ตัวเลขที่ซับซ้อน: คำจำกัดความ การดำเนินการ และแบบฝึกหัด

จำนวนเชิงซ้อนคือ ตัวเลขประกอบด้วยส่วนจริงและส่วนจินตภาพ.

พวกมันเป็นตัวแทนของเซตของคู่ลำดับทั้งหมด (x, y) ซึ่งมีองค์ประกอบอยู่ในเซตของจำนวนจริง (R)

เซตของจำนวนเชิงซ้อนแสดงโดย ค และกำหนดโดยการดำเนินการ:

• ความเท่าเทียมกัน: (a, b) = (c, d) ↔ a = c และ b = d
• ส่วนที่เพิ่มเข้าไป: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)
• การคูณ: (ก, ข). (c, d) = (ac – bd, โฆษณา + bc)

หน่วยจินตภาพ (i)

ระบุด้วยตัวอักษร ผมหน่วยจินตภาพเป็นคู่ลำดับ (0, 1) เร็ว ๆ นี้:

ผม. ผม = -1 ↔ ผม² = –1

ดังนั้น ผม คือสแควร์รูทของ –1

รูปแบบพีชคณิตของZ

รูปแบบพีชคณิตของ Z ใช้แทนจำนวนเชิงซ้อนโดยใช้สูตร:

Z = x + ยี่

ที่ไหน:

• x เป็นจำนวนจริงที่ระบุโดย x = Re (Z) เรียกว่า ส่วนที่แท้จริงของ z.
• y เป็นจำนวนจริงที่ระบุโดย y = Im(Z) เรียกว่า ส่วนจินตภาพของ Z.

คอนจูเกตจำนวนเชิงซ้อน

คอนจูเกตของจำนวนเชิงซ้อนถูกระบุโดย z, ที่กำหนดโดย z = a - bi. ดังนั้นสัญลักษณ์ของส่วนจินตภาพจึงถูกแลกเปลี่ยน

ดังนั้น ถ้า z = a + bi แล้ว z = a – bi

เมื่อเราคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วยคอนจูเกต ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนจริง

ความเท่าเทียมกันระหว่างจำนวนเชิงซ้อน

เป็นจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน Z₁ = (a, b) และ Z₂ = (c, d) จะเท่ากันเมื่อ a = c และ b = d เนื่องจากมีส่วนจริงและส่วนจินตภาพเหมือนกัน ดังนั้น:

a + bi = c + di เมื่อไหร่ a = c และ b = d

การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน

ด้วยจำนวนเชิงซ้อน จึงสามารถดำเนินการบวก ลบ คูณ และหารได้ ตรวจสอบคำจำกัดความและตัวอย่างด้านล่าง:

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป

Z₁ + Z₂ = (a + c, b + d)

ในรูปแบบพีชคณิต เรามี:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d)

ตัวอย่าง:

(2 +3i) + (–4 + 5i)
(2 - 4) + ผม (3 + 5)
–2 + 8i

การลบ

Z₁ – Z₂ = (a - c, b - d)

ในรูปแบบพีชคณิต เรามี:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + i (b - d)

ตัวอย่าง:

(4 - 5i) - (2 + ผม)
(4 – 2) + ผม (–5 –1)
2 - 6i

การคูณ

(ก, ข). (c, d) = (ac – bd, โฆษณา + bc)

ในรูปแบบพีชคณิต เราใช้คุณสมบัติการกระจาย:

(a + ไบ). (c + di) = ac + adi + bci + bdi² (ผม² = –1)
(a + ไบ). (c + di) = ac + adi + bci – bd
(a + ไบ). (c + di) = (ac - bd) + i (โฆษณา + bc)

ตัวอย่าง:

(4 + 3i). (2 - 5i)
8 – 20i + 6i – 15i²
8 - 14i + 15
23 – 14i

แผนก

Z₁/Z₂ = Z₃
Z₁ = Z₂. Z₃

ในความเท่าเทียมกันข้างต้น ถ้า Z₃ = x + yi เรามี:

Z₁ = Z₂. Z₃

a + bi = (c + di) (x + ยี่)
a + bi = (cx - dy) + i (cy + dx)

โดยระบบของ unknowns x และ y เรามี:

cx - dy = a
dx + cy = b

ในไม่ช้า

x = ไฟฟ้ากระแสสลับ + bd/c² + ด²
y = bc - โฆษณา/c² + ด²

ตัวอย่าง:

2 - 5i/i
2 – 5i/. (– ผม)/ (– ผม)
-2i +5i²/–i²
5 – 2i

แบบฝึกหัดสอบเข้าพร้อมคำติชม

1. (UF-TO) พิจารณา ผม หน่วยจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน ค่านิพจน์ (i + 1)⁸ é:

ก) 32i
ข) 32
ค) 16
ง) 16i

ดูคำตอบ

ทางเลือก c: 16

2. (UEL-PR) จำนวนเชิงซ้อน z ที่ตรวจสอบสมการ iz – 2w (1 + i) = 0 (w บ่งชี้คอนจูเกตของ z) คือ:

ก) z = 1 + i
b) z = (1/3) - i
ค) z = (1 - i)/3
ง) z = 1 + (i/3)
จ) z = 1 - i

ดูคำตอบ

ทางเลือก e: z = 1 - i

3. (Vunesp-SP) พิจารณาจำนวนเชิงซ้อน z = cos π/6 + i sin π/6 ค่าของz³ + Z⁶ + Z¹² é:

ที่นั่น
ข) ½ +√3/2i
ค) ผม – 2
ง) ฉัน
จ) 2i

ดูคำตอบ

ทางเลือก d: i

ตรวจสอบคำถามเพิ่มเติมพร้อมความละเอียดในการแสดงความคิดเห็นใน แบบฝึกหัดเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน.

บทเรียนวิดีโอ

หากต้องการเพิ่มพูนความรู้เกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน ให้ดูวิดีโอ "ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน"

ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน

ประวัติของจำนวนเชิงซ้อน

การค้นพบจำนวนเชิงซ้อนเกิดขึ้นในศตวรรษที่ 16 ด้วยการมีส่วนร่วมของนักคณิตศาสตร์ Girolamo Cardano (1501-1576)

อย่างไรก็ตาม จนกระทั่งถึงศตวรรษที่ 18 การศึกษาเหล่านี้ถูกทำให้เป็นทางการโดยนักคณิตศาสตร์ Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

นี่เป็นก้าวสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ เนื่องจากจำนวนลบมีรากที่สอง ซึ่งจนกระทั่งการค้นพบจำนวนเชิงซ้อนถือว่าเป็นไปไม่ได้

ดูข้อมูลเพิ่มเติมได้ที่ see

• ชุดตัวเลข
• พหุนาม
• จำนวนอตรรกยะ
• สมการดีกรีที่ 1
• ศักยภาพและการแผ่รังสี