เรขาคณิตวิเคราะห์: แนวคิดหลักและสูตร

เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ศึกษาองค์ประกอบทางเรขาคณิตในระบบพิกัดในระนาบหรืออวกาศ วัตถุเรขาคณิตเหล่านี้ถูกกำหนดโดยตำแหน่งและตำแหน่งของวัตถุที่สัมพันธ์กับจุดและแกนของระบบการวางแนวนี้

เนื่องจากคนในสมัยโบราณ เช่น ชาวอียิปต์และชาวโรมัน แนวความคิดเรื่องพิกัดจึงปรากฏอยู่ในประวัติศาสตร์แล้ว แต่ในศตวรรษที่ 17 ด้วยผลงานของ René Descartes และ Pierre de Fermat ได้มีการจัดระบบคณิตศาสตร์ในสาขานี้

ระบบมุมฉากคาร์ทีเซียน

ระบบคาร์ทีเซียนมุมฉากเป็นฐานอ้างอิงสำหรับการระบุตำแหน่งพิกัด มันถูกสร้างขึ้นในระนาบโดยสองแกนตั้งฉากซึ่งกันและกัน

• จุดกำเนิด O(0,0) ของระบบนี้คือจุดตัดของแกนเหล่านี้
• แกน x คือ abscissa
• แกน y เป็นพิกัด
• สี่จตุภาคเป็นแบบทวนเข็มนาฬิกา

สั่งคู่

จุดใดๆ บนเครื่องบินมีพิกัด P(x, y)

x คือ abscissa ของจุด P และถือเป็นระยะห่างจากการฉายภาพมุมฉากบนแกน x ไปยังจุดกำเนิด
y คือพิกัดของจุด P และเป็นระยะทางจากการฉายภาพมุมฉากบนแกน y ไปยังจุดกำเนิด

ระยะห่างระหว่างสองจุด

ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนระนาบคาร์ทีเซียนคือความยาวของส่วนที่เชื่อมสองจุดนี้

ระยะห่างระหว่างสูตรจุดสองจุด และ ใด ๆ.

พิกัดจุดกึ่งกลาง

จุดกึ่งกลางคือจุดที่แบ่งส่วนออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน

สิ่งมีชีวิต จุดกึ่งกลางของเซกเมนต์ , พิกัดของมันคือวิธีการทางคณิตศาสตร์ของ abscissa และ ordinate.

และ

เงื่อนไขการจัดตำแหน่งสามจุด

รับคะแนน: .

จุดสามจุดนี้จะอยู่ในแนวเดียวกันหากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ต่อไปนี้เท่ากับศูนย์

ตัวอย่าง

สัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง

ความลาดชัน ของเส้นตรงคือแทนเจนต์ของความชันของมัน เทียบกับแกน x

เพื่อให้ได้ความชันจากสองจุด:

ถ้า m > 0 เส้นจะขึ้น มิฉะนั้น ถ้า m < 0 เส้นจะลดต่ำลง

สมการทั่วไปของเส้นตรง

ที่ไหน NS,NS และ ค เป็นจำนวนจริงคงที่และ, NS และ NS พวกมันไม่เป็นโมฆะพร้อมกัน

ตัวอย่าง

สมการเส้นตรงรู้จุดและความชัน

ได้คะแนน และความชัน .

สมการของเส้นตรงจะเป็นดังนี้:

ตัวอย่าง

รูปสมการตรงลดลง

ที่ไหน:
m คือความชัน
n คือสัมประสิทธิ์เชิงเส้น

ไม่ ถูกจัดลำดับโดยที่เส้นตัดกับแกน y

ตัวอย่าง

ดู สมการเส้น.

ตำแหน่งสัมพัทธ์ระหว่างเส้นคู่ขนานสองเส้นในระนาบ

เส้นชัดเจนสองเส้นขนานกันเมื่อความชันเท่ากัน

ถ้าตรง NS มีความชัน และตรง NS มีความชัน สิ่งเหล่านี้จะขนานกันเมื่อ:

สำหรับสิ่งนี้ ความโน้มเอียงของคุณต้องเท่ากัน

แทนเจนต์เท่ากันเมื่อมุมเท่ากัน

ตำแหน่งสัมพัทธ์ระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่แข่งขันกันในระนาบ

เส้นสองเส้นเกิดขึ้นพร้อมกันเมื่อความชันต่างกัน

ในทางกลับกัน ความลาดชันต่างกันเมื่อมุมเอียงเทียบกับแกน x ต่างกัน

เส้นตั้งฉาก

เศษสองตัวตั้งฉากเมื่อผลคูณของความชันเท่ากับ -1

สองเส้น NS และ NS, แตกต่าง มีความลาดชัน และ , จะตั้งฉากหาก และเฉพาะเมื่อ:

หรือ

อีกวิธีหนึ่งที่จะทราบว่าเส้นสองเส้นตั้งฉากหรือไม่นั้นมาจากสมการในรูปแบบทั่วไป

สมการของเส้น r และ s คือ:

สองเส้นตั้งฉากกับมันเมื่อ:

ดู เส้นตั้งฉาก.

เส้นรอบวง

เส้นรอบวงคือโลคัสบนระนาบที่จุด P(x, y) ทั้งหมดมีระยะห่างเท่ากัน NS จากจุดศูนย์กลาง C(a, b) โดยที่ NS คือการวัดรัศมี

สมการเส้นรอบวงในรูปรีดิวซ์

ที่ไหน:
NS คือรัศมี ระยะห่างระหว่างจุดใดๆ บนส่วนโค้งของคุณกับจุดศูนย์กลาง ค.
NS และ NS คือพิกัดของศูนย์ ค.

สมการทั่วไปของวงกลม

ได้มาจากการพัฒนาพจน์กำลังสองของสมการลดของเส้นรอบวง

เป็นเรื่องปกติมากที่จะแสดงรูปแบบทั่วไปของสมการเส้นรอบวงในแบบฝึกหัด หรือที่เรียกว่ารูปแบบปกติ

รูปกรวย

คำว่ากรวยมาจากรูปกรวยและหมายถึงเส้นโค้งที่ได้จากการแบ่งส่วน วงรี ไฮเปอร์โบลา และพาราโบลาเป็นเส้นโค้งที่เรียกว่ารูปกรวย

วงรี

วงรีเป็นเส้นโค้งปิดที่ได้จากการตัดรูปกรวยวงกลมตรงโดยระนาบเฉียงกับแกน ซึ่งไม่ผ่านจุดยอดและไม่ขนานกับกำเนิด

ในระนาบ เซตของจุดทั้งหมดที่มีผลรวมของระยะทางถึงจุดคงที่ภายในสองจุดเป็นค่าคงที่

องค์ประกอบวงรี:

• F1 และ F2 คือจุดโฟกัสของวงรี
• 2c คือความยาวโฟกัสของวงรี คือระยะห่างระหว่าง F1 และ F2;
• จุด อู๋ เป็นจุดศูนย์กลางของวงรี เป็นจุดกึ่งกลางระหว่าง F1 และ F2;
• A1 และ A2 คือจุดยอดของวงรี
• ส่วน แกนหลักและเท่ากับ 2a
• ส่วน แกนรองเท่ากับ 2b
• ความเยื้องศูนย์ โดยที่ 0 < และ < 1

สมการวงรีลดลง

พิจารณาจุด P(x, y) ที่อยู่ในวงรี โดยที่ x คือ abscissa และ y คือพิกัดของจุดนี้

จุดศูนย์กลางของวงรีที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดและแกนหลัก (AA) บนแกน x

จุดศูนย์กลางของวงรีที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดและแกนหลัก (AA) บนแกน y

ลดสมการของวงรีที่มีแกนขนานกับแกนพิกัด

พิจารณาจุด เป็นจุดกำเนิดของระบบคาร์ทีเซียนและเป็นจุด เป็นจุดศูนย์กลางของวงรี

แกนหลัก AA ขนานกับแกน x

แกนหลัก AA ขนานกับแกน y

อติพจน์

ไฮเปอร์โบลาคือชุดของจุดบนระนาบที่ผลต่างระหว่างจุดคงที่สองจุด F1 และ F2 ส่งผลให้เกิดค่าคงที่และเป็นค่าบวก

องค์ประกอบของอติพจน์:

• F1 และ F2 คือจุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลา
• 2c = คือความยาวโฟกัส
• ศูนย์กลางของอติพจน์คือจุด โอ้ ค่าเฉลี่ยส่วน F1F2
• A1 และ A2 คือจุดยอด
• 2a = A1A2 คือแกนจริงหรือแกนตามขวาง
• 2b = B1B2 คือแกนจินตภาพหรือแกนคอนจูเกต
• คือความเยื้องศูนย์

ผ่านสามเหลี่ยม B1OA2

ไฮเพอร์โบลาลดสมการ

โดยมีแกนจริงประมาณแกน x และจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด

โดยมีแกนจริงบนแกน y และจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด

สมการไฮเพอร์โบลาที่มีแกนขนานกับแกนพิกัด

แกนจริง AA ขนานกับแกน x และจุดศูนย์กลาง .

แกนจริง AA ขนานกับแกน y และจุดศูนย์กลาง .

คำอุปมา

พาราโบลาคือโลคัสที่เซตของจุด P(x, y) อยู่ห่างจากจุดคงที่ F และเส้น d เท่ากัน

องค์ประกอบของอุปมา:

• F คือจุดสนใจของคำอุปมา
• d เป็นแนวทางตรง
• แกนสมมาตรคือเส้นตรงผ่านโฟกัส F และตั้งฉากกับแนวปฏิบัติ
• V คือจุดยอดของพาราโบลา
• p คือส่วนที่มีความยาวเท่ากันระหว่างจุดโฟกัส F และจุดยอด V e ระหว่างจุดยอดและไดเรกทีฟ d

สมการลดลงของพาราโบลา

โดยมีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิดและแกนสมมาตรบนแกน y

ถ้า p>0 เว้าขึ้น
ถ้า p<0 เว้าลง

โดยมีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิดและแกนสมมาตรบนแกน x

ถ้า p>0 เว้าไปทางขวา
ถ้า p<0 เว้าไปทางซ้าย

โดยมีแกนสมมาตรขนานกับแกน y และจุดยอด .

โดยมีแกนสมมาตรขนานกับแกน x และจุดยอด .

ฝึกกับ แบบฝึกหัดเกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห์.

เรียนรู้เพิ่มเติมได้ที่:
แผนคาร์ทีเซียน
ระยะห่างระหว่างสองจุด
รูปกรวย
การคำนวณสัมประสิทธิ์เชิงมุม