THE วงรี เป็นรูปแบนจำแนกเป็น รูปกรวย, เพราะเธอ สามารถรับได้จากส่วน ของแผน ในกรวย. การหาร่างแบนที่มีรูปร่างเป็นวงรีเป็นเรื่องปกติธรรมดาในชีวิตประจำวัน มีการศึกษากันอย่างแพร่หลายเพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ เนื่องจากวงโคจรของดาวเหล่านี้เป็นวงรี
THE เรขาคณิตวิเคราะห์ เป็นพื้นที่ของคณิตศาสตร์ที่พยายามอธิบายรูปทรงเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิต ได้แก่ วงรีมีการศึกษาในเชิงลึก ในเรขาคณิตวิเคราะห์, เป็นไปได้ที่จะอธิบายมันผ่านสมการที่คำนึงถึงองค์ประกอบของมัน. องค์ประกอบหลักของวงรีคือ:
แกนหลัก
แกนรอง
ระยะโฟกัส
จุดโฟกัส F1 และ F2
เรากำหนดวงรีเป็นเซตของจุดที่ผลรวมของระยะทางของจุดเหล่านี้ไปยังโฟกัส F1 และเน้น F2 เป็นค่าคงที่เสมอ
อ่านด้วย: อะไรคือความแตกต่างระหว่างตัวเลขแบนและเชิงพื้นที่?
วงรีคืออะไร?
เรารู้ว่าเป็นวงรี รูปแบนที่เกิดจากส่วนระหว่างระนาบกับ กรวย, ด้วยวิธีต่อไปนี้:
ในการสร้างวงรีก็คือ ต้องรู้ของคุณ สองโฟกัส, F1 และ F2และความยาวของแกนหลักซึ่งเป็นเส้นที่เชื่อมกับปลายวงรีในภาพด้านล่างแสดงโดย A1 THE2.
ความยาวของแกนเอกเท่ากับ 2a ดังนั้นวงรีจึงเป็นเส้นโค้งที่เกิดจากจุด P. ทั้งหมด
ไม่ โดยที่ผลรวมของระยะทางจากจุดถึงจุดโฟกัสแรก (dPไม่F1) ด้วยระยะห่างจากจุดถึงจุดโฟกัสที่สอง (dPไม่F2) เป็นค่าคงที่เสมอและเท่ากับ 2a
dP1F1 + dP1F2 = dP2F1 + พี่2F2 = dP3F1 + dP3F2 = ดา1THE2 = ที่ 2
อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)
องค์ประกอบวงรี
เพื่อให้เข้าใจการก่อตัวของวงรีอย่างเต็มที่ คุณจำเป็นต้องรู้องค์ประกอบแต่ละอย่างของมัน คือจุดโฟกัส จุดศูนย์กลาง แกนหลัก และแกนรอง เป็นไปได้ที่จะติดตามความสัมพันธ์ที่สำคัญในวงรี
จุดศูนย์กลางของวงรีแสดงด้วยจุด O
จุด F แล้ว1 และ F2 แทนจุดโฟกัสของวงรี
คะแนน A1 และ2 คือจุดสิ้นสุดของแกนนอนของวงรี และจุด B1 และ B2 คือปลายแกนตั้ง
ระยะห่างระหว่าง B1 และ B2 เท่ากับ 2b (ความยาวของวงรีบนแกนรอง)
ระยะห่างระหว่าง A1 และ2 เท่ากับ 2a (ความยาวของวงรีบนแกนหลัก)
ความยาวโฟกัสระหว่าง F1 และ F2 เท่ากับ 2c
การสังเกต: สิ่งสำคัญคือต้องตระหนักว่า F1บี1 มีความยาวเท่ากับครึ่งหนึ่งของแกนนอน กล่าวคือ dF1บี1 = ก. ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะรับรู้ความสัมพันธ์ที่สำคัญของพีทาโกรัสเมื่อวิเคราะห์รูปสามเหลี่ยมA1OB1. โปรดทราบว่าเขาเป็น he สามเหลี่ยมมุมฉาก. ดังนั้นเราจึงสามารถประยุกต์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส.
a² = b² + c²
มีความเป็นไปได้อีกอย่างหนึ่งสำหรับวงรี ซึ่งก็คือเมื่อแกนที่ยาวที่สุดคือแกนตั้ง ในกรณีนี้ องค์ประกอบยังคงเหมือนเดิม
ในกรณีนี้ เราสามารถประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้เช่นกัน ได้ดังนี้:
b² = a² + c²
อ่านด้วย: องค์ประกอบของรูปหลายเหลี่ยมคืออะไร?
