НА триъгълник подобие се използва за намиране на неизвестната мярка на един триъгълник чрез познаване на мерките на друг триъгълник.
Когато два триъгълника са сходни, измерванията на съответните им страни са пропорционални. Тази връзка се използва за решаване на много геометрични задачи.
Така че, възползвайте се от упражненията, коментирани и решени, за да изчистите всичките си съмнения.
Проблеми решени
1) Sailor's Apprentice - 2017
Вижте фигурата по-долу
Сграда хвърля 30 м дълга сянка върху земята в същия миг, в който 6-метров човек хвърля 2,0 м сянка. Може да се каже, че височината на сградата си струва
а) 27 m
б) 30 m
в) 33 m
г) 36 m
д) 40 m
Можем да считаме, че сградата, нейната прожектирана сянка и слънчевият лъч образуват триъгълник. По същия начин имаме и триъгълник, образуван от човека, неговата сянка и слънчевия лъч.
Като се има предвид, че слънчевите лъчи са успоредни и че ъгълът между сградата и земята и човека е земята е равна на 90 °, триъгълниците, посочени на фигурата по-долу, са подобни (два ъгъла равно на).
Тъй като триъгълниците са подобни, можем да напишем следната пропорция:
Алтернатива: а) 27 m
2) Fuvest - 2017
На фигурата правоъгълник ABCD има страни с дължина AB = 4 и BC = 2. Нека M е средната точка на страната и N средната точка на страната
. Сегментите
пресечете сегмента
в точки E и F, съответно.
Площта на триъгълника AEF е равна на
Площта на триъгълника AEF може да бъде намерена чрез намаляване на площта на триъгълник ABE от площта на триъгълника AFB, както е показано по-долу:
Нека започнем с намирането на площта на триъгълника AFB. За това трябва да разберем стойността на височината на този триъгълник, тъй като основната стойност е известна (AB = 4).
Имайте предвид, че триъгълниците AFB и CFN са сходни по това, че имат два равни ъгъла (случай AA), както е показано на фигурата по-долу:
Нека начертаем височината H1, спрямо страна AB, в триъгълник AFB. Тъй като мярката на страната CB е равна на 2, можем да считаме, че относителната височина на страната NC в триъгълник FNC е равна на 2 - H1.
След това можем да напишем следната пропорция:
Знаейки височината на триъгълника, можем да изчислим неговата площ:
За да намерите площта на триъгълника ABE, ще трябва също да изчислите стойността на височината му. За това ще използваме факта, че триъгълниците ABM и AOE, посочени на фигурата по-долу, са подобни.
Освен това, триъгълникът OEB е правоъгълен триъгълник, а другите два ъгъла са равни (45º), така че е равнобедрен триъгълник. По този начин двата крака на този триъгълник са на стойност H2, като изображението по-долу:
По този начин страната AO на триъгълник AOE е равна на 4 - H2. Въз основа на тази информация можем да посочим следната пропорция:
Знаейки стойността на височината, вече можем да изчислим площта на триъгълник ABE:
По този начин площта на триъгълника AFE ще бъде равна на:
Алтернатива: г)
3) Cefet / MG - 2015
Следващата илюстрация представлява правоъгълна билярдна маса с ширина и дължина, съответно 1,5 и 2,0 m. Играчът трябва да хвърли бялата топка от точка В и да удари черната топка в точка Р, без да удря някоя от другите, първо. Тъй като жълтата е в точка А, този играч ще хвърли бялата топка до точка L, за да може тя да отскочи и да се сблъска с черната.
Ако ъгълът на пътя на падане на топката отстрани на масата и ъгълът на подскачане са равни, както е показано на фигурата, тогава разстоянието от P до Q, в cm, е приблизително
а) 67
б) 70
в) 74
г) 81
Триъгълниците, маркирани в червено на изображението по-долу, са подобни, тъй като имат два равни ъгъла (ъгъл, равен на α и ъгъл, равен на 90º).
Следователно можем да напишем следната пропорция:
Алтернатива: а) 67
4) Военен колеж / RJ - 2015
В триъгълник ABC точки D и E принадлежат съответно на страни AB и AC и са такива, че DE / / BC. Ако F е точка на AB такава, че EF / / CD и измерванията на AF и FD e са съответно 4 и 6, измерването на сегмента DB е:
а) 15.
б) 10.
в) 20.
г) 16.
д) 36.
Можем да представим триъгълника ABC, както е показано по-долу:
Тъй като сегментът DE е успореден на BC, тогава триъгълниците ADE и ABC са сходни по това, че техните ъгли са конгруентни.
След това можем да напишем следната пропорция:
Триъгълниците FED и DBC също са подобни, тъй като сегментите FE и DC са успоредни. Следователно следната пропорция също е вярна:
Изолирайки y в това съотношение, имаме:
Замяна на y стойността в първото равенство:
Алтернатива: а) 15
5) Epcar - 2016
Земя във формата на правоъгълен триъгълник ще бъде разделена на две партиди чрез ограда, направена върху бисектрисата на хипотенузата, както е показано на фигурата.
Известно е, че страните AB и BC на този терен измерват съответно 80 m и 100 m. По този начин съотношението между периметъра на обособена позиция I и периметъра на обособена позиция II, в този ред, е
За да разберем съотношението между периметрите, трябва да знаем стойността на всички страни на фигура I и фигура II.
Обърнете внимание, че бисектрисата на хипотенузата разделя страната BC на два конгруентни сегмента, така че сегментите CM и MB измерват 50 m.
Тъй като триъгълникът ABC е правоъгълник, можем да изчислим страната AC, като използваме питагоровата теорема. Обърнете внимание обаче, че този триъгълник е питагорейски триъгълник.
По този начин, хипотенузата е равна на 100 (5. 20) и единия два крака, равен на 80 (4.20), тогава другият крак може да бъде равен само на 60 (3.20).
Също така установихме, че триъгълниците ABC и MBP са сходни (случай AA), тъй като имат общ ъгъл, а другият е равен на 90º.
Така че, за да намерим стойността на x, можем да напишем следната пропорция:
Стойността на z може да се намери, като се вземе предвид пропорцията:
Също така можем да намерим стойността на y, като правим:
Сега, когато знаем всички страни, можем да изчислим периметрите.
Периметър на фигура I:
Периметър на фигура II:
Следователно съотношението между периметрите ще бъде равно на:
Алтернатива: г)
6) Енем - 2013
Собственикът на ферма иска да постави опорен прът за по-добро закрепване на два стълба с дължини, равни на 6 m и 4 m. Фигурата представя реалната ситуация, в която стълбовете се описват от сегментите AC и BD и пръта е представен от сегмента EF, перпендикулярен на земята, което е обозначено с сегмент с права линия AB. Сегментите AD и BC представляват стоманени кабели, които ще бъдат монтирани.
Каква трябва да бъде стойността на дължината на пръта EF?
а) 1 m
б) 2 m
в) 2,4 m
г) 3 m
д) 2 м
За да разрешим проблема, нека наречем височината на стъблото като z и измерванията на AF и FB сегментите на х и у, съответно, както е показано по-долу:
Триъгълник ADB е подобен на триъгълник AEF, тъй като и двата имат ъгъл, равен на 90 °, и общ ъгъл, така че те са подобни в случая AA.
Следователно можем да напишем следната пропорция:
Умножавайки "в кръст", получаваме равенство:
6x = h (x + y) (I)
От друга страна, триъгълниците ACB и FEB също ще бъдат подобни, поради същите причини, представени по-горе. Така че имаме пропорцията:
Решаване по същия начин:
4y = h (x + y) (II)
Имайте предвид, че уравненията (I) и (II) имат един и същ израз след знака за равенство, така че можем да кажем, че:
6x = 4y
Замествайки стойността на x във второто уравнение:
Алтернатива: в) 2,4 m
7) Фувест - 2010
На фигурата триъгълник ABC е правоъгълен със страни BC = 3 и AB = 4. Освен това точка D принадлежи на ключицата. , точката Е, принадлежаща на ключицата
и точка F принадлежи на хипотенузата
, такъв, че DECF е успоредник. ако
, така че площта на DECF паралелограма си струва
Паралелограмната площ се намира чрез умножаване на основната стойност по височината. Нека наречем h височината и x базовата мярка, както е показано по-долу:
Тъй като DECF е успоредник, страните му са успоредни две по две. По този начин страните AC и DE са успоредни. Така че ъглите те са същите.
След това можем да установим, че триъгълниците ABC и DBE са сходни (случай AA). Имаме също така, че хипотенузата на триъгълник ABC е равна на 5 (триъгълник 3,4 и 5).
По този начин нека напишем следната пропорция:
За да намерим мярката x на основата, ще разгледаме следната пропорция:
Изчислявайки площта на паралелограма, имаме:
Алтернатива: а)
