จำนวนเฉพาะ: มันคืออะไร, มันคืออะไร, แบบฝึกหัด

ชุดของ จำนวนเฉพาะ เป็นเป้าหมายของการศึกษาใน คณิตศาสตร์ จากกรีกโบราณ Euclides ในงานที่ยอดเยี่ยมของเขา "The Elements" ได้กล่าวถึงเรื่องนี้แล้วและแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้ ชุด มันเป็นอนันต์ อย่างที่เราทราบ จำนวนเฉพาะคือจำนวนที่มีเลข 1 เป็นตัวหารและตัวมันเอง ดังนั้น การหาจำนวนเฉพาะที่ใหญ่มากไม่ใช่เรื่องง่าย และตะแกรงของ Eratosthenes ทำให้ง่าย ประชุม.

จำนวนเฉพาะระหว่าง 1 ถึง 100

คุณจะรู้ได้อย่างไรว่าจำนวนใดเป็นจำนวนเฉพาะ?

เรารู้ว่าจำนวนเฉพาะคือ aใครก็ตามที่มีเป็น ตัวแบ่ง ที่ 1 และตัวเขาเองดังนั้น ตัวเลขที่อยู่ในรายการตัวหาร มีตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ 1 และไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ให้ดู:

โดยการแสดงรายการตัวแบ่ง 11 และ 30 เรามี:

ง(11) = {1, 11}

D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}

โปรดทราบว่าเลข 11 มีเพียงเลข 1 และตัวมันเองเป็นตัวหาร ดังนั้น, เลข 11 เป็นจำนวนเฉพาะ. ทีนี้มาดูตัวหารของเลข 30 มันมีตัวหารด้วย นอกเหนือจากตัวที่ 1 และตัวมันเองแล้ว ยังมีตัวหารด้วย ดังนั้น, เลข 30 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ.

→ ตัวอย่าง: ระบุจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า 15

สำหรับสิ่งนี้ เราจะแสดงรายการตัวหารของตัวเลขทั้งหมดระหว่าง 2 ถึง 15

ง(2) = {1, 2}

ง(3) = {1,3}

ง(4) = {1, 2, 4}

ง(5) = {1, 5}

ง(6) = {1, 2, 3, 6}

ง (7) = {1, 7}

ง (8) = {1, 2, 4, 8}

D(9) = {1, 3, 9}

ง(10) = {1, 2, 5, 10}

ง(11) = {1, 11}

ง(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

ง(13) = {1, 13}

ง(14) = {1, 2, 7, 14}

ง(15) = {1, 3, 5, 15}

ดังนั้น จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า 15 คือ:

2, 3, 5, 7, 11 และ 13

มาเผชิญหน้ากัน งานนี้คงไม่น่าพอใจนัก เช่น หากเราเขียนจำนวนเฉพาะทั้งหมดระหว่าง 2 ถึง 100 เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้ เราจะเรียนรู้การใช้ตะแกรงของ Eratosthenes ในหัวข้อถัดไป

อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)

ตะแกรงของ Eratosthenes

ตะแกรงของ Eratosthenes คือ a เครื่องมือที่มีจุดมุ่งหมายเพื่ออำนวยความสะดวกในการกำหนดจำนวนเฉพาะ ตะแกรงประกอบด้วยสี่ขั้นตอนและจำเป็นเพื่อให้เข้าใจพวกเขาจำ เกณฑ์การแบ่งตัว. ก่อนจะเริ่มทีละขั้นตอน เราต้องสร้างตารางจากเลข 2 เป็นจำนวนที่ต้องการ เนื่องจากเลข 1 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ จากนั้น:

→ ขั้นตอนที่ 1: จากเกณฑ์การหารด้วย 2 เรามีว่าจำนวนคู่หารด้วยมันลงตัว นั่นคือ เลข 2 จะปรากฏในรายการตัวหาร ดังนั้นตัวเลขเหล่านี้จะไม่เป็นจำนวนเฉพาะ และเราต้องแยกมันออกจาก โต๊ะ. ที่พวกเขา:

4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …

→ ขั้นตอนที่ 2: จากเกณฑ์การหารด้วย 3 เรารู้ว่าจำนวนนั้นหารด้วย 3 ลงตัวถ้า ผลรวม ของตัวเลขก็เป็นเช่นนั้น ดังนั้น เราต้องแยกตัวเลขเหล่านี้ออกจากตาราง เนื่องจากไม่ใช่จำนวนเฉพาะเพราะมีตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ 1 และตัวมันเองอยู่ในรายการตัวหาร ดังนั้น เราต้องยกเว้นตัวเลข:

6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …

→ ขั้นตอนที่ 3: จากเกณฑ์การหารด้วย 5 เรารู้ว่าตัวเลขทั้งหมดที่ลงท้ายด้วย 0 หรือ 5 หารด้วย 5 ลงตัว ดังนั้นเราต้องแยกตัวเลขออกจากตาราง

10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…

→ ขั้นตอนที่ 4: ในทำนองเดียวกัน เราต้องแยกตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 7 ออกจากตาราง

14, 21, 28, …, 546, …

– รู้จักตะแกรงของ Eratosthenes มากำหนดจำนวนเฉพาะระหว่าง 2 ถึง 100

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

→ ไม่ใช่ลูกพี่ลูกน้อง
→ จำนวนเฉพาะ

ดังนั้นจำนวนเฉพาะระหว่าง 2 ถึง 100 คือ:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}

อ่านด้วย: การคำนวณ MMC และ MDC: ทำอย่างไร

การสลายตัวของปัจจัยสำคัญ

เธ การสลายตัวของปัจจัยสำคัญ เป็นที่รู้จักกันอย่างเป็นทางการว่า ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต ทฤษฎีบทนี้ระบุว่าใดๆ จำนวนเต็ม แตกต่างจาก 0 และมากกว่า 1 สามารถแสดงด้วยผลคูณของจำนวนเฉพาะ ในการกำหนดรูปแบบการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็ม เราต้องทำการหารต่อเนื่องกันจนกว่าเราจะได้ผลลัพธ์เท่ากับ 1 ดูตัวอย่าง:

→ กำหนดรูปแบบการแยกตัวประกอบของตัวเลข 8, 20 และ 350

ในการแยกตัวประกอบเลข 8 เราต้องหารด้วยจำนวนเฉพาะตัวแรกที่เป็นไปได้ ในกรณีนี้ด้วย 2 จากนั้นเราทำการหารอื่นด้วยจำนวนเฉพาะที่เป็นไปได้ กระบวนการนี้ทำซ้ำจนกว่าเราจะถึงหมายเลข 1 เป็นคำตอบของการหาร ดู:

8: 2 = 4

4: 2 = 2

2: 2 = 1

ดังนั้นรูปแบบแยกตัวประกอบของจำนวน 8 คือ 2 · 2 · 2 = 2³. เพื่ออำนวยความสะดวกในกระบวนการนี้ เราจะใช้วิธีการต่อไปนี้:

ดังนั้นเลข 8 สามารถเขียนได้ดังนี้: 2³.

→ ในการแยกตัวประกอบจำนวน 20 เราจะใช้วิธีเดียวกัน นั่นคือ หารด้วยจำนวนเฉพาะ

ดังนั้นจำนวน 20 ในรูปแบบแยกตัวประกอบคือ: 2 · 2 · 5 หรือ 2² · 5.

→ ในทำนองเดียวกัน เราจะทำกับหมายเลข 350

ดังนั้น จำนวน 350 ในรูปแบบแยกตัวประกอบคือ: 2 · 5 · 5 · 7 หรือ 2 · 5² · 7.

ดูด้วย: สัญกรณ์วิทยาศาสตร์: มีไว้เพื่ออะไร?

แบบฝึกหัดแก้ไข

คำถามที่ 1 – ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

สารละลาย

ขั้นแรก ให้แยกตัวประกอบนิพจน์เพื่อทำให้ง่ายขึ้น

ดังนั้น 1024 = 2¹⁰ดังนั้นเราจึงสามารถแทนที่อันหนึ่งสำหรับอีกอันหนึ่งในนิพจน์การฝึก ดังนั้น:

โดย ร็อบสัน ลุยซ์
ครูคณิต