ในการศึกษาจำนวนเชิงซ้อน เราพบความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: i2 = – 1.
เหตุผลสำหรับความเท่าเทียมกันนี้มักจะเกี่ยวข้องกับการแก้สมการดีกรีที่ 2 ที่มีรากที่สองเป็นลบ ซึ่งเป็นข้อผิดพลาด ที่มาของนิพจน์ i2 = – 1 ปรากฏในคำจำกัดความของจำนวนเชิงซ้อน อีกประเด็นหนึ่งที่ทำให้เกิดข้อสงสัยมากมายเช่นกัน ให้เราเข้าใจเหตุผลของความเท่าเทียมกันดังกล่าวและวิธีที่มันเกิดขึ้น
ขั้นแรก มาสร้างคำจำกัดความกันก่อน
1. คู่ลำดับของจำนวนจริง (x, y) เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน
2. จำนวนเชิงซ้อน (x1y1) และ (x2y2) จะเท่ากันก็ต่อเมื่อ x1 = x2 และ y1 = y2.
3. การบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อนถูกกำหนดโดย:
(x1y1) + (x2y2) = (x1 + x2y1 + y2)
(x1y1)*(x2y2) = (x1*x2 - y1*y2, x1*y2 + y1*x2)
ตัวอย่างที่ 1 พิจารณา z1 = (3, 4) และ z2 = (2, 5) คำนวณ z1 + z2 และ z1*z2.
สารละลาย:
z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1*z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
การใช้คำจำกัดความที่สามเป็นการง่ายที่จะแสดงว่า:
(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)
(x1, 0)*(x2, 0) = (x1*x2, 0)
ความเท่าเทียมกันเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าในแง่ของการบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน (x, y) มีลักษณะเหมือนจำนวนจริง ในบริบทนี้ เราสามารถสร้างความสัมพันธ์ต่อไปนี้: (x, 0) = x
การใช้ความสัมพันธ์นี้และสัญลักษณ์ i แทนจำนวนเชิงซ้อน (0, 1) เราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนใดๆ (x, y) ได้ดังนี้:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1)*(y, 0) = x + iy → ซึ่งเป็นรูปแบบปกติของจำนวนเชิงซ้อน
ดังนั้นจำนวนเชิงซ้อน (3, 4) ในรูปแบบปกติจึงกลายเป็น 3 + 4i
ตัวอย่างที่ 2 เขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ในรูปแบบปกติ
ก) (5, - 3) = 5 - 3i
ข) (– 7, 11) = – 7 + 11i
ค) (2, 0) = 2 + 0i = 2
ง) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
สังเกตว่าเราเรียก i จำนวนเชิงซ้อน (0, 1) มาดูกันว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อสร้าง i2
เรารู้ว่า i = (0, 1) และ i2 = i*i. ทำตามนั้น:
ผม2 = i*i = (0, 1)*(0, 1)
ใช้คำจำกัดความ 3 เราจะมี:
ผม2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0 )
ดังที่เราเห็นก่อนหน้านี้ ทุกจำนวนเชิงซ้อนของรูปแบบ (x, 0) = x ดังนั้น
ผม2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0 ) = – 1.
เรามาถึงความเท่าเทียมกันที่มีชื่อเสียง i2 = – 1.
อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)
โดย มาร์เซโล ริโกนาตโต
ผู้เชี่ยวชาญด้านสถิติและแบบจำลองทางคณิตศาสตร์
ทีมโรงเรียนบราซิล
ตัวเลขที่ซับซ้อน - คณิตศาสตร์ - โรงเรียนบราซิล
