Началото на i на квадрат е равно на -1

При изучаването на комплексни числа срещаме следното равенство: i² = – 1.
Оправданието за това равенство обикновено се свързва с решаването на уравнения от 2-ра степен с отрицателни квадратни корени, което е грешка. Произходът на израза i² = - 1 се появява в дефиницията на комплексни числа, друг въпрос, който също поражда много съмнения. Нека разберем причината за такова равенство и как то възниква.
Първо, нека направим някои определения.
1. Подредената двойка реални числа (x, y) се нарича комплексно число.
2. Комплексни числа (x₁у₁) и (x₂у₂) са равни тогава и само ако x₁ = х₂ и у₁ = y₂.
3. Събирането и умножението на комплексни числа се определят от:
(х₁у₁) + (x₂у₂) = (x₁ + x₂у₁ + у₂)
(х₁у₁)*(х₂у₂) = (x₁*х₂ - у₁* у₂, х₁* у₂ + у₁*х₂)
Пример 1. Помислете за z₁ = (3, 4) и z₂ = (2, 5), изчислете z₁ + z₂ и z₁* z₂.
Решение:
z₁ + z₂ = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z₁* z₂ = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Използвайки третата дефиниция е лесно да се покаже, че:
(х₁, 0) + (x₂, 0) = (x

₁ + x₂, 0)
(х₁, 0) * (x₂, 0) = (x₁*х₂, 0)
Тези равенства показват, че по отношение на операциите на събиране и умножение комплексните числа (x, y) се държат като реални числа. В този контекст можем да установим следната връзка: (x, 0) = x.
Използвайки тази връзка и символа i за представяне на комплексното число (0, 1), можем да напишем произволно комплексно число (x, y), както следва:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1) * (y, 0) = x + iy →, което е нормалното извикване на комплексно число.
По този начин комплексното число (3, 4) в нормална форма става 3 + 4i.
Пример 2. Напишете следните комплексни числа в нормална форма.
а) (5, - 3) = 5 - 3i
б) (- 7, 11) = - 7 + 11i
в) (2, 0) = 2 + 0i = 2
г) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Сега забележете, че наричаме i комплексното число (0, 1). Нека да видим какво се случва при създаването на i2.
Знаем, че i = (0, 1) и че i² = i * i. Следвайте това:
i² = i * i = (0, 1) * (0, 1)
Използвайки дефиниция 3, ще имаме:
i² = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 )
Както видяхме по-рано, всяко комплексно число на формата (x, 0) = x. Поради това,
i² = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 ) = - 1.
Стигнахме до прочутото равенство i² = – 1.

От Марсело Ригонато
Специалист по статистика и математическо моделиране
Училищен отбор на Бразилия

Комплексни числа - Математика - Бразилско училище

Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm