ชุดของ จำนวนเฉพาะ เป็นเป้าหมายของการศึกษาใน คณิตศาสตร์ จากกรีกโบราณ Euclides ในงานที่ยอดเยี่ยมของเขา "The Elements" ได้กล่าวถึงเรื่องนี้แล้วและแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้ ชุด มันเป็นอนันต์ อย่างที่เราทราบ จำนวนเฉพาะคือจำนวนที่มีเลข 1 เป็นตัวหารและตัวมันเอง ดังนั้น การหาจำนวนเฉพาะที่ใหญ่มากไม่ใช่เรื่องง่าย และตะแกรงของ Eratosthenes ทำให้ง่าย ประชุม.
คุณจะรู้ได้อย่างไรว่าจำนวนใดเป็นจำนวนเฉพาะ?
เรารู้ว่าจำนวนเฉพาะคือ aใครก็ตามที่มีเป็น ตัวแบ่ง ที่ 1 และตัวเขาเองดังนั้น ตัวเลขที่อยู่ในรายการตัวหาร มีตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ 1 และไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ให้ดู:
โดยการแสดงรายการตัวแบ่ง 11 และ 30 เรามี:
ง(11) = {1, 11}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}
โปรดทราบว่าเลข 11 มีเพียงเลข 1 และตัวมันเองเป็นตัวหาร ดังนั้น, เลข 11 เป็นจำนวนเฉพาะ. ทีนี้มาดูตัวหารของเลข 30 มันมีตัวหารด้วย นอกเหนือจากตัวที่ 1 และตัวมันเองแล้ว ยังมีตัวหารด้วย ดังนั้น, เลข 30 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ.
→ ตัวอย่าง: ระบุจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า 15
สำหรับสิ่งนี้ เราจะแสดงรายการตัวหารของตัวเลขทั้งหมดระหว่าง 2 ถึง 15
ง(2) = {1, 2}
ง(3) = {1,3}
ง(4) = {1, 2, 4}
ง(5) = {1, 5}
ง(6) = {1, 2, 3, 6}
ง (7) = {1, 7}
ง (8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
ง(10) = {1, 2, 5, 10}
ง(11) = {1, 11}
ง(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
ง(13) = {1, 13}
ง(14) = {1, 2, 7, 14}
ง(15) = {1, 3, 5, 15}
ดังนั้น จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า 15 คือ:
2, 3, 5, 7, 11 และ 13
มาเผชิญหน้ากัน งานนี้คงไม่น่าพอใจนัก เช่น หากเราเขียนจำนวนเฉพาะทั้งหมดระหว่าง 2 ถึง 100 เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้ เราจะเรียนรู้การใช้ตะแกรงของ Eratosthenes ในหัวข้อถัดไป
อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)
ตะแกรงของ Eratosthenes
ตะแกรงของ Eratosthenes คือ a เครื่องมือที่มีจุดมุ่งหมายเพื่ออำนวยความสะดวกในการกำหนดจำนวนเฉพาะ ตะแกรงประกอบด้วยสี่ขั้นตอนและจำเป็นเพื่อให้เข้าใจพวกเขาจำ เกณฑ์การแบ่งตัว. ก่อนจะเริ่มทีละขั้นตอน เราต้องสร้างตารางจากเลข 2 เป็นจำนวนที่ต้องการ เนื่องจากเลข 1 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ จากนั้น:
→ ขั้นตอนที่ 1: จากเกณฑ์การหารด้วย 2 เรามีว่าจำนวนคู่หารด้วยมันลงตัว นั่นคือ เลข 2 จะปรากฏในรายการตัวหาร ดังนั้นตัวเลขเหล่านี้จะไม่เป็นจำนวนเฉพาะ และเราต้องแยกมันออกจาก โต๊ะ. ที่พวกเขา:
4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …
→ ขั้นตอนที่ 2: จากเกณฑ์การหารด้วย 3 เรารู้ว่าจำนวนนั้นหารด้วย 3 ลงตัวถ้า ผลรวม ของตัวเลขก็เป็นเช่นนั้น ดังนั้น เราต้องแยกตัวเลขเหล่านี้ออกจากตาราง เนื่องจากไม่ใช่จำนวนเฉพาะเพราะมีตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ 1 และตัวมันเองอยู่ในรายการตัวหาร ดังนั้น เราต้องยกเว้นตัวเลข:
6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
→ ขั้นตอนที่ 3: จากเกณฑ์การหารด้วย 5 เรารู้ว่าตัวเลขทั้งหมดที่ลงท้ายด้วย 0 หรือ 5 หารด้วย 5 ลงตัว ดังนั้นเราต้องแยกตัวเลขออกจากตาราง
10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
→ ขั้นตอนที่ 4: ในทำนองเดียวกัน เราต้องแยกตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 7 ออกจากตาราง
14, 21, 28, …, 546, …
– รู้จักตะแกรงของ Eratosthenes มากำหนดจำนวนเฉพาะระหว่าง 2 ถึง 100
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
→ ไม่ใช่ลูกพี่ลูกน้อง
→ จำนวนเฉพาะ
ดังนั้นจำนวนเฉพาะระหว่าง 2 ถึง 100 คือ:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
อ่านด้วย: การคำนวณ MMC และ MDC: ทำอย่างไร
การสลายตัวของปัจจัยสำคัญ
เธ การสลายตัวของปัจจัยสำคัญ เป็นที่รู้จักกันอย่างเป็นทางการว่า ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต ทฤษฎีบทนี้ระบุว่าใดๆ จำนวนเต็ม แตกต่างจาก 0 และมากกว่า 1 สามารถแสดงด้วยผลคูณของจำนวนเฉพาะ ในการกำหนดรูปแบบการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็ม เราต้องทำการหารต่อเนื่องกันจนกว่าเราจะได้ผลลัพธ์เท่ากับ 1 ดูตัวอย่าง:
→ กำหนดรูปแบบการแยกตัวประกอบของตัวเลข 8, 20 และ 350
ในการแยกตัวประกอบเลข 8 เราต้องหารด้วยจำนวนเฉพาะตัวแรกที่เป็นไปได้ ในกรณีนี้ด้วย 2 จากนั้นเราทำการหารอื่นด้วยจำนวนเฉพาะที่เป็นไปได้ กระบวนการนี้ทำซ้ำจนกว่าเราจะถึงหมายเลข 1 เป็นคำตอบของการหาร ดู:
8: 2 = 4
4: 2 = 2
2: 2 = 1
ดังนั้นรูปแบบแยกตัวประกอบของจำนวน 8 คือ 2 · 2 · 2 = 23. เพื่ออำนวยความสะดวกในกระบวนการนี้ เราจะใช้วิธีการต่อไปนี้:
ดังนั้นเลข 8 สามารถเขียนได้ดังนี้: 23.
→ ในการแยกตัวประกอบจำนวน 20 เราจะใช้วิธีเดียวกัน นั่นคือ หารด้วยจำนวนเฉพาะ
ดังนั้นจำนวน 20 ในรูปแบบแยกตัวประกอบคือ: 2 · 2 · 5 หรือ 22 · 5.
→ ในทำนองเดียวกัน เราจะทำกับหมายเลข 350
ดังนั้น จำนวน 350 ในรูปแบบแยกตัวประกอบคือ: 2 · 5 · 5 · 7 หรือ 2 · 52 · 7.
ดูด้วย: สัญกรณ์วิทยาศาสตร์: มีไว้เพื่ออะไร?
แบบฝึกหัดแก้ไข
คำถามที่ 1 – ลดความซับซ้อนของนิพจน์:
สารละลาย
ขั้นแรก ให้แยกตัวประกอบนิพจน์เพื่อทำให้ง่ายขึ้น
ดังนั้น 1024 = 210ดังนั้นเราจึงสามารถแทนที่อันหนึ่งสำหรับอีกอันหนึ่งในนิพจน์การฝึก ดังนั้น:
โดย ร็อบสัน ลุยซ์
ครูคณิต
