การศึกษาเกี่ยวกับ ชุดตัวเลข ถือเป็นหนึ่งในสาขาวิชาหลักของคณิตศาสตร์ เนื่องจากมีความสำคัญมากสำหรับการพัฒนาเชิงทฤษฎีของสาขาวิชาและมีการนำไปใช้ได้จริงหลายประการ ชุดตัวเลขประกอบด้วยในการศึกษา:
- ตัวเลขธรรมชาติ
- จำนวนเต็ม;
- สรุปตัวเลข;
- จำนวนอตรรกยะ
- จำนวนจริง; และ
- ตัวเลขที่ซับซ้อน
อ่านเพิ่มเติม: จำนวนเฉพาะ - ตัวเลขที่มีเพียง 1 และตัวมันเองเป็นตัวหาร
ชุดตัวเลขธรรมชาติ
การพัฒนาของอารยธรรมแรกนำมาซึ่งการปรับปรุงการเกษตรและการพาณิชย์และด้วยเหตุนี้ ใช้ตัวเลขแทนปริมาณ. ชุดแรกมาโดยธรรมชาติ จึงเป็นที่มาของชื่อ เซตที่มีชื่อตามธรรมชาติใช้แทนปริมาณ ซึ่งเขียนแทนด้วย สัญลักษณ์ ℕ และเขียนเป็นลำดับ ดู:
โอ ชุดตัวเลข naturaคือ é อนันต์และปิดสำหรับการดำเนินงานของ ส่วนที่เพิ่มเข้าไป และการคูณนั่นคือ เมื่อใดก็ตามที่เราบวกหรือคูณจำนวนธรรมชาติสองตัว คำตอบก็ยังคงเป็นธรรมชาติ อย่างไรก็ตามสำหรับการดำเนินการลบและ แผนก,ชุดไม่ปิด. ดู:
5 – 6 = –1
3 ÷ 2 = 0,5
โปรดทราบว่าตัวเลข –1 และ 0,5 พวกเขาไม่ได้อยู่ในชุดของธรรมชาติและนี่คือเหตุผลสำหรับการสร้างและการศึกษาชุดของตัวเลขใหม่
อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)
นอกจากนี้ การใส่เครื่องหมายดอกจัน (*) ในสัญลักษณ์ของเซตธรรมชาติ เราต้องลบเลขศูนย์ออกจากรายการ ดู:
ชุดเลขเต็ม
ชุดจำนวนเต็มมาพร้อมกับ จำเป็นต้องดำเนินการของ การลบ ไม่มีข้อจำกัด ดังที่เราได้เห็น เมื่อลบจำนวนที่น้อยกว่าออกจากจำนวนที่มากกว่า คำตอบนั้นไม่อยู่ในกลุ่มของธรรมชาติ
เซตของจำนวนเต็มยังแสดงด้วยลำดับตัวเลขอนันต์และแสดงด้วย สัญลักษณ์ ℤ.
เช่นเดียวกับในชุดของจำนวนธรรมชาติ โดยการวางเครื่องหมายดอกจันในสัญลักษณ์ ℤ ศูนย์องค์ประกอบจะถูกลบออกจากชุดดังนี้:
สัญลักษณ์ (–) ที่มาพร้อมกับตัวเลขแสดงว่ามีความสมมาตร ดังนั้นความสมมาตรของตัวเลข 4 จึงเป็นตัวเลข –4 โปรดทราบด้วยว่าเซตของจำนวนธรรมชาตินั้นมีอยู่ในเซตของจำนวนเต็ม กล่าวคือ เซตของจำนวนธรรมชาติคือเซตย่อยของเซตของจำนวนเต็ม
ℕ ⸦ ℤ
อ่านด้วย: การดำเนินการกับจำนวนเต็ม – คืออะไรและคำนวณอย่างไร
ชุดของจำนวนตรรกยะ
โอ ชุดของจำนวนตรรกยะ é แสดงด้วยสัญลักษณ์ ℚ และไม่ได้แสดงด้วยลำดับตัวเลข. ชุดนี้ประกอบด้วยตัวเลขทั้งหมดที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ เราเป็นตัวแทนขององค์ประกอบดังต่อไปนี้:
เรารู้ว่าทุกจำนวนเต็มสามารถแทนด้วย a เศษส่วนกล่าวคือ เซตของจำนวนเต็มมีอยู่ในจำนวนตรรกยะ ดังนั้น เซตของจำนวนเต็มเป็นเซตย่อยของตรรกยะ.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ
ตัวเลขที่มีการแทนค่าอนันต์ เช่น ส่วนสิบเป็นระยะมีการแทนค่าในรูปของเศษส่วนด้วย ดังนั้นจึงมีเหตุผลด้วย
อ่านด้วย: การดำเนินการกับเศษส่วน - วิธีแก้ปัญหาทีละขั้นตอน
ชุดของจำนวนอตรรกยะ
ดังที่เราได้เห็น ตัวเลขเป็นเหตุเป็นผลถ้าสามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ มีการกล่าวกันว่าจำนวนอนันต์และเป็นระยะเป็นจำนวนตรรกยะ แต่ก็มีตัวเลขบางตัวที่ เขียนเป็นเศษส่วนไม่ได้ และไม่อยู่ในเซตของจำนวนตรรกยะ
จำนวนอตรรกยะเหล่านี้เรียกว่า These ไม่มีเหตุผล และมีลักษณะเด่นคือ อนันต์ของส่วนทศนิยมและไม่ความถี่นั่นคือไม่มีตัวเลขในส่วนทศนิยมซ้ำ ดูตัวอย่างบางส่วนของ จำนวนอตรรกยะ.
- ตัวอย่าง 1
รากที่สองของตัวเลขที่ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์
- ตัวอย่าง 2
ค่าคงที่มาจากเหตุผลพิเศษ เช่น ตัวเลขทอง หมายเลขออยเลอร์ หรือ Pi
ชุดจำนวนจริง
โอ เซตของจำนวนจริง แทนด้วยสัญลักษณ์ ℝ และประกอบขึ้นด้วย ความสามัคคีของเซตของจำนวนตรรกยะกับเซตของจำนวนอตรรกยะ จำไว้ว่าเซตของตรรกยะคือการรวมกันของเซตธรรมชาติและเซตจำนวนเต็ม
เมื่อเราจัดเรียงจำนวนจริงบนเส้นตรง เราพบว่าเลขศูนย์คือที่มาของเส้น ทางด้านขวาของศูนย์จะเป็นตัวเลขบวก และทางซ้ายคือตัวเลขติดลบ
เนื่องจากแกนนี้เป็นของจริง เราสามารถพูดได้ว่าระหว่างตัวเลขสองตัวนั้นมีจำนวนอนันต์และแกนนี้มีอนันต์ทั้งใน ทิศทางบวก เมื่ออยู่ใน ทิศทางลบ.
เซตของจำนวนเชิงซ้อน
โอ เซตจำนวนเชิงซ้อน มันเป็น ล่าสุด และเกิดขึ้นด้วยเหตุผลเดียวกับเซตของจำนวนเต็ม นั่นคือ มันเป็นการดำเนินการที่ไม่สามารถพัฒนาด้วยเซตของจำนวนจริงเท่านั้น
แก้สมการต่อไปนี้ เห็นว่าไม่มีคำตอบ รู้แต่จำนวนจริงเท่านั้น
x2 + 1 = 0
x2 = –1
สังเกตว่าเราต้องหาตัวเลขว่าเมื่อ ยกระดับdโอ กำลังสอง ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบ เรารู้ว่า เลขใดๆ กำลังสอง จะเป็นบวกเสมอดังนั้น การคำนวณนี้จึงไม่มีคำตอบที่แท้จริง
ดังนั้นจำนวนเชิงซ้อนจึงถูกสร้างขึ้นซึ่งเรามี จำนวนจินตภาพ แสดงโดย ผม, ซึ่งมีค่าดังต่อไปนี้
ดังนั้นจงตระหนักว่า สมการ ที่เมื่อก่อนไม่มีทางออก ตอนนี้ก็มีแล้ว เช็คเอาท์:
อ่านเพิ่มเติม: คุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อน
ช่วงเวลาจริง
ในบางกรณี เราจะไม่ใช้แกนจริงทุกแกน กล่าวคือ เราจะใช้บางส่วนของแกนจริงที่เรียกว่า it แบ่ง. ช่วงเวลาเหล่านี้คือ เซตย่อยของเซตของจำนวนจริง ต่อไป เราจะสร้างสัญลักษณ์บางอย่างสำหรับชุดย่อยเหล่านี้
ช่วงปิด - ไม่รวมสุดขั้ว
ช่วงเวลาจะถูกปิดเมื่อ มีสองขั้วของมันกล่าวคือ ต่ำสุดและสูงสุด และในกรณีนี้ สุดขั้ว ไม่อยู่ในขอบเขต เราจะแสดงสิ่งนี้โดยใช้ลูกบอลเปิด ดู:
สีแดงคือตัวเลขที่อยู่ในช่วงนี้ กล่าวคือ เป็นตัวเลข ใหญ่กว่า a และเล็กกว่า b พีชคณิตเราเขียนช่วงดังกล่าวดังนี้:
ที่ < x
โดยที่จำนวน x คือจำนวนจริงทั้งหมดที่อยู่ในช่วงนี้ เรายังสามารถแสดงเป็นสัญลักษณ์ได้อีกด้วย ดู:
]; บี[ หรือ (ที่; ข)
ช่วงปิด - รวมถึงสุดขั้ว
ตอนนี้ใช้ลูกบอลปิดเพื่อเป็นตัวแทนของสิ่งนั้น สุดขั้วอยู่ในขอบเขต.
เรากำลังรวบรวมจำนวนจริงที่อยู่ระหว่าง a กับ b รวมทั้งพวกมันด้วย พีชคณิตเราแสดงช่วงเวลาดังกล่าวโดย:
≤ xข
โดยใช้สัญกรณ์สัญลักษณ์ เรามี:
[ที่; ข]
ช่วงปิด - รวมถึงหนึ่งในสุดขั้ว
ยังคงจัดการกับช่วงปิดตอนนี้เรามีกรณีที่ รวมสุดขั้วเดียวเท่านั้น. ดังนั้น ลูกหินลูกหนึ่งจะปิดลง แสดงว่าหมายเลขนั้นอยู่ในขอบเขต และอีกลูกหนึ่งไม่ใช่ แสดงว่าหมายเลขนั้นไม่ได้อยู่ในช่วงนั้น
พีชคณิตเราแสดงช่วงนี้ดังนี้:
≤ x
ในเชิงสัญลักษณ์เรามี:
[ที่; บี[ หรือ [ที่; ข)
ช่วงเปิด - ไม่รวมจุดสิ้นสุด
ช่วงถูกเปิดเมื่อ ไม่มีองค์ประกอบสูงสุดหรือต่ำสุด. ตอนนี้เราจะเห็นกรณีช่วงเปิดที่มีองค์ประกอบสูงสุดเท่านั้นซึ่งไม่รวมอยู่ในช่วง
เห็นว่าช่วงประกอบด้วย จำนวนจริงน้อยกว่าข และโปรดทราบด้วยว่า หมายเลข b ไม่อยู่ในช่วง (เปิดบอล) ดังนั้น พีชคณิต เราสามารถแทนช่วงโดย:
x
ในเชิงสัญลักษณ์เราสามารถแสดงได้โดย:
] – ∞; บี[ หรือ (– ∞; ข)
ช่วงเปิด - รวมถึงสุดขีด
อีกตัวอย่างหนึ่งของช่วงเปิดคือกรณีที่รวมสุดขั้ว ที่นี่เรามีช่วงที่องค์ประกอบขั้นต่ำปรากฏขึ้น ดู:
โปรดทราบว่าจำนวนจริงทั้งหมดมากกว่าหรือเท่ากับจำนวน a ดังนั้นเราสามารถเขียนช่วงนี้เป็นพีชคณิตโดย:
xถึง
ในเชิงสัญลักษณ์เรามี:
[ที่; +∞[ หรือ [ที่; +∞)
ช่วงเปิด
อีกกรณีหนึ่งของช่วงเปิดเกิดขึ้นโดย ตัวเลขที่ใหญ่กว่าและเล็กกว่าตัวเลขที่กำหนดบนเส้นจริง ดู:
โปรดทราบว่าจำนวนจริงที่อยู่ในช่วงนี้คือจำนวนที่น้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวน a หรือจำนวนที่มากกว่าจำนวน b ดังนั้นเราต้อง:
x ถึง หรือx > ข
ในเชิงสัญลักษณ์เรามี:
] – ∞; a] คุณ ] b; + ∞[
หรือ
(– ∞; ก] คุณ(ข; + ∞)
โดย Robson Luiz
ครูคณิต