สมการวงรี
การศึกษาวงรีวิเคราะห์จะทำใน เครื่องบินคาร์ทีเซียน. เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์พยายามอธิบายผ่านสมการ ตัวเลขของ เรขาคณิตระนาบ. ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะอธิบายตัวเลขผ่านสมการวงรีที่เรียกว่า
อันดับแรก เราจะยกตัวอย่างของวงรีที่มีจุดโฟกัสอยู่บนแกน x หรือบนแกน y นั่นคือที่มาของวงรีเกิดขึ้นพร้อมกับจุดกำเนิดของระนาบคาร์ทีเซียน
ในกรณีนี้ มีความเป็นไปได้สองอย่าง เมื่อแกนหลักเป็นแกนตั้ง และ เมื่อแกนหลักเป็นแกนนอน:
การสังเกต: จุดโฟกัสอยู่ในแกนที่ยาวที่สุดเสมอ ดังนั้นถ้า a > b จุดโฟกัสจะอยู่ในแกนนอน และถ้า b > a จุดโฟกัสนั้นจะอยู่ในแกนตั้ง
จุดศูนย์กลางของวงรีไม่ได้อยู่ที่จุดกำเนิดของระนาบคาร์ทีเซียนเสมอไปซึ่งไม่ได้ขัดขวางการพัฒนาและการปรับตัวของสมการวงรีสำหรับกรณีนี้ เมื่อวงรีถูกชดเชยจากจุดกำเนิด O( x0, y0) สามารถอธิบายสมการได้โดย:
อ่านด้วย: สมการลดลงของเส้นรอบวงคืออะไร?
ความเยื้องศูนย์ของวงรี
เรารู้ว่าเป็นความเยื้องศูนย์เหตุผล ระหว่างความยาว c และครึ่งหนึ่งของความยาวของแกนที่ยาวที่สุดของวงรี. สมมติว่าแกนที่ยาวที่สุดอยู่ในแนวนอน ความเยื้องศูนย์คำนวณโดย:
ถ้าวงรีอยู่บนแกนตั้ง ความเยื้องศูนย์จะคำนวณโดย:
THE ความเบี้ยวบอกเราว่าวงรีแบนแค่ไหนยิ่งค่าความเยื้องศูนย์มากเท่าใด วงรีก็จะยิ่งเข้าใกล้วงกลมมากขึ้นเท่านั้น เนื่องจากแกนหลักมีความยาวมากกว่าทางยาวโฟกัสเสมอ ดังนั้น c < a ดังนั้นการหารนี้จึงเป็นตัวเลขระหว่าง 0 ถึง 1 เสมอ
พื้นที่วงรี
เนื่องจากวงรีมีรูปร่างโค้งมน ในการคำนวณพื้นที่ เราใช้ค่าคงที่ π และ การวัดความยาวแนวนอนครึ่งหนึ่งและความยาวแนวตั้งครึ่งหนึ่งด้วย เราต้อง:
A = แอบป่
A: วงรียาว
a: ครึ่งหนึ่งของความยาวของแกนนอน
b: ครึ่งหนึ่งของความยาวของแกนตั้ง
ตัวอย่าง:
คำนวณพื้นที่ของวงรีโดยให้จุดโฟกัสอยู่ที่แกนนอนซึ่งมีแกนยาวที่สุด 50 ซม. และเล็กที่สุด 36 ซม.
เนื่องจากแกนหลักอยู่ในแนวนอน ดังนั้นจุดโฟกัสจึงอยู่ในนั้น ดังนั้น เราต้อง:
ที่ 2 = 50
a = 50/2
ก = 25
และบนแกนตั้ง เราต้อง:
2b = 36
ข = 36/2
ข = 18
ดังนั้นพื้นที่ของวงรีจึงถูกกำหนดโดย:
A = แอบป่
A = 25 · 18π
A = 450π cm²
แก้ไขแบบฝึกหัด
คำถามที่ 1 - เมื่อวิเคราะห์วงรีด้านล่าง ทางเลือกที่มีความยาวโฟกัสคือ:
ก) 5
ข) 4√3
ค) 4
ง) 16
จ) 8√3
ความละเอียด
ทางเลือก E
ทางยาวโฟกัสเท่ากับ 2c และนอกจากนี้ a = 8 และ b = 6 เนื่องจากจุดโฟกัสอยู่บนแกน x เราจึงต้อง:
เนื่องจากทางยาวโฟกัสเท่ากับ 2c ดังนั้น 2c = 8√3
คำถามที่ 2 - (IFB) พิจารณาวงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด จุดโฟกัสบนแกนพิกัดอันใดอันหนึ่งและผ่านจุด (5, 0) และ (0, 13) กำหนดจุดโฟกัสของวงรี
ก) (13, 0) และ (-13, 0)
ข) (0, 13) และ (0, -13)
ค) (12, 0) และ (-12, 0)
ง) (0, 12) และ (0, -12)
จ) (5, 0) และ (-5, 0)
ความละเอียด
ทางเลือก D
โปรดทราบว่ามันผ่านจุด (0, 13) ซึ่งระบุว่า b = 13 และยังผ่านจุด (5.0) a = 5 ในฐานะ b > a เราต้อง:
b² = a² + c²
13² = 5² + c²
169 = 25 + c²
169 – 25 = c²
144 = c²
ค = √144
ค = 12
เนื่องจาก b มีขนาดใหญ่กว่า ดังนั้นโฟกัสจะอยู่ที่แกนตั้ง นั่นคือ (0, 12) และ (0, -12)
โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิต
