มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว

เวกเตอร์ เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่มีหน้าที่อธิบายวิถีของจุด หลายครั้ง จุดเหล่านี้เป็นตัวแทนของวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นรูปธรรม ซึ่งศึกษาอย่างละเอียดโดยฟิสิกส์ เมื่อพิจารณาแรงที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ (ในความเป็นจริงหรือศักยภาพ) ของวัตถุ ฟิสิกส์จะใช้เวกเตอร์เพื่อเป็นตัวแทนของพวกมัน มุมที่เวกเตอร์เหล่านี้ก่อตัวเป็นส่วนสำคัญของการคำนวณ เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในมุม อาจต้องใช้แรงมากขึ้นเพื่อนำไปใช้กับวัตถุเพื่อให้เริ่มต้นหรืออยู่ใน การเคลื่อนไหว

เวกเตอร์แสดงทางเรขาคณิตด้วยลูกศรซึ่งเป็นเส้นตรงที่เน้น ดังนั้น ปลายด้านหนึ่งของส่วนระบุตำแหน่งสุดท้ายของจุดที่เคลื่อนที่ และปลายอีกด้านไม่มีเครื่องหมาย แสดงว่าการเคลื่อนไหวเริ่มต้นที่นั่น โดยทั่วไปแล้ว จุดตำแหน่งปลายทางจะใช้เพื่อระบุเวกเตอร์ที่เริ่มต้นที่จุดกำเนิดของระบบพิกัด เมื่อพิจารณาระนาบคาร์ทีเซียนเป็นระบบพิกัด เวกเตอร์ v เริ่มต้นที่จุด (0,0) และสิ้นสุดที่จุด (a, b) จะแสดงเป็นเท่านั้น เวกเตอร์ v = (a, b) หากเวกเตอร์เริ่มต้นที่จุดอื่น ก็ย้ายไปยังตำแหน่งที่เหมาะสม

เวกเตอร์ในระนาบคาร์ทีเซียน

เนื่องจากเส้นเหล่านี้เป็นเส้นตรง จึงคำนวณความยาวได้ ซึ่งเรียกว่า

บรรทัดฐานเวกเตอร์. การคำนวณบรรทัดฐานของเวกเตอร์ถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับ ระยะห่างระหว่างสองจุด และเทียบเท่ากับการคำนวณโมดูลัสของจำนวนจริง ด้วยวิธีนี้ บรรทัดฐานของเวกเตอร์ v = (a, b) แสดงโดย |v| และสามารถคำนวณได้ดังนี้

อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)

พิจารณาเวกเตอร์สองตัว v = (a, b) และ u = (a',b'), the สินค้าภายในประเทศ ในหมู่พวกเขาแสดงโดย และถูกกำหนดโดยนิพจน์ต่อไปนี้:

= a·a' + b·b'

ดอทโปรดัคระหว่างเวกเตอร์สองตัวถูกกำหนดผ่านมุมระหว่างพวกมันด้วย คำจำกัดความนี้ทำให้สามารถคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวได้

มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว

ดังนั้น การนำเวกเตอร์ v และ u เดียวกัน โคไซน์ของมุม θ ระหว่างพวกมันถูกกำหนดโดยนิพจน์ต่อไปนี้:

cosθ =
|v|·|u|

ด้วยข้อมูล คำจำกัดความ และสูตรในทางใดทางหนึ่ง เป็นไปได้ที่จะวาดกลยุทธ์เพื่อคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว

จากเวกเตอร์ v = (2,2) และ u = (0.2) เราจะคำนวณมุมระหว่างพวกมัน ในการทำเช่นนี้ ก่อนอื่นให้คำนวณบรรทัดฐานของเวกเตอร์แต่ละตัวและผลิตภัณฑ์ระหว่างบรรทัดฐานเหล่านี้:

|v| = √(2² + 2²)
|v| = √(4 + 4)
|v| = √8

|u| = √(0² + 2²)
|u| = √(0 + 4)
|u| = √4

|v|·|u| = √8·√4
|v|·|u| = 4√2

หลังจากนั้น คำนวณผลคูณภายในระหว่าง v และ u:

= 2·0 + 2·2
= 0 + 4
= 4

สุดท้าย ใช้สูตรมุมระหว่างเวกเตอร์ในการคำนวณ cosθ และ a ตารางค่าโคไซน์ เพื่อหาค่าของ θ

cosθ =
|v|·|u|

cosθ =  4
4√2

cosθ =  4
4√2

cosθ =  2
√2

cosθ = √2
2

θ = 45°

โดย Luiz Paulo Moreira
จบคณิต

คุณต้องการอ้างอิงข้อความนี้ในโรงเรียนหรืองานวิชาการหรือไม่ ดู:

ซิลวา, ลุยซ์ เปาโล โมเรร่า. "มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว"; โรงเรียนบราซิล. มีจำหน่ายใน: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/Angulo-entre-dois-vetores.htm. เข้าถึงเมื่อ 27 มิถุนายน 2021.