ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (ป.อ.)

เธ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (ป.อ.) คือลำดับของตัวเลขที่ผลต่างระหว่างพจน์สองพจน์ที่ต่อเนื่องกันจะเท่ากันเสมอ ผลต่างคงที่นี้เรียกว่า ป.ป.ช.

ดังนั้นตั้งแต่องค์ประกอบที่สองของลำดับเป็นต้นไป ตัวเลขที่ปรากฏเป็นผลรวมของค่าคงที่กับค่าขององค์ประกอบก่อนหน้า

นี่คือสิ่งที่แตกต่างจากความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (PG) เพราะในข้อนี้ ตัวเลขจะถูกคูณด้วยอัตราส่วน ในขณะที่ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ พวกมันจะถูกเพิ่มเข้าไป

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถมีจำนวนเทอมคงที่ (จำกัด P.A. ) หรือจำนวนไม่ จำกัด ของเงื่อนไข (PA ไม่มีที่สิ้นสุด)

เพื่อระบุว่าลำดับดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนด เราใช้จุดไข่ปลา ตัวอย่างเช่น:

• ลำดับ (4, 7, 10, 13, 16, ...) เป็นป.
• ลำดับ (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) เป็นป.

แต่ละเทอมของ P.A. จะถูกระบุโดยตำแหน่งที่อยู่ในลำดับและเพื่อเป็นตัวแทนของแต่ละเทอมที่เราใช้ตัวอักษร (โดยปกติคือตัวอักษร ) ตามด้วยตัวเลขที่ระบุตำแหน่งในลำดับ

ตัวอย่างเช่น คำว่า ₄ ใน ป.ป.ช. (2, 4, 6, 8, 10) เป็นเลข 8 เนื่องจากเป็นเลขที่อยู่ในลำดับที่ 4

การจำแนกประเภทของป.

ตามค่าอัตราส่วน ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แบ่งออกเป็น:

• ค่าคงที่: เมื่ออัตราส่วนเท่ากับศูนย์ ตัวอย่างเช่น (4, 4, 4, 4, 4...) โดยที่ r = 0
• กำลังเติบโต: เมื่ออัตราส่วนมากกว่าศูนย์ ตัวอย่างเช่น (2, 4, 6, 8,10...) โดยที่ r = 2
• จากมากไปน้อย: เมื่ออัตราส่วนน้อยกว่าศูนย์ (15, 10, 5, 0, - 5,...) โดยที่ r = - 5

ป.อ.พร็อพเพอร์ตี้

ทรัพย์สินที่ 1:

ใน P.A. ที่มีขอบเขตจำกัด ผลรวมของเทอมสองเทอมที่เท่ากันจากสุดขั้วจะเท่ากับผลรวมของสุดขั้ว

ตัวอย่าง

ทรัพย์สินที่ 2:

เมื่อพิจารณาถึงสามเทอมติดต่อกันของ ป.ป.ช. เทอมกลางจะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอีกสองเทอมที่เหลือ

ตัวอย่าง

ทรัพย์สินที่ 3:

ใน P.A. ที่มีขอบเขตจำกัดด้วยจำนวนพจน์คี่ เทอมกลางจะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตระหว่างเทอมที่เท่ากัน คุณสมบัตินี้มาจากครั้งแรก

สูตรคำทั่วไป

ที่ไหน

an: เทอมที่เราต้องการคำนวณ
a1: เทอมแรกของป.
n: ตำแหน่งของคำที่เราต้องการค้นพบ
ร: เหตุผล

คำอธิบายสูตร

เนื่องจากอัตราส่วนของ P.A. เป็นค่าคงที่ เราสามารถคำนวณค่าจากพจน์ใดๆ ที่ต่อเนื่องกัน นั่นคือ:

ดังนั้น เราสามารถหาค่าเทอมที่สองของ ป.ป.ช. ได้โดยทำดังนี้

ในการหาเทอมที่สาม เราจะใช้การคำนวณแบบเดียวกัน:

การแทนที่ค่าของ a₂ซึ่งเราพบก่อนหน้านี้ เรามี:

ถ้าเราใช้เหตุผลเดียวกัน เราจะพบว่า:

จากผลที่พบ เราสังเกตว่าแต่ละเทอมจะเท่ากับผลรวมของเทอมแรกด้วยอัตราส่วนคูณด้วยตำแหน่งก่อนหน้า

การคำนวณนี้แสดงผ่านสูตรของเทอมทั่วไปของ P.A. ซึ่งช่วยให้เราทราบองค์ประกอบใดๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ตัวอย่าง

คำนวณระยะที่ 10 ของ ป.ป.ช.: (26, 31, 36, 41, ...)

สารละลาย

อันดับแรก เราต้องระบุว่า:

₁ = 26
r = 31 - 26 = 5
n = 10 (เทอมที่ 10)

แทนค่าเหล่านี้ในสูตรของเทอมทั่วไป เรามี:

_ไม่ = the₁ + (n - 1). r
₁₀ = 26 + (10-1). 5
₁₀ = 26 + 9 .5
₁₀ = 71

ดังนั้นเทอมที่สิบของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ระบุจึงเท่ากับ 71

สูตรเทอมทั่วไปจากเทอม k ใดๆ

บ่อยครั้ง ในการนิยามศัพท์ทั่วไปใดๆ ที่เราเรียกว่า an เราไม่มีเทอมแรก a1 แต่เรารู้จักคำศัพท์อื่น ๆ ซึ่งเราเรียกว่า ak

เราสามารถใช้สูตรเทอมทั่วไปจากเทอม k ใดๆ ก็ได้:

โปรดทราบว่าความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือการเปลี่ยนแปลงจากดัชนี 1 ในสูตรแรกเป็น k ในวินาที

เป็น

an: เทอมที่ n ของ ป.ป.ช. (เทอมในตำแหน่ง n ใดๆ)
ak: เทอมที่ k ของ P.A. (เทอมที่ตำแหน่ง k ใดๆ)
r: เหตุผล

ผลรวมของเงื่อนไขของ P.A.

ในการหาผลรวมของเงื่อนไขของ P.A. เพียงใช้สูตร:

ที่ไหน

ส_ไม่: ผลรวมของ n เทอมแรกของป.
₁: เทอมแรกของป.
_ไม่: ครองตำแหน่งที่ n ในลำดับ (คำในตำแหน่ง n)
ไม่: ตำแหน่งวาระ

อ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับ PA และ PG.

แก้ไขการออกกำลังกาย

แบบฝึกหัด 1

PUC/RJ - 2018

เมื่อรู้ว่าตัวเลขในลำดับ (y, 7, z, 15) อยู่ในลำดับเลขคณิต ผลรวม y + z มีค่าเท่าใด

ก) 20
ข) 14
ค) 7
ง) 3.5
จ) 2

ดูคำตอบ

ในการหาค่าของ z เราสามารถใช้คุณสมบัติที่บอกว่าเมื่อเรามีสามเทอมติดต่อกัน เทอมกลางจะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอีกสองเทอม ดังนั้นเราจึงมี:

หาก z เท่ากับ 11 อัตราส่วนจะเท่ากับ:

r = 11 - 7 = 4

ด้วยวิธีนี้ y จะเท่ากับ:

y = 7 - 4 = 3

ดังนั้น:

y+z = 3 + 11 = 14

ทางเลือก: b) 14

แบบฝึกหัดที่ 2

IFRS - 2017

ในรูปด้านล่าง เรามีลำดับของสี่เหลี่ยม ความสูงทั้งหมด a ฐานของสี่เหลี่ยมแรกคือ b และสี่เหลี่ยมที่ตามมาคือค่าฐานของสี่เหลี่ยมก่อนหน้าบวกหน่วยวัด ดังนั้น ฐานของสี่เหลี่ยมที่สองคือ b+1 และฐานที่สามคือ b+2 เป็นต้น

พิจารณาข้อความด้านล่าง

I - ลำดับของพื้นที่สี่เหลี่ยมคือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ของอัตราส่วน 1
II - ลำดับของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ของอัตราส่วน a
III - ลำดับของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตของอัตราส่วน a
IV - พื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่ n (A_ไม่) หาได้จากสูตร A_ไม่ = ก. (b + n - 1).

ตรวจสอบทางเลือกอื่นที่มีข้อความสั่งที่ถูกต้อง

ที่นั่น
ข) ครั้งที่สอง
ค) III.
ง) II และ IV
จ) III และ IV

ดูคำตอบ

การคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมเรามี:

เอ = เอ บี
เธ₁ = ก. (b + 1) = ก. b + a
เธ₂ = ก. (b + 2) = ก. ข. + ที่ 2
เธ₃ = ก. (b + 3) = ก. b + 3a

จากนิพจน์ที่พบ เราสังเกตว่าลำดับสร้าง P.A. ของอัตราส่วนเท่ากับ ที่. ต่อตามลำดับเราจะพบพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่ n ซึ่งกำหนดโดย:

เธ_ไม่= ก. b + (n - 1) .a
เธ_ไม่ = ก. ข + ก. ที่

วาง ในหลักฐาน เรามี:

เธ_ไม่ = a (b + n - 1)

ทางเลือก: d) II และ IV

แบบฝึกหัดที่ 3

UERJ

ยอมรับการถือครองแชมป์ฟุตบอลซึ่งคำเตือนที่ได้รับจากนักกีฬาจะแสดงด้วยใบเหลืองเท่านั้น บัตรเหล่านี้จะถูกแปลงเป็นค่าปรับตามเกณฑ์ต่อไปนี้:

• ไพ่สองใบแรกที่ได้รับจะไม่ถูกปรับ
• ไพ่ใบที่สามสร้างค่าปรับ R$500.00
• การ์ดต่อไปนี้สร้างค่าปรับซึ่งมีค่าเพิ่มขึ้นเสมอ 500.00 R$ เทียบกับมูลค่าของค่าปรับก่อนหน้า

ตารางแสดงค่าปรับที่เกี่ยวข้องกับไพ่ห้าใบแรกที่ใช้กับนักกีฬา

พิจารณานักกีฬาที่ได้รับใบเหลือง 13 ใบระหว่างการแข่งขันชิงแชมป์ จำนวนเงินรวมเป็นเรียลของค่าปรับที่เกิดจากการ์ดเหล่านี้ทั้งหมดคือ:

ก) 30,000
ข) 33 000
ค) 36 000
ง) 39,000

ดูคำตอบ

คำตอบที่ถูกต้อง: b) 33 000

จากใบเหลืองใบที่ 3 เป็นต้นไป ค่าปรับเพิ่มขึ้นใน P.A. ด้วยอัตราส่วน 500.00 แรนด์ของสหรัฐ เมื่อพิจารณาถึงเทอมแรก a1 มูลค่าของไพ่ใบที่สามคือ 500.00 ดอลลาร์สิงคโปร์

ในการกำหนดจำนวนเงินค่าปรับทั้งหมด เราต้องใช้สูตรผลรวมเงื่อนไขของ ป.ป.ช.

เนื่องจากนักกีฬาได้รับใบเหลือง 13 ใบ แต่สองใบแรกไม่มีค่าปรับ เราจะทำใบเหลือง 13-2 เทอม นั่นคือ 11 เทอม

ดังนั้นเราจึงมีค่าดังต่อไปนี้:

a1 = 500
n = 11
r = 500

ในการหาค่าของเทอมที่ n, a11 เราใช้สูตรเทอมทั่วไป

อัน = a1 + (n-1).r
a21 = 500 +(11-1) x 500
a21 = 500 + 10 x 500
a21 = 5500

การใช้สูตรผลรวมเงื่อนไขของ ป.ป.ช.

แก้แบบฝึกหัดเพิ่มเติมใน:

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - แบบฝึกหัด

เรียนรู้เพิ่มเติมโดยการอ่าน:

• ลำดับตัวเลข
• ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
• ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต - แบบฝึกหัด
• สูตรคณิตศาสตร์