ฟังก์ชั่นผกผัน: มันคืออะไร, กราฟ, แบบฝึกหัด

เธ ฟังก์ชันผกผันตามชื่อที่แนะนำคือ ฟังก์ชัน f(x)^-1ซึ่งทำหน้าที่ผกผันของฟังก์ชัน f(x) อย่างแน่นอน สำหรับฟังก์ชันที่รองรับอินเวอร์ส จะต้อง bijectorนั่นคือหัวฉีดและหัวฉีดพร้อมกัน กฎการก่อตัวของฟังก์ชันผกผันทำสิ่งที่ตรงกันข้ามกับที่ฟังก์ชัน f(x) ทำ

ตัวอย่างเช่น หากฟังก์ชันรับค่าจาก โดเมน และบวก 2, ฟังก์ชันผกผัน, แทนที่จะบวก, ลบ 2 หา กฎการสร้างฟังก์ชันผกผัน ไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไป เนื่องจากจำเป็นต้องกลับค่าที่ไม่รู้จัก x และ y รวมทั้งแยก y ออกจากสมการใหม่

อ่านด้วย:ฟังก์ชั่น - ทุกสิ่งที่คุณจำเป็นต้องรู้เพื่อเชี่ยวชาญเรื่อง

ฟังก์ชันรองรับผกผันเมื่อใด

การแสดงกราฟิกของฟังก์ชันและฟังก์ชันผกผัน

บทบาทคือ กลับด้านนั่นคือ มันมีฟังก์ชันผกผัน ถ้าหากว่า มันคือ bijector. สิ่งสำคัญคือต้องจำสิ่งที่ ฟังก์ชัน bijectorซึ่งเป็นฟังก์ชัน หัวฉีดนั่นคือ ทุกองค์ประกอบของภาพมีความสัมพันธ์กันในโดเมนเดียว ซึ่งหมายความว่าองค์ประกอบที่แตกต่างกันในชุด A จำเป็นต้องเชื่อมโยงกับองค์ประกอบที่แตกต่างกันใน different ชุด B กล่าวคือไม่มีองค์ประกอบตั้งแต่สององค์ประกอบขึ้นไปของชุด A ที่มีความสอดคล้องเหมือนกันใน ชุดบี

บทบาทคือ อัตนัย ถ้ารูปนั้นเท่ากับอาณาเขตนั่นคือไม่มีองค์ประกอบในชุด B ที่ไม่มีองค์ประกอบในชุด A ที่เกี่ยวข้อง

ให้ฟังก์ชัน f: A → B โดยที่ A คือโดเมนและ B เป็นฟังก์ชันย้อนกลับ ฟังก์ชันผกผันของ f จะเป็นฟังก์ชันที่อธิบายโดย f^-1 : B→ A นั่นคือโดเมนและโดเมนที่ขัดแย้งกันจะกลับด้าน

ตัวอย่าง:

ฟังก์ชัน f: A → B เป็น bijective เนื่องจากเป็น injective (หลังจากทั้งหมด องค์ประกอบที่แตกต่างกันใน A มีความเกี่ยวข้องกับ องค์ประกอบที่แตกต่างกันใน B) และยังเป็นสมมุติฐาน เนื่องจากไม่มีองค์ประกอบเหลืออยู่ในเซต B นั่นคือ โดเมนที่ขัดแย้งกันก็เหมือนกับ ชุด ภาพ.

ดังนั้น ฟังก์ชันนี้กลับด้าน และผกผันคือ:

กฎการสร้างฟังก์ชันผกผันถูกกำหนดอย่างไร?

ในการหากฎการสร้างฟังก์ชันผกผัน เราต้อง ย้อนกลับสิ่งที่ไม่รู้จักนั่นคือแทนที่ x ด้วย y และ y ด้วย x แล้วแยก y ที่ไม่รู้จักออกมา สำหรับสิ่งนี้ มันเป็นสิ่งสำคัญที่ฟังก์ชันจะกลับด้านได้ นั่นคือ bijector

→ ตัวอย่าง 1

ค้นหากฎของการก่อตัวของฟังก์ชันผกผันของ f (x) = x + 5

ความละเอียด:

เรารู้ว่า f(x) = y ดังนั้น y = x + 5. ทำการผกผันของ x และ y เราจะพบสิ่งต่อไปนี้ สมการ:

x = y + 5

ทีนี้ มาแยก y กัน:

– 5 + x = y
y = x – 5

เห็นได้ชัดว่าถ้า f(x) บวก 5 ให้กับค่าของ x แล้วค่าผกผันของ f(x) ^{- 1} จะทำย้อนกลับ นั่นคือ x ลบ 5

→ ตัวอย่าง 2

จากฟังก์ชันที่มีกฎการก่อตัวเป็น f(x) = 2x – 3 กฎการก่อตัวของกฎผกผันของมันจะเป็นอย่างไร?

→ ตัวอย่างที่ 3

คำนวณกฎการก่อตัวของผกผันของฟังก์ชัน y = 2^x.

ความละเอียด:

y = 2^x
การเปลี่ยน x สำหรับ y:
x = 2^y

การสมัคร ลอการิทึม ทั้งสองด้าน:

บันทึก₂x = บันทึก₂2^y
บันทึก₂x = ylog₂2
บันทึก₂x = y · 1
บันทึก₂x = y
y = บันทึก₂x

อ่านด้วย: ความแตกต่างระหว่างฟังก์ชันและสมการ

อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)

กราฟฟังก์ชันผกผัน

กราฟของฟังก์ชันผกผัน f ^-1 มันจะสมมาตรกับกราฟของฟังก์ชัน f เสมอเมื่อเทียบกับเส้น y = x ซึ่งช่วยให้วิเคราะห์พฤติกรรมของสิ่งเหล่านี้ได้ ฟังก์ชั่นแม้ว่าในบางกรณีเราไม่สามารถอธิบายกฎการก่อตัวของฟังก์ชันผกผันได้เนื่องจาก ความซับซ้อน

อ่านด้วย: จะสร้างกราฟฟังก์ชันได้อย่างไร?

แก้ไขแบบฝึกหัด

1) ถ้า f^-1 เป็นฟังก์ชันผกผันของ f ซึ่งเปลี่ยนจาก R ถึง R ซึ่งมีกฎการก่อตัว f (x) = 2x – 10 ซึ่งเป็นค่าตัวเลขของ f ^-1(2) é:

ถึง 1

ข) 3

ค) 6

ง) -4

จ) -6

ความละเอียด:

→ ก้าวแรก: หาค่าผกผันของ f

→ ขั้นตอนที่ 2: แทนที่ 2 แทนที่ x ใน f ^-1(x).

ทางเลือก C

2) ให้ f: A → B เป็นฟังก์ชันที่มีกฎการก่อตัวคือ f (x) = x² + 1 โดยที่ A {-2, -1, 0, 1, 2} และ B = {1,2,5} ถูกต้องที่จะบอกว่า:

a) ฟังก์ชันนี้กลับด้านได้ เนื่องจากเป็น bijector

b) ฟังก์ชันนี้ไม่สามารถย้อนกลับได้ เนื่องจากไม่ได้ฉีดเข้าไป

c) ฟังก์ชันนี้ไม่สามารถย้อนกลับได้ เนื่องจากไม่ใช่การคาดเดา

d) ฟังก์ชันนี้ไม่สามารถย้อนกลับได้ เนื่องจากไม่ใช่การเดาหรือการฉีด

e) ฟังก์ชันนี้ไม่สามารถย้อนกลับได้ เนื่องจากเป็น bijector

ความละเอียด:

สำหรับฟังก์ชันที่จะพลิกกลับได้ จะต้องเป็นแบบสองนัย กล่าวคือ สมมุติและฉีด ก่อนอื่นมาวิเคราะห์กันก่อนว่ามันเป็นเรื่องสมมุติหรือไม่

เพื่อให้ฟังก์ชันเป็น surjective องค์ประกอบทั้งหมดของ B ต้องมีคู่กันใน A หากต้องการทราบสิ่งนี้ ให้คำนวณค่าตัวเลขแต่ละค่าของมัน

ฉ (-2) = (-2)² +1 = 4+1=5

ฉ (-1) = (-1)² +1 = 1+1=2

ฉ (0) = 0² +1 = 0+1=1

f(1) = 1² +1 = 1+1=2

f(2) = 2² +1 = 4+1=5

โปรดทราบว่าองค์ประกอบทั้งหมดของ B {1,2,5} มีความสอดคล้องใน A ซึ่งทำให้ฟังก์ชัน อัตนัย.

เพื่อให้ฟังก์ชันนี้ถูกฉีด องค์ประกอบที่แตกต่างจาก A จะต้องมีภาพที่ต่างกันใน B ซึ่งจะไม่เกิดขึ้น โปรดทราบว่า f(-2) = f (2) และ f(-1) = f (1) ซึ่งทำให้ฟังก์ชัน ไม่ต้องฉีด. เนื่องจากไม่ใช่หัวฉีดจึงไม่สามารถพลิกกลับได้ ดังนั้น, ทางเลือก b.

โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิต