การเรียงสับเปลี่ยนเป็นเทคนิคการนับที่ใช้ในการกำหนดจำนวนวิธีในการเรียงลำดับองค์ประกอบของเซตจำกัด การแลกเปลี่ยนคือการแลกเปลี่ยน และในปัญหาเชิงผสมผสาน หมายถึง การแลกเปลี่ยนองค์ประกอบของสถานที่โดยพิจารณาจากการจัดลำดับ
เทคนิคเหล่านี้เป็นส่วนหนึ่งของสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า Combinatorial Analysis ซึ่งมีจุดมุ่งหมายเพื่อทราบและนับวิธีการจัดระเบียบชุดและองค์ประกอบต่างๆ การเรียงสับเปลี่ยนอย่างง่ายและ a ที่มีองค์ประกอบซ้ำๆ จะช่วยแก้ปัญหาประเภทนี้
การเปลี่ยนแปลงอย่างง่าย
การเรียงสับเปลี่ยนอย่างง่ายคือการเรียงลำดับองค์ประกอบของเซตจำกัด เมื่อพวกมัน องค์ประกอบอย่าทำซ้ำ, มีความโดดเด่น. ใช้เพื่อกำหนดปริมาณของประเภทเหล่านี้
จำนวนเงิน ของพีชคณิตของเซตขององค์ประกอบ n เท่ากับ n! (อ่านว่า n แฟคทอเรียล)
สูตรหาจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนอย่างง่ายคือ
พิจารณาชุดที่มีองค์ประกอบ n ในการจัดระเบียบพวกเขาในคิว เราต้องเลือกอันแรก และเรามีความเป็นไปได้ n ประการ ในการเลือกอันที่สอง เรามีความเป็นไปได้ (n-1) น้อยกว่าหนึ่งอัน เนื่องจากเราใช้ตัวเลือกหนึ่งอยู่แล้วในการเลือกอันแรก กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปจนกว่าจะเหลือเพียงองค์ประกอบเดียวเท่านั้น
ในการกำหนดจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด เราคูณจำนวนความเป็นไปได้ที่มีอยู่ในการเลือกแต่ละองค์ประกอบ ดังนั้น:
นิพจน์ข้างต้นเรียกว่าแฟกทอเรียลของ n และเราใช้สัญลักษณ์ ไม่!.
เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับ แฟกทอเรียล ที่นี่.
ตัวอย่าง:
วิธีต่างๆ ในการจัดระเบียบตัวอักษรของคำเรียกว่าแอนนาแกรม คำว่า DUCK มีแอนนาแกรมกี่ตัว?
นี่คือความเป็นไปได้:
ดังนั้น เนื่องจากคำว่า PATO มี 4 ตัวอักษร เราจึงต้อง
ดังนั้นจึงมีการเรียงสับเปลี่ยนอย่างง่าย 24 แบบสำหรับคำว่า DUCK
แบบฝึกหัดการเรียงสับเปลี่ยนอย่างง่าย
คำถามที่ 1
คำนวณค่าของ .
คำถาม2
พิจารณาผู้ที่มาก่อนได้ก่อน โดยจะมีหกคนในเวลาใดก็ตาม คนเหล่านี้สามารถจัดอันดับได้กี่วิธีจากคนแรกถึงคนสุดท้าย?
แบบฟอร์มการสั่งซื้อแต่ละแบบเป็นการเรียงสับเปลี่ยนอย่างง่าย เนื่องจากแต่ละคนมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวและไม่ซ้ำกัน ดังนั้นด้วยคนหกคน คำตอบก็คือการเรียงสับเปลี่ยนที่มีองค์ประกอบ 6 อย่าง
คำถาม 3
พิจารณาคำว่า FORK แล้วตอบคำถามต่อไปนี้?
ก) แอนนาแกรมของคำว่า FORK มีกี่อัน?
เนื่องจากตัวอักษรไม่ซ้ำกัน นี่เป็นกรณีการเรียงสับเปลี่ยน 5 องค์ประกอบอย่างง่าย
b) มีแอนนาแกรมขึ้นต้นด้วยตัวอักษร A จำนวนเท่าใด
ในกรณีนี้ เราจะแก้ไขตัวอักษร A ที่จุดเริ่มต้นและคำนวณพีชคณิตด้วยตัวอักษร GRFO ซึ่งเป็นการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ 4 อย่าง
1 ความเป็นไปได้สำหรับตัวอักษร A x .
c) จะมีแอนนาแกรมกี่ตัวถ้าสระอยู่ติดกันเสมอ?
ความเป็นไปได้อย่างหนึ่งคือ G R F A O
มีสามวิธีในการสั่งซื้อพยัญชนะ P3 = 3 x 2 x 1 = 6
มีสองวิธีในการสั่งซื้อสระ P2 = 2 x 1 = 2
ยังมีอีกสองวิธีในการจัดระเบียบกลุ่ม (พยัญชนะและสระ) กันเอง P2 = 2 x 1 = 2
ตอนนี้แค่คูณผลลัพธ์
P3 x P2 x P2 = 6 x 2 x 2 = 24
จึงมี 24 แอนนาแกรมที่สระอยู่ด้วยกันเสมอ
การเปลี่ยนแปลงด้วยการทำซ้ำ with
การเรียงสับเปลี่ยนที่มีองค์ประกอบซ้ำเกิดขึ้นเมื่ออยู่ในชุดขององค์ประกอบ n บางรายการมีค่าเท่ากัน
ในสูตรการกำหนดจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนด้วยการทำซ้ำ เราหารแฟกทอเรียลของจำนวนทั้งหมด n ขององค์ประกอบด้วยผลคูณของแฟกทอเรียลขององค์ประกอบที่ซ้ำกัน
คือจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ n
เป็นจำนวนองค์ประกอบแต่ละประเภทที่ซ้ำกัน
เป็นแฟกทอเรียลของจำนวนองค์ประกอบทั้งหมด n
ตัวอย่าง
มาดูว่ามีการเรียงสับเปลี่ยนกันมากแค่ไหนสำหรับคำว่า EGG เพื่อให้ง่ายขึ้น มาระบายสีตัวอักษรกัน มาดูแอนนาแกรมของคำว่า EGG กัน
จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนอย่างง่ายที่มีองค์ประกอบ 3 ตัวถูกกำหนดโดย
อย่างไรก็ตาม มีการเรียงสับเปลี่ยนบางอย่างซ้ำแล้วซ้ำเล่า และเราไม่สามารถนับซ้ำได้ สำหรับสิ่งนี้เราต้องหารค่าของ (เพราะคำนี้มีสามตัวอักษร) โดย
(เพราะตัวอักษร O ซ้ำสองครั้ง)
ดังนั้นจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนสำหรับตัวอักษรของคำว่า OVO เท่ากับ 3
ลองดูตัวอย่างอื่นที่เราจะกำหนดจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนสำหรับตัวอักษรของคำว่า BANANA
ที่ไหน:
หมายถึงการเรียงสับเปลี่ยนที่มีองค์ประกอบ 6 ตัวโดยที่ตัวอักษร A และ N ซ้ำ
3! สำหรับตัวอักษร A ซ้ำสามครั้ง
2! สำหรับตัวอักษร N ซ้ำสองครั้ง
เคล็ดลับที่จะทำให้การคำนวณง่ายขึ้นคือการพัฒนา 6! จนกว่าจะถึง 3! ลดความซับซ้อนด้วยตัวส่วน ดูพัฒนาการ.
ดังนั้น จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของตัวอักษรในคำว่า BANANA จะเท่ากับ 60
บางทีคุณอาจสนใจเนื้อหาเหล่านี้ในการวิเคราะห์เชิงผสมผสาน:
การวิเคราะห์เชิงผสมผสาน
แบบฝึกหัดเกี่ยวกับการวิเคราะห์เชิงผสมผสาน
