Винаги, когато думата „алгебричен“ се използва за числов израз, това означава, че този израз има поне една неизвестна, т.е. буква или символ, използвани за представяне на число неизвестен. По този начин, a алгебрична дробот своя страна не е нищо повече от фракция, която има поне една неизвестна в знаменател (дъното на фракцията). Следователно, опростяване на алгебрични дроби следва същата основа като опростяването на числовите дроби.
Примери за алгебрични дроби са:
1)
2x
4г
2)
4г2 - 9x2
2y + 3x
Опростяване на алгебрични дроби
Опростяването на алгебрична фракция следва същата основа като опростяването на числова дроб. Необходимо е да разделим числителя и знаменателя на едно и също число. Обърнете внимание на пример за опростяване на фракцията:
30 = 15 = 5 = 1
60 30 10 2
Фракцията по-горе беше опростена с 2, след това с 3 и след това с 5. В подкрепа на процедурата на опростяване на алгебрични дроби, ще пренапишем първата дроб по-горе във факторната й форма:
30 = 2·3·5
60 2·2·3·5
Обърнете внимание, че числата 2, 3 и 5 се повтарят в числителя и знаменателя и че те бяха точно същите числа, с които фракцията беше опростена. В контекста на
алгебрични дроби, процедурата е подобна, каквато е необходимо за факториране на полиномите, присъстващи в числителя и знаменателя. След това трябва да преценим дали е възможно да се опростят някои от тях.Примери
1) Опростете следната алгебрична дроб:
4x2у3
16xy6
Факторирайте всяко от неизвестните и числата, присъстващи във фракцията:
4x2у3
16xy6
2· 2 · x · x · y · y · y
2 · 2 · 2 · 2 · x · y · y · y · y · y · y
Сега изпълнете колкото се може повече деления, както направихте по-рано за числовата дроб: Числата, които се появяват както в числителя, така и в знаменателя, изчезват, тоест те са "разрез". Също така е възможно да се напише, че резултатът от всяко от тези опростявания е 1. Гледам:
2· 2 · x · x · y · y · y
2 · 2 · 2 · 2 · x · y · y · y · y · y · y
х
2 · 2 · y · y · y
х
4г3
2) Опростете следната алгебрична дроб:
4г2 - 9x2
2y + 3x
Имайте предвид, че числителят на това алгебрична дроб попада в един от случаите на забележителни продукти, т.е. два квадратни разлики. За да го вземете предвид, просто го препишете във факторната му форма. След това е възможно да „изрежете“ термините, които се появяват както в знаменателя, така и в числителя, както в предишния пример. Гледам:
4г2 - 9x2
2y + 3x
= (2y + 3x) (2y - 3x)
2y + 3x
= 1 · (2y - 3x)
= 2y + 3x
3) Опростете следната алгебрична дроб:
The2(y2 - 16x2)
ay + 4ax
Както беше направено по-рано, факторирайте полиномите, присъстващи в числителя и знаменателя. След това извършете възможните разделения.
The2(y2 - 16x2)
ay + 4ax
= The·The·(y + 4x) (y - 4x)
a · (y + 4x)
Имайте предвид, че числителят е разложен с помощта на два квадратни разлики а знаменателят се раздели чрез общия фактор. Освен това терминът a2 може да се запише като продукт a · a. Накрая изпълнете колкото се може повече разделения. А именно, a от a и (y + 4x) от (y + 4x):
The·The·(y + 4x) (y - 4x)
a · (y + 4x)
= 1 · 1 · (y - 4x)
= y - 4x
Случаите на факторизация са от първостепенно значение за опростяване на алгебричните дроби. По-долу са изброени най-важните случаи и някои страници, където те могат да бъдат намерени по-подробно.
Факториране на алгебрични изрази
Полином може да бъде записан във разделителната му форма, ако може да бъде изразен в една от четирите форми по-долу. Представените резултати са тяхната факторизирана форма или примери за това как да се факторизират:
1 - Общ фактор
Ако всички членове на полинома имат неизвестно или някакво общо число, възможно е те да бъдат доказани. Например в полинома 4x2 + 2x можем да поставим 2x като доказателство. Резултатът ще бъде:
4x2 + 2x = 2x (2x + 1)
Имайте предвид, че при извършване на умножението, посочено на втория член (дясната страна на равенството), резултатът ще бъде точно първия член (лявата страна на равенството), поради разпределителното свойство на умножение.
2 - Групиране
С оглед на предишния случай, полином, който има четири термина, може да бъде разложен на фактори чрез групиране, присъединяване общите термини две по две и по-късно се вземат предвид отново, ако резултатите оставят това възможност. Например 2x + bx + 2y + от полином може да се раздели по следния начин:
2x + bx + 2y + by
x (2 + b) + y (2 + b)
Имайте предвид, че (2 + b) се повтаря и в двата нови термина. И така, можем да го представим като доказателство:
x (2 + b) + y (2 + b)
(2 + b) (x + y)
3 - Перфектен квадратен трином
Всеки път, когато полином е перфектен квадратен трином, той ще бъде записан еквивалентно на един от следните три израза, подредени вляво и в червено.
х2 + 2x + a2 = (x + a) (x + a)
х2 - 2x + a2 = (x - a) (x - a)
х2 - а2 = (x + a) (x - a)
Дясната страна е факторизираната форма на полинома, която може да се използва за опростяване на алгебрична дроб.
4 - Сума или разлика от две кубчета
Винаги, когато полиномът е в следващата форма или може да бъде записан в него, това ще бъде сума от два куба.
х3 + 3x2при + 3x2 + на3 = (x + a)3
х3 - 3 пъти2при + 3x2 - а3 = (x - a)3
Отново, лявата страна, в червено, е полиномът, който може да бъде разложен и пренаписан като изразите от дясната страна.
От Луис Пауло Морейра
Завършва математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simplificacao-fracao-algebrica.htm