่น "Lisarb" เป็น แอนนาแกรม ของคำว่าบราซิล ในการกำหนดจำนวนแอนนาแกรม เราต้องคำนวณการเรียงสับเปลี่ยนของตัวอักษรในคำนั้น ดังนั้นเราต้อง:
พี6 = 6!
พี6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
พี6 = 720
ดังนั้น คำว่า บราซิล มี 720 แอนนาแกรม
เข้าถึงด้วย: การเรียงสับเปลี่ยนที่มีองค์ประกอบซ้ำๆ
การผสมผสานที่เรียบง่าย
พิจารณาเซต A ที่มีองค์ประกอบต่างกัน n ตัว เรียกมันว่า การรวมกัน ขององค์ประกอบ n ที่นำ p ถึง p เซตย่อยใดๆ ของ A ที่เกิดจากองค์ประกอบ p p. สูตรการคำนวณชุดค่าผสมถูกกำหนดโดย:
ตัวอย่างที่ 9
คำนวณการรวมกันของ 10 องค์ประกอบที่นำมาจากสี่ถึงสี่
ตัวอย่าง 10
เท่าไหร่ รูปสี่เหลี่ยม เราสามารถสร้างจุดยอดที่จุด A, B, C, D, E และ F ได้หรือไม่?
โปรดทราบว่ารูปสี่เหลี่ยม ABCD นั้นเหมือนกับรูปสี่เหลี่ยม CDBA ในบริบทนี้ เราจึงควรใช้การรวมกันไม่ใช่อาร์เรย์ เรามีคะแนนรวมหกคะแนนและเราต้องการรวมคะแนนสี่คูณสี่ดังนี้:
ดังนั้นเราจึงสามารถสร้างรูปสี่เหลี่ยมที่แตกต่างกัน 15 อัน
การวิเคราะห์เชิงผสมและความน่าจะเป็น
การศึกษาของ ความน่าจะเป็นมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการศึกษาการวิเคราะห์เชิงผสม. ในปัญหาความน่าจะเป็นบางอย่าง จำเป็นต้องกำหนดพื้นที่ตัวอย่าง ซึ่งประกอบด้วยเซตที่เกิดขึ้นจากผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเหตุการณ์ที่กำหนด
ในบางกรณี พื้นที่ตัวอย่าง E เขียนได้ตรงมาก เช่นเดียวกับการพลิกเหรียญที่ยุติธรรม ซึ่งผลลัพธ์ที่เป็นไปได้คือหัวหรือก้อย และแสดงดังนี้:
E = {หัว ก้อย}
ลองนึกภาพสถานการณ์ต่อไปนี้: แม่พิมพ์ถูกโยนสามครั้งติดต่อกัน และเราสนใจที่จะกำหนดพื้นที่ตัวอย่างสำหรับการทดลองนี้ โปรดทราบว่าการเขียนความเป็นไปได้ทั้งหมดไม่ใช่เรื่องง่ายอีกต่อไป เราจำเป็นต้องใช้หลักการพื้นฐานของการนับ (PFC) เหตุการณ์สามารถทำได้ในสามขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนเรามีความเป็นไปได้หกประการ เนื่องจากผู้ตายมีหกหน้าดังนี้:
ขั้นที่ 1 → หกความเป็นไปได้
ขั้นที่ 2 → หกความเป็นไปได้
ขั้นตอนที่ 3 → หกความเป็นไปได้
โดย PFC เรามีความเป็นไปได้ทั้งหมดดังนี้:
6 · 6 · 6
216
เราก็บอกได้ว่าพื้นที่ตัวอย่างของเหตุการณ์นี้คือ 216
เห็นว่าการศึกษาความน่าจะเป็นคือ จำเป็นต้องมีความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับการวิเคราะห์เชิงผสมเนื่องจากหากไม่มีการกำหนดพื้นที่ตัวอย่างของการทดลอง เป็นไปไม่ได้ที่จะแก้แบบฝึกหัดความน่าจะเป็นส่วนใหญ่ รายละเอียดเพิ่มเติม เกี่ยวกับสาขาวิชาคณิตศาสตร์นี้ อ่านข้อความ:ความน่าจะเป็น.
แก้ไขแบบฝึกหัด
คำถามที่ 1 – กำหนดจำนวนแอนนาแกรมของคำว่าปราสาท จากนั้นกำหนดจำนวนแอนนาแกรมที่ขึ้นต้นด้วยตัวอักษร c
ความละเอียด
ในการกำหนดจำนวนแอนนาแกรม เราต้องคำนวณการเรียงสับเปลี่ยนของจำนวนตัวอักษรดังนี้:
พี7 = 7!
พี7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
พี7 = 5040
คำนี้มี 5040 แอนนาแกรม ทีนี้ เพื่อกำหนดจำนวนแอนนาแกรมที่ขึ้นต้นด้วยตัวอักษร c เราต้องแก้ไขตัวอักษรและคำนวณแอนนาแกรมของตัวอื่น ๆ ดู:
ค__ __ __ __ __ __
เมื่อเราแก้ไขตัวอักษร c โปรดทราบว่าเหลืออีก 6 ช่องสำหรับคำนวณการเรียงสับเปลี่ยน ดังนี้:
พี6 = 6!
พี6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
พี6 = 720
ดังนั้นเราจึงมี 720 แอนนาแกรมของคำว่า Castle ที่ขึ้นต้นด้วยตัวอักษร c
คำถาม2 – ในห้องเรียนมีผู้ชายห้าคนและผู้หญิงเจ็ดคน ผู้ชายสามคนและผู้หญิงสี่คนสามารถเกิดขึ้นได้กี่กลุ่ม?
ความละเอียด
อันดับแรก ดูว่าลำดับที่เราเลือกคนไม่สำคัญ เช่น กลุ่มที่ก่อตั้งโดย João Marcos และ José เป็นกลุ่มเดียวกันที่ก่อตั้งโดย Marcos, João และ José ดังนั้น เราต้องใช้การผสมผสานสำหรับ การคำนวณ
มาคำนวณแยกกันจำนวนกลุ่มที่สามารถสร้างโดยชายและหญิงและใน แล้วมาคูณผลลัพธ์เหล่านี้กัน เพราะผู้ชายแต่ละกลุ่มสามารถคละกับ .แต่ละกลุ่มได้ ผู้หญิง
ผู้ชาย
รวม → 5
ปริมาณในกลุ่ม → 3
ผู้หญิง
รวม → 7
ปริมาณในกลุ่ม → 4
ดังนั้น จำนวนรวมของกลุ่มที่สามารถสร้างโดยผู้ชายสามคนและผู้หญิงสี่คนคือ:
ค5,3 · ค7,4
10 · 35
350
โดย Robson Luiz
ครูคณิต
