แบบฝึกหัดระบบเชิงเส้น

ฝึกฝนความรู้เกี่ยวกับระบบเชิงเส้น ซึ่งเป็นหัวข้อทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาสมการที่เกิดขึ้นพร้อมกัน ด้วยการใช้งานจริงมากมาย พวกมันถูกใช้เพื่อแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรต่างๆ

คำถามทั้งหมดจะได้รับการแก้ไขทีละขั้นตอน โดยเราจะใช้วิธีการต่างๆ เช่น: การแทนที่ การบวก การขจัด การปรับขนาด และกฎของแครมเมอร์

คำถามที่ 1 (วิธีการทดแทน)

กำหนดคู่ลำดับที่แก้ระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้

ดูคำตอบ

การตอบสนอง:

แยก x ในสมการแรก:

แทน x ลงในสมการที่สอง:

แทนค่า y ในสมการแรก

ดังนั้น คู่คำสั่งที่แก้ปัญหาระบบคือ:

คำถามที่ 2 (วิธีการปรับขนาด)

คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้คือ:

ดูคำตอบ

คำตอบ: x = 5, y = 1, z = 2

ระบบเป็นรูปแบบระดับแล้ว สมการที่สามมีค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์สองตัว (y = 0 และ x = 0) สมการที่สองมีค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์ (x = 0) และสมการที่สามไม่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์

ในระบบระดับ เราแก้ "จากล่างขึ้นบน" นั่นคือเราเริ่มด้วยสมการที่สาม

ย้ายไปที่สมการบนสุด เราแทน z = 2

สุดท้าย เราแทน z = 2 และ y = 1 ในสมการแรก เพื่อให้ได้ x

สารละลาย

x = 5, y = 1, z = 2

คำถามที่ 3 (กฎหรือวิธีการของแครมเมอร์)

แก้ระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้:

ดูคำตอบ

คำตอบ: x = 4, y = 0

โดยใช้กฎของแครมเมอร์

ขั้นตอนที่ 1: กำหนดดีเทอร์มิแนนต์ D, Dx และ Dy

เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์คือ:

ปัจจัยของมัน:
ง = 1. 1 - 2. (-1)
D = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3

สำหรับการคำนวณ Dx เราแทนที่คอลัมน์ของเงื่อนไขของ x ด้วยคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ

เดกซ์ = 4. 1 - 8. (-1)
Dx = 4 + 8 = 12

สำหรับการคำนวณ Dy เราแทนที่เงื่อนไขของ y ด้วยเงื่อนไขอิสระ

ได = 1. 8 - 2. 4
ได = 8 - 8
ได = 0

ขั้นตอนที่ 2: กำหนด x และ y

ในการกำหนด x เราทำ:

ในการพิจารณา y เราทำ:

คำถามที่ 4

ผู้ขายเสื้อยืดและหมวกแก๊ปในการแข่งขันกีฬาขายเสื้อยืด 3 ตัวและหมวกแก๊ป 2 ใบ รวมเป็นเงิน 220.00 เรียลบราซิล วันต่อมา เขาขายเสื้อ 2 ตัวและหมวกแก๊ป 3 ใบ ระดมทุนได้ 190.00 ดอลลาร์ฮ่องกง ราคาเสื้อยืดกับหมวกราคาเท่าไหร่คะ?

ก) เสื้อยืด: BRL 60.00 | หมวก: BRL 40.00

b) เสื้อยืด: BRL 40.00 | หมวก: BRL 60.00

ค) เสื้อยืด: BRL 56.00 | หมวก: BRL 26.00

ง) เสื้อยืด: BRL 50.00 | หมวก: BRL 70.00

จ) เสื้อยืด: BRL 80.00 | สูงสุด: BRL 30.00

ตรวจสอบคำตอบ

คำตอบอธิบาย

ให้ติดป้ายราคาเสื้อยืด c และราคาหมวก b.

สำหรับวันแรกเรามี:

3c + 2b = 220

สำหรับวันที่สองเรามี:

2c + 3b = 190

เราสร้างสมการสองสมการโดยมีนิรนามสองตัวคือ c และ b เราจึงมีระบบสมการเชิงเส้น 2x2

ปณิธาน

ใช้กฎของแครมเมอร์:

ขั้นตอนที่ 1: ปัจจัยของเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์

ขั้นตอนที่ 2: ดีเทอร์มิแนนต์ Dc

เราแทนที่คอลัมน์ของ c ด้วยเมทริกซ์ของเงื่อนไขอิสระ

ขั้นตอนที่ 3: ดีเทอร์มิแนนต์ Db

ขั้นตอนที่ 4: กำหนดค่าของ c และ b

การตอบสนอง:

ราคาของเสื้อยืดคือ R$56.00 และหมวก R$26.00

คำถามที่ 5

โรงภาพยนตร์เรียกเก็บเงิน R$10.00 ต่อตั๋วสำหรับผู้ใหญ่ และ R$6.00 ต่อตั๋วสำหรับเด็ก ในหนึ่งวัน ขายตั๋วได้ 80 ใบ และยอดรวมสะสมอยู่ที่ 700.00 ดอลลาร์ออสเตรเลีย ขายตั๋วแต่ละประเภทได้กี่ใบ?

ก) ผู้ใหญ่: 75 | เด็ก: 25

ข) ผู้ใหญ่: 40 | เด็ก: 40

ค) ผู้ใหญ่: 65 | เด็ก: 25

ง) ผู้ใหญ่: 30 | เด็ก: 50

จ) ผู้ใหญ่: 25 | เด็ก: 75

ตรวจสอบคำตอบ

คำตอบอธิบาย

เราจะตั้งชื่อมันว่า เดอะ ราคาบัตรสำหรับผู้ใหญ่และ ว สำหรับเด็ก.

เกี่ยวกับจำนวนตั๋วทั้งหมดที่เรามี:

เอ + ค = 80

เกี่ยวกับค่าที่ได้รับเรามี:

10a + 6c = 700

เราสร้างระบบสมการเชิงเส้นที่มีสมการสองสมการและนิรนามสองตัว นั่นคือระบบ 2x2

ปณิธาน

เราจะใช้วิธีเปลี่ยนตัว

แยก a ในสมการแรก:

ก = 80 - ค

แทน a ลงในสมการที่สอง:

10.(80 - ค) + 6c = 700

800 -10c + 6c = 700

800 - 700 = 10c - 6c

100 = 4ค

ค = 100/4

ค = 25

แทน c ในสมการที่สอง:

6a + 10c = 700

6ก+10. 25 = 700

6y + 250 = 700

6a = 700 - 250

6a = 450

ก=450/6

เอ = 75

คำถามที่ 6

ร้านขายเสื้อยืด กางเกงขาสั้น และรองเท้า ในวันแรก มีการขายเสื้อยืด 2 ตัว กางเกงขาสั้น 3 ตัว และรองเท้า 4 คู่ รวมเป็นเงิน 350.00 เรียลบราซิล ในวันที่สอง มีการขายเสื้อยืด 3 ตัว กางเกงขาสั้น 2 ตัว และรองเท้า 1 คู่ รวมเป็นเงิน 200.00 เรียลบราซิล วันที่สาม ขายเสื้อยืด 1 ตัว กางเกงขาสั้น 4 ตัว และรองเท้า 2 คู่ รวมเป็นเงิน 320.00 เรียลบราซิล เสื้อยืด กางเกงขาสั้น และรองเท้าคู่ละเท่าไหร่?

ก) เสื้อยืด: BRL 56.00 | เบอร์มิวดา: R$ 24.00 | รองเท้า: BRL 74.00

b) เสื้อยืด: BRL 40.00 | เบอร์มิวดา: R$ 50.00 | รองเท้า: BRL 70.00

ค) เสื้อยืด: BRL 16.00 | เบอร์มิวดา: R$ 58.00 | รองเท้า: BRL 36.00

ง) เสื้อยืด: BRL 80.00 | เบอร์มิวดา: R$ 50.00 | รองเท้า: BRL 40.00

จ) เสื้อยืด: BRL 12.00 | เบอร์มิวดา: R$ 26.00 | รองเท้า: BRL 56.00

ตรวจสอบคำตอบ

คำตอบอธิบาย

• c คือราคาเสื้อ;
• b คือราคาของกางเกงขาสั้น
• s คือราคาของรองเท้า

สำหรับวันแรก:

2c + 3b + 4s = 350

สำหรับวันที่สอง:

3c + 2b + s = 200

สำหรับวันที่สาม:

ค + 4b + 2s = 320

เรามีสามสมการและนิรนามสามตัว สร้างระบบสมการเชิงเส้นขนาด 3x3

โดยใช้กฎของแครมเมอร์

เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์คือ

ดีเทอร์มีแนนต์คือ D = 25

เมทริกซ์คอลัมน์ของคำตอบคือ:

ในการคำนวณ Dc เราจะแทนที่เมทริกซ์คอลัมน์ของคำตอบด้วยคอลัมน์แรกในเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์

กระแสตรง = 400

สำหรับการคำนวณ Db:

ฐานข้อมูล = 1450

สำหรับการคำนวณ Ds:

Ds = 900

ในการหาค่า c, b และ s เราหารดีเทอร์มีแนนต์ Dc, Db และ Ds ด้วยดีเทอร์มิแนนต์หลัก D

คำถามที่ 7

ร้านอาหารมีตัวเลือกอาหาร 3 อย่าง ได้แก่ เนื้อ สลัด และพิซซ่า ในวันแรก มีการขายอาหารจานเนื้อ 40 จาน สลัด 30 จาน และพิซซ่า 10 ชิ้น รวมเป็นเงิน 700.00 เรียลบราซิล ในวันที่สอง มีการขายอาหารประเภทเนื้อ 20 รายการ สลัด 40 รายการ และพิซซ่า 30 ถาด รวมเป็นเงิน 600.00 เรียลบราซิล ในวันที่สาม มีการขายอาหารจานเนื้อ 10 รายการ สลัด 20 รายการ และพิซซ่า 40 ถาด รวมเป็นเงิน 500.00 เรียลบราซิล แต่ละจานราคาเท่าไหร่?

ก) เนื้อ: BRL 200.00 | สลัด: R$ 15.00 | พิซซ่า: BRL 10.00

b) เนื้อ: R$ 150.00 | สลัด: R$ 10.00 | พิซซ่า: BRL 60.00

ค) เนื้อ: BRL 100.00 | สลัด: R$ 15.00 | พิซซ่า: BRL 70.00

ง) เนื้อ: BRL 200.00 | สลัด: R$ 10.00 | พิซซ่า: BRL 15.00

จ) เนื้อ: BRL 140.00 | สลัด: R$ 20.00 | พิซซ่า: BRL 80.00

ตรวจสอบคำตอบ

คำตอบอธิบาย

โดยใช้:

• c สำหรับเนื้อสัตว์
• สำหรับสลัด;
• p สำหรับพิซซ่า

ในวันแรก:

ในวันที่สอง:

ในวันที่สาม:

สามารถรับราคาของอาหารแต่ละจานได้โดยการแก้ระบบ:

ปณิธาน

โดยใช้วิธีกำจัด.

คูณ 20c + 40s + 30p = 6,000 ด้วย 2

ลบสมการเมทริกซ์ที่สองที่ได้จากสมการแรก

ในเมทริกซ์ด้านบน เราแทนที่สมการนี้ด้วยสมการที่สอง

เราคูณสมการที่สามด้านบนด้วย 4

การลบค่าที่สามออกจากสมการแรก เราได้:

แทนสมการที่ได้จากสมการที่สาม

การลบสมการสองและสาม เราได้:

จากสมการที่สาม เราจะได้ p = 80

แทน p ในสมการที่สอง:

50s + 50.80 = 5,000

50s + 4000 = 5000

50 วินาที = 1,000

s = 1,000/50 = 20

แทนค่า s และ p ในสมการแรก:

40c + 30.20 + 10.80 = 7000

40c + 600 + 800 = 7000

40c = 7000 - 600 - 800

40c = 5600

ค = 5600 / 40 = 140

สารละลาย

p=80, s=20 และ c=140

คำถามที่ 8

(UEMG) ในแผนระบบ แสดงถึงคู่ของเส้น

ก) บังเอิญ

b) แตกต่างและขนานกัน

c) เส้นพร้อมกันที่จุด ( 1, -4/3 )

d) เส้นพร้อมกันที่จุด ( 5/3, -16/9 )

ตรวจสอบคำตอบ

คำตอบอธิบาย

คูณสมการแรกด้วยสองและเพิ่มสมการทั้งสอง:

แทน x ในสมการ A:

คำถามที่ 9

(PUC-MINAS) ห้องปฏิบัติการแห่งหนึ่งส่งคำสั่งซื้อ 108 รายการไปยังร้านขายยา A, B และ C เป็นที่ทราบกันดีว่าจำนวนคำสั่งซื้อที่ส่งไปยังร้านขายยา B เป็นสองเท่าของจำนวนคำสั่งซื้อทั้งหมดที่ส่งไปยังร้านขายยาอีกสองแห่ง นอกจากนี้ คำสั่งซื้อสามรายการที่มากกว่าครึ่งหนึ่งของจำนวนที่จัดส่งไปยังร้านขายยา A ถูกส่งไปยังร้านขายยา C

จากข้อมูลนี้ การระบุว่าจำนวนคำสั่งซื้อทั้งหมดที่ส่งไปยังร้านขายยา B และ C นั้นถูกต้อง

ก) 36

ข) 54

ค) 86

ง) 94

ตรวจสอบคำตอบ

คำตอบอธิบาย

ตามคำสั่งที่เรามี:

ก + ข + ค = 108.

นอกจากนี้ ปริมาณของ B เป็นสองเท่าของ A + C

B = 2(เอ + ค)

คำสั่งซื้อสามรายการถูกส่งไปยังร้านขายยา C มากกว่าครึ่งหนึ่งของปริมาณที่จัดส่งไปยังร้านขายยา A

ค = ก/2 + 3

เรามีสมการและสามสิ่งที่ไม่รู้จัก

โดยใช้วิธีทดแทน.

ขั้นตอนที่ 1: แทนที่ที่สามด้วยวินาที

ขั้นตอนที่ 2: แทนผลลัพธ์ที่ได้และสมการที่สามในสมการแรก

ขั้นตอนที่ 3: แทนค่าของ A เพื่อกำหนดค่าของ B และ C

B = 3A + 6 = 3.22 + 6 = 72

สำหรับ C:

ขั้นตอนที่ 4: เพิ่มค่าของ B และ C

72 + 14 = 86

คำถาม 10

(UFRGS 2019) เพื่อให้ระบบสมการเชิงเส้น เป็นไปได้และแน่นอนมีความจำเป็นและเพียงพอที่

ก) a ∈ R

ข) ก = 2.

ค) ก = 1.

ง) ก ≠ 1

ค) ก ≠ 2

ตรวจสอบคำตอบ

คำตอบอธิบาย

วิธีหนึ่งในการจำแนกระบบที่เป็นไปได้และกำหนดได้คือวิธีของแครมเมอร์

เงื่อนไขคือดีเทอร์มิแนนต์แตกต่างจากศูนย์

ทำให้ดีเทอร์มีแนนต์ D ของเมทริกซ์หลักเท่ากับศูนย์:

หากต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับระบบเชิงเส้น:

• ระบบเชิงเส้น: คืออะไร ประเภท และวิธีแก้ปัญหา
• ระบบสมการ
• การปรับสเกลของระบบเชิงเส้น
• กฎของแครมเมอร์

สำหรับแบบฝึกหัดเพิ่มเติม:

• ระบบสมการระดับ 1

วิธีการพูด?

ASTH, ราฟาเอล. แบบฝึกหัดเรื่องระบบเชิงเส้นที่แก้สมการเรื่องทั้งหมด, [n.d.]. มีอยู่ใน: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. เข้าถึงได้ที่:

ดูด้วย

• ระบบเชิงเส้น
• การปรับสเกลของระบบเชิงเส้น
• ระบบสมการ
• 11 แบบฝึกหัด เรื่อง การคูณเมทริกซ์
• สมการดีกรีสอง
• แบบฝึกหัดอสมการ
• 27 แบบฝึกหัดคณิตศาสตร์พื้นฐาน
• กฎของแครมเมอร์