คุณ ตัวเลขเชิงซ้อน เกิดจากความจำเป็นในการแก้ไข สมการ ที่มี รากจำนวนลบซึ่งก่อนหน้านั้นยังไม่สามารถแก้ได้ด้วยการทำงานกับจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อนสามารถแสดงได้สามวิธี: a รูปแบบพีชคณิต (z = a + bi) ประกอบด้วยส่วนจริง และส่วนจินตภาพ บี; แบบเรขาคณิต แสดงในระนาบเชิงซ้อนหรือที่เรียกว่าระนาบ Argand-Gauss และของคุณ แบบฟอร์มตรีโกณมิติ ยังเป็นที่รู้จักกันในนามรูปแบบขั้ว จากการแทนค่าตัวเลข ขณะที่เรากำลังทำงานกับเซตตัวเลข จำนวนเชิงซ้อนมีการดำเนินการที่กำหนดไว้อย่างดี: การบวก การลบ การคูณ การหาร และการเพิ่มศักยภาพ
ผ่านการแสดงทางเรขาคณิตในระนาบเชิงซ้อน เรายังกำหนดโมดูล (แสดงโดย |z|) ของจำนวนเชิงซ้อน — ซึ่งเป็นระยะทางจากจุดที่แทนจำนวนเชิงซ้อนไปยังจุดกำเนิด — และอาร์กิวเมนต์ของ a คืออะไร จำนวนเชิงซ้อน — ซึ่งเป็นมุมที่เกิดขึ้นระหว่างแกนนอนกับรางที่เชื่อมจุดกำเนิดกับจุดที่แทนตัวเลข ซับซ้อน
ต้องการจำนวนเชิงซ้อน
ในวิชาคณิตศาสตร์ การขยายตัวของเซตตัวเลขไปยังเซตใหม่ ตลอดประวัติศาสตร์ เป็นสิ่งที่พบเห็นได้ทั่วไป ปรากฎว่าในระหว่างนั้นคณิตศาสตร์ได้พัฒนาแล้วเพื่อ ตอบสนองความต้องการของเวลาพบว่ามีตัวเลขที่ไม่ได้อยู่ในชุดตัวเลขที่อ้างถึง มันก็เป็นอย่างนั้นกับการเกิดขึ้นของ
ชุดตัวเลข จำนวนเต็ม, ตรรกยะ, อตรรกยะ และจำนวนจริง และมันก็ไม่แตกต่างกันเมื่อมีความจำเป็นต้องขยายเซตของจำนวนจริงเป็นจำนวนเชิงซ้อนเมื่อเราพยายามแก้ สมการกำลังสองเป็นเรื่องปกติที่เราจะพบว่า รากที่สองของจำนวนลบซึ่งไม่สามารถแก้ไขได้ในชุดของจำนวนจริง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีจำนวนเชิงซ้อน จุดเริ่มต้นของการศึกษาตัวเลขเหล่านี้ได้รับการสนับสนุนจากนักคณิตศาสตร์คนสำคัญ เช่น Giralmo Cardono แต่ Gauss และ Argand ได้ทำให้ชุดของตัวเลขเหล่านี้เป็นทางการ
อ่านด้วย: การแสดงทางเรขาคณิตของผลรวมของจำนวนเชิงซ้อน
รูปพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน
เมื่อพยายามแก้สมการกำลังสอง เช่น x² = –25 มักถูกกล่าวว่าแก้ไม่ได้ อย่างไรก็ตาม ในความพยายามที่จะพีชคณิต การแสดงพีชคณิตซึ่งทำให้สามารถดำเนินการกับตัวเลขเหล่านี้ได้แม้ว่าคุณจะไม่สามารถคำนวณรากที่สองของจำนวนลบได้
เพื่ออำนวยความสะดวกในการแก้ไขสถานการณ์ที่คุณทำงานกับ รากที่สอง ของจำนวนลบ, the หน่วยจินตภาพ.
ดังนั้น เมื่อวิเคราะห์สมการที่นำเสนอ x² = -25 เราได้ดังนี้:
ดังนั้น คำตอบของสมการคือ -5ผม e5ผม.
