Mmc и mdc представляват съответно най-малкият общ кратен и най-големият общ делител между две или повече числа.
Не пропускайте възможността да изясните всичките си съмнения чрез коментираните и решени упражнения, които представяме по-долу.
Предложени упражнения
Упражнение 1
По отношение на числа 12 и 18 определете, без да обмисляте 1.
а) Разделителите на 12.
б) Разделителите на 18.
в) Общите разделители на 12 и 18.
г) Най-големият общ делител на 12 и 18.
а) 2, 3, 4, 6 и 12.
б) 2, 3, 6, 9, 18.
в) 2, 3 и 6
г) 6
Упражнение 2
Изчислете MMC и MDC между 36 и 44.
Упражнение 3
Да разгледаме число x, естествено. След това класифицирайте твърденията като верни или неверни и ги обосновете.
а) Най-големият общ делител на 24 и x може да бъде 7.
б) Най-големият общ делител на 55 и 15 може да бъде 5.
а) Не, защото 7 не е делител на 24.
б) Да, тъй като 5 е общ делител между 55 и 15.
Упражнение 4
В презентация за пускането на новия състезателен автомобил на екипа TodaMatéria се проведе необичайно състезание. Участваха три автомобила: стартовият автомобил, автомобилът от миналия сезон и редовен лек автомобил.
Веригата е овална, трите стартираха заедно и поддържаха постоянни скорости. Стартовата кола отнема 6 минути, за да завърши една обиколка. Колата от миналия сезон отнема 9 минути, за да завърши една обиколка, а пътническата кола отнема 18 минути, за да завърши една обиколка.
След началото на състезанието, колко време ще им отнеме да преминат отново през същата начална точка заедно?
За да се определи е необходимо да се изчисли mmc (6, 9, 18).
Така те отново преминаха през същата отправна точка 18 минути по-късно.
Упражнение 5
В една конфекция има ролки от мрежа с размери 120, 180 и 240 сантиметра. Ще трябва да нарежете плата на равни парчета, колкото е възможно по-големи, и нищо не остава. Каква ще бъде максималната дължина на всяка мрежеста лента?
За да определим, трябва да изчислим mdc (120,180,240).
Най-дългата възможна дължина, без надвеси, ще бъде 60 см.
Упражнение 6
Определете MMC и MDC от следните числа.
а) 40 и 64
Точен отговор: mmc = 320 и mdc = 8.
За да се намерят mmc и mdc, най-бързият метод е да се разделят числата едновременно на възможно най-малките прости числа. Виж отдолу.
Имайте предвид, че mmc се изчислява чрез умножаване на числата, използвани при факторинг, а gdc се изчислява чрез умножаване на числата, които разделят двете числа едновременно.
б) 80, 100 и 120
Точен отговор: mmc = 1200 и mdc = 20.
Едновременното разлагане на трите числа ще ни даде mmc и mdc на представените стойности. Виж отдолу.
Делението на прости числа ни даде резултата от mmc чрез умножаване на множителите и mdc чрез умножаване на факторите, които разделят трите числа едновременно.
Упражнение 7
Използвайки разлагане на прости числа, определете: кои са двете последователни числа, чийто mmc е 1260?
а) 32 и 33
б) 33 и 34
в) 35 и 36
г) 37 и 38
Правилна алтернатива: в) 35 и 36.
Първо, трябва да разделим числото 1260 и да определим основните фактори.
Умножавайки факторите, откриваме, че последователните числа са 35 и 36.
За да го докажем, нека изчислим mmc на двете числа.
Упражнение 8
Ще бъде проведен лов на чистачи с ученици от три паралелки от 6, 7 и 8 клас, за да отпразнуваме Деня на студента. Вижте по-долу броя на учениците във всеки клас.
| Клас | 6º | 7º | 8º |
| Брой ученици | 18 | 24 | 36 |
Определете чрез MDC максималния брой ученици във всеки клас, които могат да участват в състезанието като част от екип.
След това отговорете: колко отбора могат да бъдат сформирани съответно от 6, 7 и 8 клас с максимален брой участници на отбор?
а) 3, 4 и 5
б) 4, 5 и 6
в) 2, 3 и 4
г) 3, 4 и 6
Правилна алтернатива: г) 3, 4 и 6.
За да отговорим на този въпрос, трябва да започнем, като разделим дадените стойности на прости числа.
Следователно намерихме максималния брой ученици на екип и по този начин всеки клас ще има:
6-та година: 6/18 = 3 отбора
7-ма година: 6/24 = 4 отбора
8-ма година: 36/6 = 6 отбора
Решени входящи изпити
Въпрос 1
(Apprentice Sailor - 2016) Нека A = 120, B = 160, x = mmc (A, B) и y = mdc (A, B), тогава стойността на x + y е равна на:
а) 460
б) 480
в) 500
г) 520
д) 540
Правилна алтернатива: г) 520.
За да намерите стойността на сумата от x и y, първо трябва да намерите тези стойности.
По този начин ще разделим числата на прости множители и след това ще изчислим mmc и mdc между дадените числа.
Сега, когато знаем стойността на x (mmc) и y (mdc), можем да намерим сумата:
x + y = 480 + 40 = 520
Алтернатива: г) 520
въпрос 2
(Unicamp - 2015) Таблицата по-долу информира някои хранителни стойности за едно и също количество от две храни, A и B.
Помислете за две изокалорични порции (с една и съща енергийна стойност) от храни A и B. Съотношението между количеството протеин в А и количеството протеин в В е равно на
а) 4.
б) 6.
в) 8.
г) 10.
Правилна алтернатива: в) 8.
За да намерим изокалорични порции храни A и B, нека изчислим mmc между съответните енергийни стойности.
И така, трябва да вземем предвид необходимото количество от всяка храна, за да получим калоричната стойност.
Като се има предвид храна А, за да има калорична стойност 240 Kcal, е необходимо първоначалните калории да се умножат по 4 (60. 4 = 240). За храна Б е необходимо да се умножи по 3 (80. 3 = 240).
По този начин количеството протеин в храната А ще бъде умножено по 4, а това в храна Б по 3:
Храна А: 6. 4 = 24 g
Храна Б: 1. 3 = 3 g
По този начин имаме, че съотношението между тези количества ще бъде дадено от:
Алтернатива: в) 8
въпрос 3
(UERJ - 2015) В таблицата по-долу са посочени три възможности за подреждане на n тетрадки в пакети:
Ако n е по-малко от 1200, сумата от цифрите на най-голямата стойност на n е:
а) 12
б) 17
в) 21
г) 26
Правилна алтернатива: б) 17.
Имайки предвид стойностите, посочени в таблицата, имаме следните взаимоотношения:
n = 12. x + 11
n = 20. y + 19
n = 18. z + 17
Имайте предвид, че ако добавим 1 книга към стойността на n, вече няма да имаме остатък в трите ситуации, тъй като ще формираме друг пакет:
n + 1 = 12. x + 12
n + 1 = 20. x + 20
n + 1 = 18. x + 18
По този начин n + 1 е общо кратно на 12, 18 и 20, така че ако намерим mmc (което е най-малкото общо кратно), оттам можем да намерим стойността на n + 1.
Изчисляване на mmc:
Така че най-малката стойност на n + 1 ще бъде 180. Искаме обаче да намерим най-голямата стойност от n по-малка от 1200. Така че нека потърсим кратно, което отговаря на тези условия.
За това нека умножим 180, докато намерим желаната стойност:
180. 2 = 360
180. 3 = 540
180. 4 = 720
180. 5 = 900
180. 6 = 1 080
180. 7 = 1 260 (тази стойност е по-голяма от 1 200)
Така че можем да изчислим стойността на n:
n + 1 = 1 080
n = 1080 - 1
n = 1079
Сумата от неговите цифри ще бъде дадена от:
1 + 0 + 7 + 9 = 17
Алтернатива: б) 17
Вижте също: MMC и MDC
въпрос 4
(Enem - 2015) Архитект ремонтира къща. За да допринесе за околната среда, той решава да използва дървените дъски, взети от къщата. Той има 40 дъски с размери 540 см, 30 с 810 см и 10 с 1080 см, всички с еднаква ширина и дебелина. Той помоли дърводелеца да отреже дъските на парчета с еднаква дължина, без да напуска остатъци и така, че новите парчета да са възможно най-големи, но по-къси по дължина че 2 m.
По искане на архитекта дърводелецът трябва да произведе
а) 105 броя.
б) 120 броя.
в) 210 броя.
г) 243 броя.
д) 420 броя.
Правилна алтернатива: д) 420 броя.
Тъй като парчетата трябва да бъдат с еднаква дължина и възможно най-големи, нека изчислим mdc (максимален общ делител).
Нека изчислим mdc между 540, 810 и 1080:
Намерената стойност обаче не може да се използва, тъй като има ограничение за дължината, по-малка от 2 m.
Така че нека разделим 2,7 на 2, тъй като намерената стойност също ще бъде общ делител на 540, 810 и 1080, тъй като 2 е най-малкият общ прост фактор на тези числа.
Тогава дължината на всяко парче ще бъде равна на 1,35 м (2,7: 2). Сега трябва да изчислим колко парчета ще имаме от всяка дъска. За това ще направим:
5,40: 1,35 = 4 броя
8,10: 1,35 = 6 броя
10,80: 1,35 = 8 броя
Имайки предвид количеството на всяка дъска и събирайки се, имаме:
40. 4 + 30. 6 + 10. 8 = 160 + 180 + 80 = 420 броя
Алтернатива: д) 420 броя
въпрос 5
(Enem - 2015) Управителят на кино ежегодно предоставя безплатни билети за училищата. Тази година 400 билета ще бъдат разпределени за следобедна сесия и 320 билета за вечерна сесия на същия филм. За получаване на билети могат да бъдат избрани множество училища. Има някои критерии за разпространение на билети:
- всяко училище трябва да получи билети за една сесия;
- всички допустими училища трябва да получат еднакъв брой билети;
- няма да има останали билети (т.е. всички билети ще бъдат разпределени).
Минималният брой училища, които могат да бъдат избрани за получаване на билети, съгласно установените критерии, е
а) 2.
б) 4.
в) 9.
г) 40.
д) 80.
Правилна алтернатива: в) 9.
За да разберем минималния брой училища, трябва да знаем максималния брой билети, които всяко училище може да получи, като се има предвид, че този брой трябва да бъде равен и в двете сесии.
По този начин ще изчислим mdc между 400 и 320:
Намерената стойност на mdc представлява най-големия брой билети, които всяко училище ще получи, така че да няма остатъци.
За да изчислим минималния брой училища, които могат да бъдат избрани, трябва също да разделим броя на билетите за всяка сесия на броя на билетите, които ще получи всяко училище, така че имаме:
400: 80 = 5
320: 80 = 4
Следователно минималният брой училища ще бъде равен на 9 (5 + 4).
Алтернатива: в) 9.
въпрос 6
(Cefet / RJ - 2012) Каква е стойността на числовия израз ?
а) 0,2222
б) 0,2323
в) 0,2332
г) 0,3222
Правилна алтернатива: а) 0,2222
За да се намери стойността на числовия израз, първата стъпка е да се изчисли mmc между знаменателите. Поради това:
Намереният mmc ще бъде новият знаменател на фракциите.
Въпреки това, за да не променяме стойността на фракцията, трябва да умножим стойността на всеки числител по резултата от разделянето на mmc на всеки знаменател:
Решавайки събирането и разделянето, имаме:
Алтернатива: а) 0,2222
въпрос 7
(EPCAR - 2010) Земеделски производител ще засади фасул в право легло. За това той започна да маркира местата, където ще засади семената. Фигурата по-долу показва точките, вече маркирани от фермера, и разстоянията в см между тях.
След това този фермер отбеляза други точки сред съществуващите, така че разстоянието д сред всички тях беше един и същ и възможно най-големият. ако х представлява броя на разстоянията д е получена от фермера, така че х е число, делимо на
а) 4
б) 5
в) 6
г) 7
Правилна алтернатива: г) 7.
За да разрешим въпроса, трябва да намерим число, което разделя представените числа едновременно. Тъй като разстоянието се иска да бъде възможно най-далеч, ние ще изчислим mdc между тях.
По този начин разстоянието между всяка точка ще бъде равно на 5 cm.
За да намерим броя повторения на това разстояние, нека разделим всеки оригинален сегмент на 5 и добавим намерените стойности:
15: 5 = 3
70: 5 = 14
150: 5 = 30
500: 5 = 100
x = 3 + 14 + 30 + 100 = 147
Намереното число се дели на 7, тъй като 21,7 = 147
Алтернатива: г) 7
Вижте също: Множители и делители
