ลองนึกภาพเล่นกับลูกหินเพื่อสร้างสามเหลี่ยม ก่อนอื่นให้พิจารณาว่าลูกบอลเป็นเหมือนสามเหลี่ยมขนาดเล็ก:
•
จากนั้นคุณวางลูกหินสองลูกไว้ด้านล่างและสร้างจุดยอดทั้งสามของ a สามเหลี่ยม:
•
• •
หากคุณวางลูกบอลอีกสามลูกไว้ใต้ลูกบอลเหล่านี้ มันจะเกิดรูปสามเหลี่ยมอีกอัน:
•
• •
• • •
ในแต่ละขั้นตอนของการเพิ่มลูกบอลที่สัมพันธ์กับปริมาณที่วางไว้ก่อนหน้านี้จะมีการก่อตัวของสามเหลี่ยมอยู่เสมอ ดูสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นจากการเพิ่มลูกบอลอีกสี่ลูก:
•
• •
• • •
• • • •
จำนวนลูกบอลทั้งหมดในแต่ละขั้นเป็นตัวกำหนดประเภทของตัวเลขที่เรียกว่า เลขสามเหลี่ยม. นักคณิตศาสตร์ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ ค้นพบสูตรเพื่อระบุจำนวนรวมในแต่ละสามเหลี่ยม โดยที่ NS1ตรงกับสามเหลี่ยมแรก NS2, ไปยังสามเหลี่ยมที่สอง เป็นต้น ผลรวมที่เกาส์บรรยายเริ่มต้นด้วย NS และ, ในแต่ละขั้นตอน มีการเพิ่มตัวเลขที่สอดคล้องกับหนึ่งหน่วยเหนือตัวเลขสุดท้ายที่เพิ่ม:
NS1 = 1
NS2= 1 + 2 = 3
NS3 = 1 + 2 + 3 = 6
NS4= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
NS5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
ผลรวมเหล่านี้เป็นตัวเลขสามเหลี่ยม: 1, 3, 6, 10, 15... โปรดทราบว่ามีรูปแบบที่กำหนดไว้ในแต่ละผลรวมเหล่านี้ สังเกตดีๆ จะเห็นว่าแต่ละอันเป็น
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ของเหตุผลที่ 1 นี่คือ ผลรวมเกาส์ซึ่งกำหนดว่า ในผลรวมอัตราส่วนคงที่ หากเราเพิ่มองค์ประกอบแรกเข้ากับตัวสุดท้าย เราจะได้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับการเพิ่มองค์ประกอบที่สองไปยังองค์ประกอบสุดท้าย มาดูกันว่ากระบวนการผลรวมเกาส์สำหรับผลรวมเกิดขึ้นได้อย่างไร NS6 และ NS7:
กระบวนการผลรวมเกาส์ที่ใช้กับผลรวมของตัวเลขสามเหลี่ยม
อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)
ถ้าหยุด NS6 และ NS7 เรามีผลรวมจากภาพด้านบน ลองทำซ้ำผลรวมนี้สำหรับ NS8, NS9, NS10 และ NS11:
NS8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
NS9= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
NS10= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
NS11= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66
เราสามารถสรุปเพื่อให้ได้ผลรวมสำหรับ NSไม่:
NSไม่ = NS. (n+1), ถ้า n เป็นคู่
2
NSไม่ = (น - 1).(n+1) + (n - 1) + 1, ถ้า n เป็นเลขคี่
2 2
เช่นเดียวกับใน มายากลตัวเลขเราสามารถแสดงข้อเท็จจริงที่น่าสนใจอีกประการเกี่ยวกับตัวเลขสามเหลี่ยม: ผลรวมของตัวเลขสามเหลี่ยมที่ตามมา ให้ผลเป็นตัวเลขที่สามารถจัดเป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้เสมอ นั่นคือ ตัวเลขที่มีราก สี่เหลี่ยม. มาดูกัน:
NS1 + ส2 = 1 + 3 = 4
NS2 + ส3 = 3 + 6 = 9
NS3 + ส4 = 6 + 10 = 16
NS4 + ส5 = 10 + 15 = 25
NS5 + ส6 = 15 + 21 = 36
NS6 + ส7 = 21 + 28 = 49
NS7 + ส8 = 28 + 36 = 64
NS8 + ส9 = 36 + 45 = 81
NS9 + ส10 = 45 + 55 = 100
NS10 + ส11 = 55 + 66 = 121
ผลลัพธ์ที่ได้คือ 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 และ 121 เป็นกำลังสองที่สมบูรณ์แบบ
โดย Amanda Gonçalves
จบคณิต
คุณต้องการอ้างอิงข้อความนี้ในโรงเรียนหรืองานวิชาการหรือไม่ ดู:
ริเบโร, อแมนด้า กอนซัลเวส. "ตัวเลขสามเหลี่ยม"; โรงเรียนบราซิล. มีจำหน่ายใน: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm. เข้าถึงเมื่อ 27 กรกฎาคม 2021.
