НА експоненциална функция е всяка функция на ℝ в ℝ*+, дефинирано от f (x) = aх, където a е реално число, по-голямо от нула и не равно на 1.
Възползвайте се от коментираните упражнения, за да изчистите всичките си съмнения относно това съдържание и не забравяйте да проверите знанията си в разрешените въпроси на състезанията.
Коментирани упражнения
Упражнение 1
Група биолози изучава развитието на определена колония от бактерии и установи, че при идеални условия броят на бактериите може да се намери чрез израза N (t) = 2000. 20,5 т, като t за часове.
Имайки предвид тези условия, колко време след началото на наблюдението броят на бактериите ще бъде равен на 8192000?
Решение
В предложената ситуация знаем броя на бактериите, т.е. знаем, че N (t) = 8192000 и искаме да намерим стойността на t. Така че, просто заменете тази стойност в дадения израз:
За да решим това уравнение, нека запишем числото 4096 в прости множители, защото ако имаме една и съща основа, можем да изравним степента. Следователно, като разчитаме числото, имаме:
По този начин културата ще има 8 192 000 бактерии след 1 ден (24 часа) от началото на наблюдението.
Упражнение 2
Радиоактивните материали имат естествената тенденция с течение на времето да дезинтегрират своята радиоактивна маса. Времето, необходимо за разпадането на половината от радиоактивната му маса, се нарича негов полуживот.
Количеството радиоактивен материал от даден елемент се определя от:
Бидейки,
N (t): количеството радиоактивен материал (в грамове) за даден момент.
н0: първоначалното количество материал (в грамове)
T: време на полуживот (в години)
t: време (в години)
Като се има предвид, че полуживотът на този елемент е равен на 28 години, определете времето, необходимо за намаляване на радиоактивния материал до 25% от първоначалното му количество.
Решение
За предложената ситуация A (t) = 0,25 A0 = 1/4 A0, така че можем да напишем дадения израз, замествайки T с 28 години, след това:
Следователно ще са необходими 56 години, за да се намали количеството радиоактивен материал с 25%.
Въпроси за конкурса
1) Unesp - 2018
Ибупрофен е предписано лекарство за болка и треска, с полуживот от около 2 часа. Това означава, че например след 2 часа поглъщане на 200 mg ибупрофен, само 100 mg от лекарството ще останат в кръвта на пациента. След още 2 часа (общо 4 часа) в кръвта ще останат само 50 mg и така нататък. Ако пациентът получава 800 mg ибупрофен на всеки 6 часа, количеството на това лекарство, което ще остане в кръвта за 14-ия час след приема на първата доза, ще бъде
а) 12,50 mg
б) 456,25 mg
в) 114,28 mg
г) 6,25 mg
д) 537.50 mg
Тъй като първоначалното количество лекарства в кръвта на всеки 2 часа е разделено наполовина, можем да представим тази ситуация, като използваме следната схема:
Обърнете внимание, че експонентата във всяка ситуация е равна на времето, разделено на 2. По този начин можем да определим количеството лекарства в кръвта като функция от времето, като използваме следния израз:
Битие
Q (t): количеството за даден час
Въпрос:0: първоначалното погълнато количество
t: време в часове
Като се има предвид, че 800 mg ибупрофен са приемани на всеки 6 часа, тогава имаме:
За да намерим количеството лекарство в кръвта 14 часа след поглъщането на 1-ва доза, трябва да добавим количествата, отнасящи се до 1-ва, 2-ра и 3-та дози. Изчислявайки тези количества, имаме:
Количеството на първата доза ще бъде намерено, като се има предвид времето, равно на 14 часа, така че имаме:
За втората доза, както е показано на диаграмата по-горе, времето беше 8 часа. Заменяйки тази стойност, имаме:
Времето за 3-тата доза ще бъде само 2 часа. Тогава количеството, свързано с 3-тата доза, ще бъде:
Сега, когато знаем количествата за всяка погълната доза, можем да намерим общото количество, като добавим всяко от намерените количества:
Въпрос:обща сума= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 mg
Алтернатива b) 456,25 mg
2) UERJ - 2013
Езеро, използвано за захранване на град, е замърсено след индустриална авария, достигайки нивото на токсичност Т0, съответстващи на десет пъти първоначалното ниво.
Прочетете информацията по-долу.
- Естественият поток на езерото позволява да се обновява 50% от обема му на всеки десет дни.
- Нивото на токсичност T (x), след x дни от инцидента, може да бъде изчислено, като се използва следното уравнение:
Помислете за D най-малкия брой дни спиране на водоснабдяването, необходими за връщане на токсичността до първоначалното ниво.
Ако log 2 = 0,3, стойността на D е равна на:
а) 30
б) 32
в) 34
г) 36
За да се върне първоначалното ниво на токсичност е необходимо:
Замествайки тази стойност в дадената функция, имаме:
Умножавайки се в "кръст", уравнението става:
2 0,1x= 10
Нека приложим основния логаритъм 10 от двете страни, за да го превърнем в уравнение от 1-ва степен:
дневник (20,1x) = дневник 10
Като си спомним, че дневникът на 10 в база 10 е равен на 1, нашето уравнение ще изглежда така:
0,1x. log 2 = 1
Като се има предвид, че log 2 = 0,3 и заместваме тази стойност в уравнението:
По този начин най-малкият брой дни, приблизително, че доставката трябва да бъде спряна, е 34 дни.
Алтернатива в) 34
3) Fuvesp - 2018
Нека f: ℝ → ℝ и g: ℝ+ → ℝ дефинирано от
съответно.
Графиката на съставната функция gºвяра:
Графиката, която търсите, е съставната функция gºf, следователно първата стъпка е да се определи тази функция. За това трябва да заменим функцията f (x) в x на функцията g (x). Правейки тази подмяна, ще открием:
Използвайки свойството логаритъм на коефициента и степента, имаме:
Обърнете внимание, че функцията, намерена по-горе, е от тип ax + b, което е афинна функция. Така че вашата графика ще бъде права линия.
Също така наклонът a е равен на log10 5, което е положително число, така че графиката ще се увеличава. По този начин можем да премахнем опции b, c и e.
Остават ни опциите a и d, но когато x = 0 имаме gof = - log10 2, което е отрицателна стойност, както е представено на графика а.
Алтернатива а) 
4) Unicamp - 2014
Графиката по-долу показва кривата на биотичния потенциал q (t) за популация от микроорганизми във времето t.
Тъй като a и b са реални константи, функцията, която може да представи този потенциал, е
а) q (t) = при + b
б) q (t) = abT
в) q (t) = при2 + bt
г) q (t) = a + log Б. T
От показаната графика можем да установим, че когато t = 0, функцията е равна на 1000. Освен това е възможно също така да се забележи, че функцията не е афинна, тъй като графиката не е права линия.
Ако функцията беше от тип q (t) = at2+ bt, когато t = 0, резултатът ще бъде равен на нула, а не на 1000. Така че това също не е квадратна функция.
Как да влезетеБ.0 не е дефинирано, нито би могло да има като отговор функцията q (t) = a + logБ.T.
По този начин единствената опция ще бъде функцията q (t) = abT. Като се има предвид t = 0, функцията ще бъде q (t) = a, тъй като a е постоянна стойност, достатъчно е тя да е равна на 1000, за да може функцията да съответства на дадената графика.
Алтернатива b) q (t) = abT
5) Enem (PPL) - 2015 г.
Профсъюзът на работниците в компания предлага минималният размер на заплатите в класа да бъде 1800,00 R $, като предлага фиксиран процент за всяка година, посветена на работа. Изразът, който съответства на предложението (ите) за заплата, като функция от трудовия стаж (t), в години, е s (t) = 1800. (1,03)T .
Според предложението на синдиката заплатата на професионалист от тази компания с 2 години трудов стаж ще бъде в реали,
а) 7 416,00
б) 3 819,24
в) 3 709,62
г) 3 708,00
д) 1 909,62.
Изразът за изчисляване на заплатата като функция от времето, предложен от обединението, съответства на експоненциална функция.
За да намерим стойността на заплатата в посочената ситуация, нека изчислим стойността на s, когато t = 2, както е посочено по-долу:
s (2) = 1800. (1,03)2 = 1800. 1,0609 = 1 909,62
Алтернатива д) 1 909,62
Прочетете и вие:
- Експоненциална функция
- Логаритъм
- Логаритъм - Упражнения
- Свойства на логаритъма
- Потенциране
- упражнения за потенциране
- Афинна функция
- Линейна функция
- Свързани упражнения за функции
- Квадратична функция
- Квадратична функция - Упражнения
- Математически формули
