ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: สูตรและแบบฝึกหัด

อู๋ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส แสดงรายการความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก รูปทรงเรขาคณิตนี้เกิดจากมุมภายใน 90° ซึ่งเรียกว่ามุมฉาก

ข้อความของทฤษฎีบทนี้คือ:

"ผลรวมของสี่เหลี่ยมขาของคุณตรงกับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากของคุณ."

สูตรทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ตามคำกล่าวของทฤษฎีบทพีทาโกรัส สูตรนี้แสดงได้ดังนี้

² = ข² + ค²

เป็น

: ด้านตรงข้ามมุมฉาก
บี: catato
ค: catato

เธ ด้านตรงข้ามมุมฉาก คือด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉากและด้านตรงข้ามมุมฉาก อีกสองข้างเป็นขา มุมที่เกิดจากทั้งสองด้านนี้มีหน่วยวัดเท่ากับ 90º (มุมฉาก)

นอกจากนี้เรายังระบุขาตามมุมอ้างอิง นั่นคือด้านที่เรียกว่าด้านประชิดหรือด้านตรงข้าม

เมื่อขาอยู่ใกล้กับมุมอ้างอิง เรียกว่า a ที่อยู่ติดกันในทางกลับกัน ถ้าขัดกับมุมนี้เรียกว่า ตรงข้าม.

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างการใช้งานทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามตัวอย่างกับความสัมพันธ์แบบเมตริกของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ตัวอย่าง 1: คำนวณการวัดด้านตรงข้ามมุมฉาก

ถ้าสามเหลี่ยมมุมฉากมี 3 ซม. และ 4 ซม. เป็นความยาวของขา ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมนี้เป็นเท่าไหร่?

ตรง a ช่องว่างกำลังสอง เท่ากับ ช่องว่าง ตรง b ช่องว่างกำลังสอง บวก ตรง c กำลังสอง ตรง a ช่องว่างกำลังสอง เท่ากับ ช่องว่าง 4 ช่องว่างกำลังสอง บวก ช่องว่าง 3 à สี่เหลี่ยมตรง พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส เท่ากับ 16 ช่องว่าง บวก ช่องว่าง 9 ตรง พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส เท่ากับ 25 ตรง พื้นที่เท่ากับ พื้นที่ สแควร์รูท ของ 25 ตรง พื้นที่เท่ากับ พื้นที่ 5

ดังนั้นด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 3 ซม. 4 ซม. และ 5 ซม.

ตัวอย่าง 2: คำนวณขนาดขาข้างใดข้างหนึ่ง

instagram story viewer

กำหนดขนาดขาที่เป็นส่วนหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 20 ซม. และขาอีกข้างหนึ่งวัดได้ 16 ซม.

ตรง พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับพื้นที่ ตรง b กำลังสอง พื้นที่ตรงมากขึ้น c พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส ลูกศรขวาคู่ ตรง b กำลังสอง พื้นที่เท่ากับพื้นที่ ตรง a ช่องว่างกำลังสอง ลบ ช่องว่าง ตรง c กำลังสอง ตรง b กำลังสอง พื้นที่ เท่ากับ ช่องว่าง 20 กำลังสอง ช่องว่าง ลบ ช่องว่าง 16 กำลังสอง ตรง b กำลังสอง พื้นที่เท่ากับพื้นที่ 400 พื้นที่ลบพื้นที่ 256 ตรง b พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับ 144 ตรง b พื้นที่เท่ากับพื้นที่รากที่สองของ 144 ตรง b พื้นที่เท่ากับพื้นที่ 12

ดังนั้น การวัดด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 12 ซม. 16 ซม. และ 20 ซม.

ตัวอย่างที่ 3: ตรวจสอบว่าสามเหลี่ยมเป็นสี่เหลี่ยมหรือไม่

สามเหลี่ยมมีด้านขนาด 5 ซม. 12 ซม. และ 13 ซม. คุณรู้ได้อย่างไรว่าเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก?

เพื่อพิสูจน์ว่าสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นจริง การวัดด้านของมันจะต้องเป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ตรง พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส เท่ากับ พื้นที่ตรง b พื้นที่กำลังสอง บวก พื้นที่ตรง c กำลังสอง พื้นที่ 13 กำลังสอง เท่ากับ พื้นที่ 12 ตาราง พื้นที่บวก พื้นที่ 5 ตาราง พื้นที่ 169 พื้นที่ เท่ากับ พื้นที่ 144 พื้นที่ บวก พื้นที่ 25 169 พื้นที่ เท่ากับ equal 169

เนื่องจากการวัดที่ให้เป็นไปตามทฤษฎีบทของพีทาโกรัส กล่าวคือ กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสของขา จากนั้นเราสามารถพูดได้ว่าสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

อ่านด้วย: ความสัมพันธ์เมตริกในสามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมผืนผ้า

สามเหลี่ยมพีทาโกรัส

เมื่อวัดด้านของ a สามเหลี่ยมมุมฉาก เป็นจำนวนเต็มบวก สามเหลี่ยมนี้เรียกว่า สามเหลี่ยมพีทาโกรัส

ในกรณีนี้ ขาและด้านตรงข้ามมุมฉากเรียกว่า "ชุดพีทาโกรัส" หรือ "พีทาโกรัสทรีโอ" ในการตรวจสอบว่าตัวเลขสามตัวเป็นทรีโอพีทาโกรัสหรือไม่ เราใช้ความสัมพันธ์ to²= ข² + ค².

ทรีโอพีทาโกรัสที่รู้จักกันดีที่สุดแสดงด้วยตัวเลข: 3, 4, 5 ด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ 5 ขาที่ใหญ่กว่าเท่ากับ 4 และขาที่เล็กกว่าเท่ากับ 3

โปรดทราบว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่วาดในแต่ละด้านของสามเหลี่ยมนั้นสัมพันธ์กันเหมือนกับ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านยาวสอดคล้องกับผลรวมของพื้นที่ของอีกสอง สี่เหลี่ยม

ที่น่าสนใจคือ จำนวนทวีคูณของตัวเลขเหล่านี้ประกอบเป็นชุดพีทาโกรัสด้วย ตัวอย่างเช่น ถ้าเราคูณทั้งสาม 3, 4 และ 5 ด้วย 3 เราจะได้ตัวเลข 9, 12 และ 15 ซึ่งเป็นชุดพีทาโกรัสด้วย

นอกจากชุดที่ 3, 4 และ 5 แล้ว ยังมีชุดอื่นๆ อีกมากมาย ตัวอย่างเช่น เราสามารถพูดถึง:

5, 12 และ 13
7, 24, 25
20, 21 และ 29
12, 35 และ 37

อ่านด้วย: ตรีโกณมิติในสามเหลี่ยมมุมฉาก

พีทาโกรัสคือใคร?

ตามประวัติศาสตร์ พีทาโกรัสแห่งซาโมส (570 ก. ค. - 495 ก. C.) เป็นนักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ผู้ก่อตั้งโรงเรียน Pythagorean ซึ่งตั้งอยู่ทางตอนใต้ของอิตาลี เรียกอีกอย่างว่า Pythagorean Society ซึ่งรวมการศึกษาในวิชาคณิตศาสตร์ ดาราศาสตร์และดนตรี

แม้ว่าความสัมพันธ์ทางเมตริกของสามเหลี่ยมมุมฉากจะเป็นที่รู้จักของชาวบาบิโลนซึ่งอาศัยอยู่ก่อนปีทาโกรัสมานาน หลักฐานแรกว่าทฤษฎีบทนี้ใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ เชื่อว่าทำโดย พีทาโกรัส.

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทที่เป็นที่รู้จัก สำคัญที่สุด และนำไปใช้มากที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ มันเป็นสิ่งสำคัญในการแก้ปัญหาในเรขาคณิตวิเคราะห์ เรขาคณิตระนาบ เรขาคณิตเชิงพื้นที่ และตรีโกณมิติ

นอกจากทฤษฎีบทแล้ว ผลงานที่สำคัญอื่นๆ ของ Pythagorean Society for Mathematics ได้แก่:

การค้นพบจำนวนอตรรกยะ
คุณสมบัติของจำนวนเต็ม
MMC และ MDC

อ่านด้วย: สูตรคณิตศาสตร์

บทพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

มีหลายวิธีในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตัวอย่างเช่น หนังสือ ข้อเสนอของพีทาโกรัสซึ่งตีพิมพ์ในปี 2470 นำเสนอ 230 วิธีในการสาธิต และอีกฉบับซึ่งออกในปี 2483 เพิ่มขึ้นเป็น 370 การสาธิต

ชมวิดีโอด้านล่างและดูการสาธิตทฤษฎีบทพีทาโกรัสบางส่วน

มีกี่วิธีในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส? - เบ็ตตี้ เฟย

แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส

คำถามที่ 1

(PUC) ผลรวมของกำลังสองของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับ 32 ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมยาวแค่ไหน?

ก) 3
ข) 4
ค) 5
ง) 6

ดูคำตอบ

ทางเลือกที่ถูกต้อง: b) 4.

จากข้อมูลในแถลงการณ์ เรารู้ว่า² + ข² + ค² = 32. ในทางกลับกัน โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสเราต้อง² = ข² + ค² .

การแทนที่ค่าของ b²+ค²โดย² ในนิพจน์แรก เราพบว่า:

² + ที่² =32 ⇒ 2.² = 32 ⇒ ถึง² = 32/2 ⇒ ถึง² = 16 ⇒ ก = √ 16
a=4

สำหรับคำถามเพิ่มเติม โปรดดูที่: ทฤษฎีบทพีทาโกรัส - แบบฝึกหัด

คำถาม2

(และอย่างใดอย่างหนึ่ง)

ในรูปด้านบน ซึ่งแสดงถึงการออกแบบบันไดที่มีความสูงเท่ากัน 5 ขั้น ความยาวราวจับทั้งหมดเท่ากับ:

ก) 1.9m
ข) 2.1m
ค) 2.0m
ง) 1.8m
จ) 2.2m

ดูคำตอบ

ทางเลือกที่ถูกต้อง: b) 2.1m.

ความยาวรวมของราวจับจะเท่ากับผลรวมของความยาวทั้งสองส่วนเท่ากับ 30 ซม. โดยส่วนที่เราไม่ทราบการวัด

เราสามารถสังเกตได้จากรูปว่าส่วนที่ไม่รู้จักแสดงถึงด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งวัดจากขาข้างหนึ่งเท่ากับ 90 ซม.

ในการหาขนาดขาอีกข้าง เราต้องบวกความยาว 5 ขั้น ดังนั้นเราจึงมี b = 5 24 = 120 ซม.

ในการคำนวณด้านตรงข้ามมุมฉาก ลองใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับสามเหลี่ยมนี้

² = 90² + 120² ถึง² = 8100 + 14 400 ⇒ ถึง² = 22 500 ⇒ a = √ 22 500 = 150 ซม.

โปรดทราบว่าเราอาจใช้แนวคิดของชุดพีทาโกรัสในการคำนวณด้านตรงข้ามมุมฉาก เนื่องจากขา (90 และ 120) เป็นผลคูณของชุด 3, 4 และ 5 (คูณพจน์ทั้งหมดด้วย 30)

ด้วยวิธีนี้ การวัดรวมของราวจับจะเป็น:

30 + 30 + 150 = 210 ซม. = 2.1 ม

ทดสอบความรู้ของคุณกับ แบบฝึกหัดตรีโกณมิติ

คำถาม 3

(UERJ) Millôr Fernandes ในการยกย่องวิชาคณิตศาสตร์ที่สวยงาม ได้เขียนบทกวีที่เราแยกส่วนด้านล่าง:

ในหนังสือคณิตศาสตร์หลายแผ่น
Quotient ตกหลุมรักวันหนึ่งอย่างดุเดือด
โดยไม่รู้จัก
เขามองเธอด้วยสายตานับไม่ถ้วนของเขา
และเขาเห็นเธอจากยอดถึงฐาน: รูปแปลก;
ตากลม, ปากสี่เหลี่ยมคางหมู,
ร่างกายสี่เหลี่ยมหน้าอกทรงกลม
ให้ชีวิตคู่ขนานกับเธอ
จนมาพบกันที่อินฟินิตี้
"คุณคือใคร?" - เขาถามด้วยความกังวลอย่างรุนแรง
“ฉันเป็นผลรวมของกำลังสองของขา
แต่เรียกฉันว่าด้านตรงข้ามมุมฉากก็ได้.”

(มิลอร์ เฟอร์นานเดส. สามสิบปีของตัวฉัน.)

Incognita ผิดที่จะบอกว่าเป็นใคร เพื่อให้เป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ควรทำดังนี้

ก) “ ฉันเป็นกำลังสองของผลรวมของขา แต่เรียกฉันว่าสี่เหลี่ยมด้านตรงข้ามมุมฉาก”
b) “ฉันเป็นผลรวมของขา แต่เรียกฉันว่าด้านตรงข้ามมุมฉากก็ได้”
c) “ฉันเป็นกำลังสองของผลรวมของขา แต่เรียกฉันว่าด้านตรงข้ามมุมฉากก็ได้”
d) “ฉันเป็นผลรวมของกำลังสองของขา แต่เรียกฉันว่าสี่เหลี่ยมด้านตรงข้ามมุมฉาก”

ดูคำตอบ

ทางเลือก d) “ฉันเป็นผลรวมของกำลังสองของขา แต่เรียกฉันว่าสี่เหลี่ยมด้านตรงข้ามมุมฉาก”

เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับหัวข้อ: