พหุนาม: นิยาม การดำเนินการ และการแยกตัวประกอบ

พหุนามคือนิพจน์พีชคณิตที่เกิดจากตัวเลข (สัมประสิทธิ์) และตัวอักษร (ส่วนตามตัวอักษร) ตัวอักษรของพหุนามแสดงถึงค่าที่ไม่รู้จักของนิพจน์

ตัวอย่าง

ก) 3ab + 5
ข) x³ + 4xy - 2x²y³
ค) 25x² - 9 ปี²

โมโนเมียม ทวินาม และ Trinomial

พหุนามประกอบด้วยเงื่อนไข การดำเนินการเดียวระหว่างองค์ประกอบของเทอมคือการคูณ

เมื่อพหุนามมีพจน์เดียวเรียกว่า โมโนเมียล.

ตัวอย่าง

ก) 3x
ข) 5bc
ค) x²y³z⁴

การโทร ทวินาม เป็นพหุนามที่มีโมโนเมียลเพียงสองตัว (สองพจน์) คั่นด้วยการบวกหรือการลบ

ตัวอย่าง

ก) ถึง² - บี²
ข) 3x + y
ค) 5ab + 3cd²

แล้ว ไตรนาม เป็นพหุนามที่มีโมโนเมียลสามตัว (สามพจน์) คั่นด้วยการบวกหรือการลบ

ตัวอย่างส

ก) x² + 3x + 7
ข) 3ab - 4xy - 10y
ค) ม³n + m² + น⁴

ดีกรีของพหุนาม

ระดับของพหุนามถูกกำหนดโดยเลขชี้กำลังของส่วนตามตัวอักษร

ในการหาดีกรีของพหุนาม เราต้องบวกเลขชี้กำลังของตัวอักษรที่ประกอบขึ้นเป็นแต่ละเทอม ผลรวมที่ใหญ่ที่สุดจะเป็นดีกรีของพหุนาม

ตัวอย่าง

ก) 2x³ + y

เลขชี้กำลังของเทอมแรกคือ 3 และเทอมที่สองคือ 1 เนื่องจากที่ใหญ่ที่สุดคือ 3 ดีกรีของพหุนามคือ 3

ข) 4x²y + 8x³y³ - xy⁴

มาบวกเลขชี้กำลังของแต่ละเทอมกัน:

4x²y => 2 + 1 = 3
8x³y³ => 3 + 3 = 6
xy⁴ => 1 + 4 = 5

เนื่องจากผลรวมที่ใหญ่ที่สุดคือ 6 ดีกรีของพหุนามคือ 6

บันทึก: พหุนามว่างคือตัวที่มีสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับศูนย์ เมื่อสิ่งนี้เกิดขึ้น ระดับของพหุนามจะไม่ถูกกำหนด

การดำเนินการกับพหุนาม

ดูตัวอย่างด้านล่างของการดำเนินการระหว่างพหุนาม:

การบวกพหุนาม

เราดำเนินการนี้โดยการเพิ่มสัมประสิทธิ์ของคำที่คล้ายกัน (ส่วนตัวอักษรเดียวกัน)

(-7x³ + 5x²y - xy + 4y) + (-2x .)²y + 8xy - 7y)
- 7x³ + 5x²y - 2x²y - xy + 8xy + 4y - 7y
- 7x³ + 3x²y + 7xy - 3y

การลบพหุนาม

เครื่องหมายลบหน้าวงเล็บจะกลับเครื่องหมายภายในวงเล็บ หลังจากลบวงเล็บ เราต้องเพิ่มคำที่คล้ายกัน

(4x² - 5xk + 6k) - (3x - 8k)
4x² - 5xk + 6k - 3xk + 8k
4x² - 8xk + 14k

การคูณพหุนาม

ในการคูณเราต้องคูณเทอมด้วยเทอม ในการคูณตัวอักษรที่เท่ากัน เลขชี้กำลังจะถูกทำซ้ำและเพิ่ม

(3x² - 5x + 8) (-2x + 1)
-6x³ + 3x² + 10x² - 5x - 16x + 8
-6x³ + 13x² - 21x +8

กองพหุนาม

บันทึก: ในการหารพหุนามเราใช้วิธีการหลัก ขั้นแรก เราทำการหารระหว่างสัมประสิทธิ์ตัวเลขแล้วหารกำลังของฐานเดียวกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เก็บฐานและลบเลขชี้กำลัง

พหุนามแฟคตอริ่ง

เพื่อดำเนินการ การแยกตัวประกอบ ของพหุนามเรามีกรณีดังต่อไปนี้:

ปัจจัยร่วมในหลักฐาน

ขวาน + bx = x (a + b)

ตัวอย่าง

4x + 20 = 4 (x + 5)

การจัดกลุ่ม

ax + bx + ay + โดย = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (ก + ข)

ตัวอย่าง

8ax + bx + 8ay + โดย = x (8a + b) + y (8a + b) = (8a + b) (x + ย)

เพอร์เฟคสแควร์ Trinomial (เพิ่มเติม)

² + 2ab + ข² = (a + ข)²

ตัวอย่าง

x² + 6x + 9 = (x + 3)²

Perfect Square Trinomial (ความแตกต่าง)

² - 2ab + b² = (a - b)²

ตัวอย่าง

x² - 2x + 1 = (x - 1)²

ความแตกต่างของสองสี่เหลี่ยม

(ก + ข). (a - b) = a² - บี²

ตัวอย่าง

x² - 25 = (x + 5) (x - 5)

เพอร์เฟคคิวบ์ (เพิ่มเติม)

³ + ที่ 3²b+3ab² + ข³ = (a + ข)³

ตัวอย่าง

x³ + 6x² + 12x + 8 = x³ + 3. x². 2 + 3. x 2² + 2³ = (x + 2)³

เพอร์เฟคคิวบ์ (ความแตกต่าง)

³ - ที่ 3²b+3ab² - บี³ = (a - b)³

ตัวอย่าง

y³ - 9 ปี² + 27y - 27 = y³ - 3. y². 3 + 3. ย. 3² - 3³ = (y - 3)³

อ่านด้วย:

• สินค้าเด่น
• ผลิตภัณฑ์เด่น - แบบฝึกหัด
• ฟังก์ชันพหุนาม

แก้ไขแบบฝึกหัด

1) จำแนกพหุนามต่อไปนี้เป็น monomial, binomials และ trinomials:

ก) 3abcd²
b) 3a + bc - d²
ค) 3ab - cd²

ดูคำตอบ

ก) โมโนเมียม
b) ไตรนาม
ค) ทวินาม

2) ระบุระดับของพหุนาม:

ก) xy³ + 8xy + x²y
ข) 2x⁴ + 3
ค) ab + 2b + a
ง) zk⁷ - 10z²k³w⁶ + 2x

ดูคำตอบ

ก) เกรด 4
ข) เกรด 4
ค) เกรด 2
ง) เกรด 11

3) ค่าปริมณฑลของรูปด้านล่างคือเท่าไร

ดูคำตอบ

เส้นรอบวงของรูปหาได้โดยการเพิ่มทุกด้าน
2x³ + 4 + 2x³ + 4 + x³ +1 + x³ +1 + x³ +1 + x³ +1 = 8x³ + 12

4) ค้นหาพื้นที่ของรูป:

ดูคำตอบ

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหาได้จากการคูณฐานด้วยความสูง
(2x + 3) (x+1) = 2x² + 5x + 3

5) แยกตัวประกอบพหุนาม

ก) 8ab + 2a²ข - 4b²
b) 25 + 10y + y²
ค) 9 - k²

ดูคำตอบ

ก) เนื่องจากมีปัจจัยร่วมกัน ให้แยกตัวประกอบโดยใส่ปัจจัยเหล่านี้ไว้ในหลักฐาน: 2ab (4 + a - 2b)
b) ไตรโนเมียลกำลังสองที่สมบูรณ์แบบ: (5+y)²
c) ผลต่างสองกำลังสอง: (3 + k) (3 - k)

ดูด้วย: นิพจน์พีชคณิต และ แบบฝึกหัดเกี่ยวกับนิพจน์พีชคณิต