Тригонометрични съотношения: синус, косинус и тангенс са отношения между страните на правоъгълен триъгълник. С помощта на тези съотношения е възможно да се определят неизвестни стойности на ъгли и странични измервания.
Упражнявайте знанията си с решените проблеми.
въпроси за синусите
Въпрос 1
е ъгълът равна на 30° и хипотенузата 47 m, изчислете измерването на височината В на триъгълника.
Тригонометричното синусно съотношение е частното между мерките на противоположната страна на ъгъла и хипотенузата.
Изолиращо В от една страна на равенството имаме:
От тригонометрична таблица имаме, че синусът от 30° е равен на , замествайки в уравнението:
Следователно височината на триъгълника е 23,50 m.
въпрос 2
Изгледът отгоре на парк показва две пътеки, за да стигнете до точка C от точка A. Един от вариантите е да отидете до B, където има чешми и места за почивка, и след това до C. Ако посетител на парка иска да отиде направо до C, колко метра ще е изминал по-малко от първия вариант?
Помислете за приближения:
sin 58° = 0,85
cos 58° = 0,53
тен 58° = 1,60
Отговор: тръгвайки от A и тръгвайки направо към C, разходката е 7,54 m по-къса.
Стъпка 1: изчислете разстоянието.
Стъпка 2: определете разстоянието.
Стъпка 3: определете разстоянието .
Стъпка 4: Определете разликата между двата пътя.
въпрос 3
Инсталирана е въжена линия, свързваща база с върха на планина. За инсталацията са използвани 1358 m кабели, разположени под ъгъл от 30° спрямо земята. Колко висока е планината?
Правилен отговор: височината на планината е 679 m.
Можем да използваме тригонометричното съотношение на синусите, за да определим височината на планината.
От тригонометрична таблица имаме sin 30° = 0,5. Тъй като синусът е съотношението между противоположната страна и хипотенузата, ние определяме височината.
въпрос 4
(CBM-SC, войник-2010) За да помогне на човек в апартамент по време на пожар, пожарникари ще използва 30-метрова стълба, която ще бъде поставена, както е показано на фигурата по-долу, образувайки ъгъл със земята от 60-та. Колко далеч е апартаментът от пода? (Използвайте sen60º=0,87; cos60º=0,5 и tg60º= 1,73)
а) 15 м.
б) 26,1 m.
в) 34,48 m.
г) 51,9 m.
Правилен отговор: б) 26,1 m.
За да определим височината, ще използваме 60° синус. Извикване на височина h и използване на 60° синус, равен на 0,87.
Въпроси за косинус
въпрос 5
Косинусът е съотношението между страната, съседна на ъгъл, и измерването на хипотенузата. Битие равен на 45°, изчислете мярката на крака, съседен на ъгъла алфа, в триъгълника на фигурата.
обмисли
Приблизителна стойност на квадратния корен от 2:
Размерът на съседния крак е приблизително 19,74 m.
въпрос 6
По време на футболен мач играч 1 хвърля на играч 2 под ъгъл от 48°. Колко разстояние трябва да измине топката, за да стигне до играч 2?
Обмисли:
sin 48° = 0,74
cos 48° = 0,66
тен 48° = 1,11
Правилен отговор: Топката трябва да измине разстояние от 54,54 m.
Измерването между играч 1 и играч 2 е хипотенузата на правоъгълния триъгълник.
Косинусът на ъгъла 48° е съотношението на съседната му страна към хипотенузата, където съседната страна е разстоянието между средата на терена и голямата площ.
52,5 - 16,5 = 36 m
Изчисляване на косинус, където h е хипотенузата.
въпрос 7
Покривът се счита за двускатен, когато има два наклона. В едно произведение се изгражда покрив, където срещата на двете му води е точно в средата на плочата. Ъгълът на наклон на всяка вода спрямо плочата е 30°. Плочата е с дължина 24 м. За да поръчате керемидите още преди да бъде завършена конструкцията, която ще поддържа покрива, е необходимо да знаете дължината на всяка вода, която ще бъде:
Тъй като плочата е дълга 24 m, всяка вода ще бъде 12 m.
Наричайки дължината на всяка покривна вода L, имаме:
Рационализиране на дроба за получаване на ирационалното число на знаменателя.
правене,
Следователно дължината на всяка покривна вода ще бъде приблизително 13,6 m.
въпрос 8
Тангенсът е съотношението между страната, противоположна на ъгъл, и съседната му страна. е ъгълът равно на 60 °, изчислете височината на триъгълника.
Допирателни въпроси
въпрос 9
Човек иска да знае ширината на реката, преди да я пресече. За това той задава референтна точка на другия ръб, като дърво например (точка C). В позицията, в която се намирате (точка B), отидете 10 метра вляво, докато се образува ъгъл от 30° между точка A и точка C. Изчислете ширината на реката.
обмисли .
За да изчислим ширината на реката, която ще наречем L, ще използваме тангенса на ъгъла .
въпрос 10
(Enem 2020) Pergolado е името, дадено на тип покрив, проектиран от архитекти, обикновено на квадрати и
градини, за създаване на среда за хора или растения, в която има спад в количеството светлина,
в зависимост от позицията на слънцето. Изработен е като палет от еднакви греди, поставени успоредно и перфектно
в ред, както е показано на фигурата.
Архитект проектира пергола с 30 см разстояния между гредите, така че в
лятно слънцестоене, траекторията на слънцето през деня се извършва в равнина, перпендикулярна на посоката на
лъчи и че следобедното слънце, когато лъчите му направят 30° с позицията на щифта, генерира половината
от светлината, която минава в перголата по обяд.
За да отговарят на изготвеното от архитекта проектно предложение, гредите на перголата трябва да са
конструиран така, че височината в сантиметри да е възможно най-близка до
а) 9.
б) 15.
в) 26.
г) 52.
д) 60.
Правилен отговор: в) 26.
За да разберем ситуацията, нека направим схема.
Изображението вляво показва разпространението на слънчева светлина по обяд, със 100%. Картината вляво е това, което ни интересува. Той позволява само 50% от слънчевите лъчи да преминават през перголата при 30% наклон.
Използваме допирателната тригонометрично съотношение. Тангенсът на ъгъла е отношението на противоположната страна към съседната страна.
Наричайки височината на парчето пергола h, имаме:
Създаване на допирателна от 30° =
Нека рационализираме последната дроб, така че да не оставим корена от три, ирационално число, в знаменателя.
правене,
От наличните опции за въпроса, най-близката е буквата c, височината на гредите трябва да бъде приблизително 26 cm.
въпрос 11
(Enem 2010) Атмосферен балон, изстрелян в Бауру (343 километра северозападно от Сао Пауло), през нощта миналата неделя падна този понеделник в Куяба Паулиста, в района на Президенте Пруденте, плашещо
фермери в региона. Артефактът е част от програмата Hibiscus Project, разработена от Бразилия, Франция,
Аржентина, Англия и Италия, за да се измери поведението на озоновия слой и се осъществи неговото спускане
след спазване на очакваното време за измерване.
На датата на събитието двама души видяха балона. Единият беше на 1,8 км от вертикалното положение на балона
и го видя под ъгъл от 60°; другият беше на 5,5 км от вертикалното положение на балона, подравнен с
първо и в същата посока, както се вижда на фигурата, и го видя под ъгъл от 30°.
Каква е приблизителната височина на балона?
а) 1,8 км
б) 1,9 км
в) 3,1 км
г) 3,7 км
д) 5,5 км
Правилен отговор: в) 3,1 км
Използваме допирателната от 60°, която е равна . Тангенсът е тригонометричното съотношение между противоположната страна на ъгъла и съседната му страна.
Следователно височината на балона е приблизително 3,1 км.