เพื่อกำหนดรูปแบบพีชคณิต, the จดหมาย ผม, เรียกว่า หน่วยจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน. จำนวนเชิงซ้อนแสดงโดย:
z = + บีผม
เกี่ยวกับอะไร และ บี เป็นตัวเลขจริง
: ส่วนจริง ระบุโดย a = Re (z);
บี: ส่วนจินตภาพ ระบุโดย Im (z);
ผม: หน่วยจินตภาพ
ตัวอย่าง
ก) 2 + 3ผม
ข) -1 + 4ผม
ค) 5 – 0,2ผม
ง) -1 – 3ผม
เมื่อ ส่วนจริงเป็นโมฆะ, หมายเลขนี้เรียกว่า จินตภาพล้วนๆตัวอย่างเช่น -5ผม และ 5ผม พวกเขาเป็นจินตภาพล้วนๆ เพราะพวกเขาไม่มีส่วนที่แท้จริง
เมื่อส่วนจินตภาพเป็นโมฆะ จำนวนเชิงซ้อนก็เป็นจำนวนจริงด้วย
การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน
เช่นเดียวกับชุดตัวเลขใดๆ การดำเนินการต้องเป็น กำหนดไว้อย่างดีดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะดำเนินการพื้นฐานสี่อย่างของจำนวนเชิงซ้อนโดยคำนึงถึงรูปแบบพีชคณิตที่นำเสนอ
การบวกจำนวนเชิงซ้อนสองตัว
เพื่อดำเนินการ ส่วนที่เพิ่มเข้าไป ของจำนวนเชิงซ้อนสองตัว z1 เอซ2เราจะสรุปส่วนที่แท้จริงของ z1 เอซ2 และผลรวมของส่วนจินตภาพตามลำดับ
เป็น:
z1 = a + bผม
z2 = c + dผม
z1 +z2 = (a + c) + (b + d)ผม
ตัวอย่าง 1
สำนึกของผลรวมของz1 และ z2.
z1 = 2 + 3ผม
z2 = 1 + 2ผม
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)ผม
z1 +z2= 3 + 5ผม
ตัวอย่าง 2
สำนึกของผลรวมของz1 และ z2.
z1 = 5 – 2ผม
z2 = – 3 + 2ผม
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)ผม
z1+z2 = (5 – 3) + 0ผม
z1 +z2= 3 + 0ผม = 3
ดูด้วย: การแสดงทางเรขาคณิตของผลรวมของจำนวนเชิงซ้อน
การลบจำนวนเชิงซ้อนสองตัว
ก่อนที่เราจะพูดถึง การลบเราต้องนิยามว่า .คืออะไร ผกผันของจำนวนเชิงซ้อน, นั่นคือ z = a + bผม. อินเวอร์สของ z แทนด้วย –z คือจำนวนเชิงซ้อน –z = –a –bผม.
เพื่อทำการลบระหว่าง z1และ -z2นอกจากนี้ เราจะทำ การลบระหว่างส่วนจริงและส่วนจินตภาพแยกกันแต่จำเป็นต้องเข้าใจว่า -z2 มันเป็นค่าผกผันของจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งทำให้จำเป็นต้องเล่นเกมเครื่องหมาย
ตัวอย่าง 1
ทำการลบ z1 และ z2.
z1 = 2 + 3ผม
z2 = 1 + 2ผม
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)ผม
z1–z2= 1 + 1ผม = 1+ ผม
ตัวอย่าง 2
ทำการลบ z1 และ z2.
z1= 5 – 2ผม
z2 = – 3 + 2ผม
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)ผม
z1–z2= (5 + 3) + (–4)ผม
z1 –z2= 8 + (–4)ผม
z1 –z2= 8 –4ผม
พลังหน่วยจินตภาพ
ก่อนที่เราจะพูดถึงการคูณ เราต้องเข้าใจพลังของหน่วยจินตภาพเสียก่อน ในการค้นหาวิธีการคำนวณกำลังของ ผมไม่จำเป็นต้องตระหนักว่าพลังเหล่านี้มีพฤติกรรมเป็นวัฏจักร สำหรับสิ่งนี้มาคำนวณกัน ศักยภาพ ใน ผม.
ปรากฎว่าพลังต่อไปไม่มีอะไรมากไปกว่าการทำซ้ำ สังเกตว่า:
ผม 4 = ผม 2 · ผม 2 = (–1) (–1) = 1
ผม 5 = ผม 2 · ผม 3 = (–1) (–ผม) = ผม
ขณะที่เราคำนวณพลังต่อไป คำตอบจะเป็นองค์ประกอบของเซตเสมอ {1,i,–1,–ผม} แล้วหากำลังของหน่วย ผมไม่เราจะหาร n (เลขชี้กำลัง) ด้วย 4 และ พักผ่อนของแผนกนี้ (r = { 0, 1, 2, 3}) จะเป็นเลขชี้กำลังใหม่ของ ผม.
ตัวอย่าง1
การคำนวณ i25
เมื่อเราหาร 25 ด้วย 4 ผลหารจะเป็น 6 และส่วนที่เหลือจะเท่ากับ 1 ดังนั้นเราต้อง:
ผม 25 = ผม1 = ผม
ตัวอย่าง 2
การคำนวณของ ผม 403
เมื่อเราหาร 403 ด้วย 4 ผลหารจะเป็น 100 เพราะ 100 · 4 = 400 และส่วนที่เหลือจะเป็น 3 ดังนั้นเราต้อง:
ผม 403 =ผม 3 = -ผม
การคูณจำนวนเชิงซ้อน
ในการคูณจำนวนเชิงซ้อนสองตัว ลองใช้ตัว ทรัพย์สินกระจาย. เป็น:
z1= a + bผม
z2= c + dผมแล้วผลิตภัณฑ์:
z1 · z2 = (a + bผม) (c + dผม) การใช้คุณสมบัติการกระจาย
z1 · z2 = ไฟฟ้ากระแสสลับ + โฆษณาผม + cbผม + bdผม 2แต่อย่างที่เราเห็น ผม ² = -1
z1 · z2 = ไฟฟ้ากระแสสลับ + โฆษณาผม + cbผม - bd
z1 · z2= (แอค – bd) + (โฆษณา + cb)ผม
การใช้สูตรนี้ เป็นไปได้ที่จะหาผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวใดๆ แต่ใน a โดยทั่วไปไม่จำเป็นต้องตกแต่งเพราะสำหรับการคำนวณที่เป็นปัญหาเราเพียงแค่ใช้คุณสมบัติ แจกจ่าย
ตัวอย่าง
การคำนวณผลคูณของ (2+3ผม) (1 – 4ผม):
(2+3ผม) (1 – 4ผม) = 2 – 8ผม + 3ผม– 12ผม ² จำไว้ว่า i² = -1:
(2 + 3ผม) (1 – 4ผม) = 2 – 8ผม + 3ผม+ 12
(2 + 3ผม) (1 – 4ผม) = (2 + 12) + (– 8 + 3)ผม
(2+3ผม) (1 – 4ผม) = 14 – 5ผม
เข้าถึงด้วย: การบวก การลบ และการคูณจำนวนเชิงซ้อน
คอนจูเกตจำนวนเชิงซ้อน
ก่อนที่เราจะพูดถึงการหาร เราต้องเข้าใจก่อนว่าคอนจูเกตของจำนวนเชิงซ้อนคืออะไร แนวคิดง่าย ๆ ในการหาคอนจูเกตของจำนวนเชิงซ้อน just แลกเปลี่ยนมอส เครื่องหมายของส่วนจินตภาพ.
การหารจำนวนเชิงซ้อนสองตัว
เพื่อดำเนินการ การหารจำนวนเชิงซ้อนสองตัวเราต้องคูณเศษส่วนด้วยคอนจูเกตของตัวส่วน เพื่อที่ว่าส่วนจริงคืออะไรและส่วนจินตภาพคืออะไร
ตัวอย่าง
การคำนวณหารของ (6 - 4ผม): (4 + 2ผม)
ดูด้วย: ตรงข้าม คอนจูเกต และความเท่าเทียมกันของจำนวนเชิงซ้อน
ระนาบเชิงซ้อนหรือระนาบอาร์แกนด์-เกาส์
เรียกว่าแผนซับซ้อนหรือ แผนrgand-เกาส์เขาอนุญาตให้ การแสดงในรูปเรขาคณิต ของจำนวนเชิงซ้อนแผนนี้เป็นการปรับตัวใน in เครื่องบินคาร์ทีเซียน เพื่อแสดงจำนวนเชิงซ้อน แกนนอนเรียกว่า แกนส่วนจริง Re(z), และแกนตั้งเรียกว่า แกนของส่วนจินตภาพ Im (z). ดังนั้นจำนวนเชิงซ้อนที่แทนด้วย a + bผม สร้างจุดในระนาบเชิงซ้อนที่เกิดจากคู่ลำดับ (a, b)
ตัวอย่าง
การเป็นตัวแทนของหมายเลข 3 + 2ผม ในรูปแบบเรขาคณิต Z(3,2)
โมดูลและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน
โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนในเชิงเรขาคณิตคือ ระยะห่างจากจุด (a, b) ซึ่งแทนจำนวนนี้ในระนาบเชิงซ้อน สู่ต้นกำเนิดนั่นคือจุด (0,0)
อย่างที่เราเห็น |z| คือด้านตรงข้ามมุมฉากของ สามเหลี่ยมมุมฉากจึงสามารถคำนวณได้โดยใช้เครื่องหมาย ทฤษฎีบทพีทาโกรัสดังนั้นเราจึงต้อง:
ตัวอย่าง:
การคำนวณโมดูลัสของ z = 1 + 3ผม
โอ ข้อโต้แย้ง ของจำนวนเชิงซ้อนในเชิงเรขาคณิตคือ มุม เกิดจากแกนนอนและ |z|
ในการหาค่ามุม เราต้อง:
เป้าหมายคือการหามุม θ = arg z
ตัวอย่าง:
ค้นหาอาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อน: z = 2 + 2ผม:
เนื่องจาก a และ b เป็นบวก เราจึงรู้ว่ามุมนี้อยู่ในจตุภาคแรก ลองคำนวณ |z| กัน
เมื่อรู้ |z| จะสามารถคำนวณไซน์และโคไซน์ได้
เนื่องจาก ในกรณีนี้ a และ b เท่ากับ 2 ดังนั้น เมื่อเราคำนวณ sinθ เราจะพบคำตอบเดียวกันสำหรับโคไซน์
รู้ค่าของบาปθและคอสθโดยพิจารณาตารางมุมที่โดดเด่นและรู้ว่า θ อยู่ในจตุภาคแรก ดังนั้น θ สามารถหาได้ในหน่วยองศาหรือเรเดียน เราจึงสรุปได้ว่า อะไร:
รูปแบบตรีโกณมิติหรือขั้ว
การแทนจำนวนเชิงซ้อนใน แบบฟอร์มตรีโกณมิติ เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อเราเข้าใจแนวคิดของโมดูลและอาร์กิวเมนต์ จากการเป็นตัวแทนนี้ แนวคิดที่สำคัญได้รับการพัฒนาสำหรับการศึกษาจำนวนเชิงซ้อนในระดับที่สูงขึ้น ในการแทนค่าตรีโกณมิติ เราจะจำรูปแบบพีชคณิตของมัน z = a + bi อย่างไรก็ตาม เมื่อวิเคราะห์ระนาบเชิงซ้อน เราต้อง:
โดยการแทนที่ในรูปพีชคณิตค่าของ a = |z| cos θ และ b = |z| เซ็น θ เราต้อง:
z = a + bผม
ด้วย z = |z| cos θ + |z| เซ็นθ ผม, วาง |z| ตามหลักฐานเรามาถึงสูตรของรูปแบบตรีโกณมิติ:
z= |z|(cos θ + ผม · บาป θ) |
ตัวอย่าง: เขียนในรูปตรีโกณมิติ จำนวน the
ในการเขียนในรูปตรีโกณมิติ เราจำเป็นต้องมีอาร์กิวเมนต์และโมดูลัสของ z
ก้าวแรก – การคำนวณ |z|
เมื่อรู้ |z| จะสามารถหาค่าของ θ ได้โดยพิจารณาจากตารางมุมเด่น
ตอนนี้สามารถเขียนเลข z ในรูปแบบตรีโกณมิติด้วยมุมเป็นองศาหรือมุมที่วัดเป็นเรเดียนได้
อ่านด้วย: การแผ่รังสีของจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ
แบบฝึกหัดแก้ไข
คำถามที่ 1 - (UFRGS) จากจำนวนเชิงซ้อน z1 = (2,–1) และ z2 = (3, x) เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าผลคูณระหว่าง z1 และ z2 เป็นจำนวนจริง ดังนั้น x จึงเท่ากับ:
ก) -6
ข) -3/2
ค) 0
ง) 3/2
จ) 6
ความละเอียด
ทางเลือก ง.
เพื่อให้ผลคูณเป็นจำนวนจริง ส่วนจินตภาพจะเท่ากับศูนย์
โดยการเขียนตัวเลขเหล่านี้ในรูปแบบพีชคณิต เราต้อง:
z1 = 2 – 1ผม และ z2 = 3 + xผม
z1 · z2 = (2 – 1ผม) (3 + xผม)
z1 · z2 = 6 + 2xผม –3ผม - xผม ²
z1 · z2 = 6 + 2xผม –3ฉัน + x
z1 · z2 = 6+ x + (2x – 3)ผม
เนื่องจากความสนใจของเราคือส่วนจินตภาพเท่ากับศูนย์ แล้วเราจะแก้หา 2x – 3 = 0
คำถามที่ 2 - (UECE) หาก i เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่มีกำลังสองเท่ากับ -1 แล้วค่าของ 5ผม 227 + ผม 6 – ผม 13 มันเหมือนกับ:
ก) ผม + 1
ข) 4ผม –1
ค) -6ผม –1
ง) -6ผม
ความละเอียด
ทางเลือก C
ในการแก้นิพจน์นี้ จำเป็นต้องหาเศษที่เหลือของตัวเลขแต่ละตัวหารด้วย 4
227: 4 ส่งผลให้ผลหาร 56 และส่วนที่เหลือเป็น 3
ผม 227 = ผม 3 = –ผม
6: 4 ให้ผลลัพธ์เป็นเชาวน์ 1 และเศษ 2
ผม 6 = ผม 2 = –1
13: 4 ส่งผลให้ผลหาร 3 และเศษ 1
ผม 13 = ผม1 = ผม
ดังนั้นเราต้อง:
5ผม 227 + ผม 6 – ผม 13
5 (–ผม) + (–1) – ผม
–5ผม –1 – ผม
–6ผม – 1
โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิต
ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm
