ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล: 5 แบบฝึกหัดความคิดเห็น

เธ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง คือทุกหน้าที่ของ ℝ ใน ℝ^*_+, กำหนดโดย f(x) = a^xโดยที่ a เป็นจำนวนจริง มากกว่าศูนย์และไม่เท่ากับ 1

ใช้ประโยชน์จากแบบฝึกหัดที่แสดงความคิดเห็นเพื่อขจัดข้อสงสัยทั้งหมดของคุณเกี่ยวกับเนื้อหานี้ และอย่าลืมตรวจสอบความรู้ของคุณในคำถามที่ได้รับการแก้ไขแล้วของการแข่งขัน

แบบฝึกหัดความคิดเห็น

แบบฝึกหัด 1

นักชีววิทยากลุ่มหนึ่งกำลังศึกษาการพัฒนากลุ่มแบคทีเรียเฉพาะและ พบว่าภายใต้สภาวะที่เหมาะสม สามารถพบจำนวนแบคทีเรียผ่านนิพจน์ N(t) = 2000. 2^0.5tเป็นชั่วโมง

เมื่อพิจารณาถึงเงื่อนไขเหล่านี้ นานเท่าใดหลังจากการเริ่มสังเกตจำนวนแบคทีเรียจะเท่ากับ 8192000?

สารละลาย

ในสถานการณ์ที่เสนอ เราทราบจำนวนแบคทีเรีย นั่นคือ เรารู้ว่า N(t) = 8192000 และเราต้องการหาค่าของ t ดังนั้น เพียงแทนที่ค่านี้ในนิพจน์ที่กำหนด:

ในการแก้สมการนี้ ลองเขียนจำนวน 4096 ในตัวประกอบเฉพาะ เพราะถ้าเรามีฐานเท่ากัน เราก็สามารถเท่ากับเลขชี้กำลังได้ ดังนั้นเมื่อแยกตัวประกอบจำนวน เรามี:

ดังนั้นวัฒนธรรมจะมีแบคทีเรีย 8 192 000 ตัวหลังจาก 1 วัน (24 ชั่วโมง) นับจากเริ่มสังเกต

แบบฝึกหัดที่ 2

วัสดุกัมมันตภาพรังสีมีแนวโน้มตามธรรมชาติเมื่อเวลาผ่านไปเพื่อสลายมวลกัมมันตภาพรังสีของพวกมัน เวลาที่มวลกัมมันตภาพรังสีครึ่งหนึ่งใช้ในการสลายตัวเรียกว่าครึ่งชีวิต

ปริมาณสารกัมมันตภาพรังสีของธาตุที่กำหนดโดย:

เป็น

N(t): ปริมาณกัมมันตภาพรังสี (เป็นกรัม) ในช่วงเวลาที่กำหนด
นู๋₀: ปริมาณเริ่มต้นของวัสดุ (เป็นกรัม)
T: ครึ่งชีวิต (ปี)
t: เวลา (ปี)

เมื่อพิจารณาว่าครึ่งชีวิตของธาตุนี้เท่ากับ 28 ปี ให้กำหนดเวลาที่จำเป็นสำหรับวัสดุกัมมันตภาพรังสีเพื่อลดเหลือ 25% ของปริมาณเริ่มต้น

สารละลาย

สำหรับสถานการณ์ที่เสนอ A(t) = 0.25 A₀ = 1/4 A₀ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนนิพจน์ที่กำหนดโดยแทนที่ T ด้วย 28 ปี จากนั้น:

ดังนั้นจะใช้เวลา 56 ปีในการลดปริมาณสารกัมมันตรังสีลง 25%.

คำถามการแข่งขัน

1) Unesp - 2018

ไอบูโพรเฟนเป็นยาตามใบสั่งแพทย์สำหรับอาการปวดและมีไข้ โดยมีครึ่งชีวิตประมาณ 2 ชั่วโมง ซึ่งหมายความว่า ตัวอย่างเช่น หลังจาก 2 ชั่วโมงของการกินไอบูโพรเฟน 200 มก. ยาเพียง 100 มก. จะยังคงอยู่ในกระแสเลือดของผู้ป่วย หลังจากนั้นอีก 2 ชั่วโมง (รวม 4 ชั่วโมง) จะเหลือเพียง 50 มก. ในกระแสเลือดเป็นต้น หากผู้ป่วยได้รับไอบูโพรเฟน 800 มก. ทุก 6 ชั่วโมง ปริมาณยานี้จะคงอยู่ในกระแสเลือดเป็นเวลา 14 ชั่วโมงหลังจากรับประทานยาครั้งแรก

ก) 12.50 มก.
ข) 456.25 มก.
ค) 114.28 มก.
ง) 6.25 มก.
จ) 537.50 มก.

ดูคำตอบ

เนื่องจากปริมาณยาเริ่มต้นในกระแสเลือดทุกๆ 2 ชั่วโมงถูกแบ่งครึ่ง เราสามารถแสดงสถานการณ์นี้โดยใช้รูปแบบต่อไปนี้:

โปรดทราบว่าเลขชี้กำลังในแต่ละสถานการณ์จะเท่ากับเวลาหารด้วย 2 ดังนั้น เราสามารถกำหนดปริมาณของยาในกระแสเลือดเป็นฟังก์ชันของเวลา โดยใช้นิพจน์ต่อไปนี้:

การเป็น

Q(t): ปริมาณในชั่วโมงที่กำหนด
คิว₀: จำนวนเงินเริ่มต้นที่กินเข้าไป
t: เวลาเป็นชั่วโมง

เมื่อพิจารณาว่ามีการใช้ไอบูโพรเฟน 800 มก. ทุก 6 ชั่วโมง เราจึงมี:

ในการหาปริมาณยาในกระแสเลือด 14 ชั่วโมงหลังจากกินเข้าไปเข็มที่ 1 เราต้องเพิ่มปริมาณที่อ้างอิงถึงปริมาณที่ 1, 2 และ 3 การคำนวณปริมาณเหล่านี้เราได้:

ปริมาณของยาที่ 1 จะพิจารณาจากเวลาเท่ากับ 14 ชั่วโมง ดังนั้นเราจึงมี:

สำหรับขนาดยาที่สอง ตามที่แสดงในแผนภาพด้านบน เวลาคือ 8 ชั่วโมง แทนที่ค่านี้ เรามี:

เวลาสำหรับเข็มที่ 3 จะมีเพียง 2 ชั่วโมงเท่านั้น ปริมาณที่เกี่ยวข้องกับปริมาณที่ 3 จะเป็น:

ตอนนี้เราทราบปริมาณของยาแต่ละขนาดที่กินเข้าไปแล้ว เราสามารถหาจำนวนเงินทั้งหมดได้โดยการเพิ่มแต่ละปริมาณที่พบ:

คิว_รวม= 6.25 + 50 + 400 = 456.25 มก.

ทางเลือก b) 456.25 มก.

2) UERJ - 2013

ทะเลสาบที่เคยจัดหาเมืองถูกปนเปื้อนหลังจากอุบัติเหตุทางอุตสาหกรรมถึงระดับความเป็นพิษ T₀เท่ากับสิบเท่าของระดับเริ่มต้น
อ่านข้อมูลด้านล่าง

• กระแสน้ำตามธรรมชาติของทะเลสาบทำให้ปริมาณน้ำเพิ่มขึ้น 50% ทุก ๆ สิบวัน
• ระดับความเป็นพิษ T(x) หลังจาก x วันของการเกิดอุบัติเหตุ สามารถคำนวณได้โดยใช้สมการต่อไปนี้:

พิจารณา D จำนวนวันที่น้อยที่สุดของการระงับการจ่ายน้ำซึ่งจำเป็นสำหรับความเป็นพิษเพื่อกลับสู่ระดับเริ่มต้น
ถ้าบันทึก 2 = 0.3 ค่าของ D จะเท่ากับ:

ก) 30
ข) 32
ค) 34
ง) 36

ดูคำตอบ

ในการกลับสู่ระดับความเป็นพิษเริ่มต้น จำเป็นที่:

แทนค่านี้ในฟังก์ชันที่กำหนด เรามี:

เมื่อคูณด้วย "กากบาท" สมการจะกลายเป็น:

2 ^0.1x= 10

ลองใช้ลอการิทึมฐาน 10 ทั้งสองข้างเพื่อเปลี่ยนเป็นสมการดีกรีที่ 1

บันทึก (2^0.1x) = บันทึก 10

จำไว้ว่าล็อกของ 10 ในฐาน 10 เท่ากับ 1 สมการของเราจะมีลักษณะดังนี้:

0.1x. บันทึก 2 = 1

พิจารณาว่าล็อก 2 = 0.3 และแทนค่านี้ในสมการ:

ดังนั้น จำนวนวันที่น้อยที่สุด โดยประมาณ อุปทานนั้นควรถูกระงับคือ 34 วัน

ทางเลือก c) 34

3) Fuvesp - 2018

ให้ f: ℝ → ℝ และ g: ℝ₊ →ℝ กำหนดโดย

ตามลำดับ

กราฟของฟังก์ชันประกอบ g_ºศรัทธา:

ดูคำตอบ

กราฟที่คุณกำลังมองหาคือฟังก์ชันประกอบ g_ºf ดังนั้น ขั้นตอนแรกคือการกำหนดฟังก์ชันนี้ สำหรับสิ่งนี้ เราต้องแทนที่ฟังก์ชัน f (x) ใน x ของฟังก์ชัน g (x) เราจะพบว่า:

โดยใช้คุณสมบัติลอการิทึมของผลหารและกำลัง เราได้:

โปรดทราบว่าฟังก์ชันที่พบด้านบนเป็นประเภท ax+b ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่สัมพันธ์กัน ดังนั้นกราฟของคุณจะเป็นเส้นตรง

นอกจากนี้ ความชัน a เท่ากับ log₁₀ 5 ซึ่งเป็นจำนวนบวก กราฟจึงจะเพิ่มขึ้น ด้วยวิธีนี้ เราสามารถกำจัดตัวเลือก b, c และ e

เราเหลือตัวเลือก a และ d แต่เมื่อ x=0 เรามี gof = - log₁₀ 2 ซึ่งเป็นค่าลบที่แสดงในกราฟ a

ทางเลือก ก)

4) Unicamp - 2014

กราฟด้านล่างแสดงเส้นโค้งศักยภาพทางชีวภาพ q (t) สำหรับประชากรจุลินทรีย์ในช่วงเวลา t

เนื่องจาก a และ b เป็นค่าคงที่จริง ฟังก์ชันที่สามารถแทนค่าศักย์ไฟฟ้านี้ได้คือ

ก) q(t) = ที่ + b
b) q(t) = ab^t
ค) q(t) = ที่² + bt
d) q(t) = a + บันทึก _บี t

ดูคำตอบ

จากกราฟที่แสดง เราสามารถระบุได้ว่าเมื่อ t=0 ฟังก์ชันจะเท่ากับ 1,000 นอกจากนี้ยังสามารถสังเกตได้ว่าฟังก์ชันไม่สัมพันธ์กัน เนื่องจากกราฟไม่ใช่เส้นตรง

ถ้าฟังก์ชันเป็นประเภท q (t) = at²+bt เมื่อ t = 0 ผลลัพธ์จะเท่ากับศูนย์ ไม่ใช่ 1,000 มันจึงไม่ใช่ฟังก์ชันกำลังสองเช่นกัน

วิธีการเข้าสู่ระบบ_บีไม่ได้กำหนด 0 และไม่สามารถเป็นคำตอบของฟังก์ชัน q (t) = a + log_บีที

ดังนั้นตัวเลือกเดียวคือฟังก์ชัน q(t) = ab^t. เมื่อพิจารณา t=0 ฟังก์ชันจะเป็น q (t) = a เนื่องจาก a เป็นค่าคงที่ ก็เพียงพอแล้วที่จะเท่ากับ 1,000 เพื่อให้ฟังก์ชันพอดีกับกราฟที่กำหนด

ทางเลือก b) q (t) = ab^t

5) ศัตรู (PPL) - 2015

สหภาพแรงงานของบริษัทแนะนำว่าระดับเงินเดือนของชั้นเรียนอยู่ที่ 1,800.00 รูเปียห์อินโดนีเซีย โดยเสนอให้มีการเพิ่มขึ้นในอัตราคงที่ในแต่ละปีที่อุทิศให้กับการทำงาน นิพจน์ที่สอดคล้องกับข้อเสนอเงินเดือน (s) เป็นหน้าที่ของระยะเวลาในการให้บริการ (t) ในปีคือ s (t) = 1800 (1,03)^t .

ตามข้อเสนอของสหภาพแรงงาน เงินเดือนของผู้เชี่ยวชาญจากบริษัทนี้ที่มีอายุการทำงาน 2 ปีจะเป็นเรียล

ก) 7 416.00
ข) 3,819.24
ค) 3,709.62
ง) 3,708.00
จ) 1,909.62

ดูคำตอบ

นิพจน์สำหรับการคำนวณค่าจ้างเป็นฟังก์ชันของเวลาที่เสนอโดยสหภาพแรงงานสอดคล้องกับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ในการหาค่าเงินเดือนในสถานการณ์ที่ระบุ ให้คำนวณค่าของ s เมื่อ t=2 ดังที่แสดงด้านล่าง:

s(2) = 1800. (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

ทางเลือก จ) 1 909.62

อ่านด้วยนะ:

• ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
• ลอการิทึม
• ลอการิทึม - แบบฝึกหัด
• คุณสมบัติลอการิทึม
• ศักยภาพ
• แบบฝึกหัด potentiation
• ฟังก์ชันสัมพันธ์
• ฟังก์ชันเชิงเส้น
• แบบฝึกหัดเกี่ยวกับฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง
• ฟังก์ชันกำลังสอง
• ฟังก์ชันกำลังสอง - แบบฝึกหัด
• สูตรคณิตศาสตร์