พื้นที่ตัวเลขแบน: แบบฝึกหัดที่แก้ไขและแสดงความคิดเห็น

พื้นที่ร่างแบนแสดงถึงขอบเขตของการขยายร่างในระนาบ ในรูปแบนราบ เราสามารถพูดถึงรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมผืนผ้า รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมคางหมู วงกลม และอื่นๆ

ใช้คำถามด้านล่างเพื่อตรวจสอบความรู้ของคุณเกี่ยวกับวิชาเรขาคณิตที่สำคัญนี้

ปัญหาการแข่งขันได้รับการแก้ไข

คำถามที่ 1

(Cefet/MG - 2016) พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของไซต์จะต้องแบ่งออกเป็นสี่ส่วนเท่า ๆ กัน, สี่เหลี่ยมจัตุรัสและ, หนึ่งในนั้นต้องรักษาป่าสงวนพื้นเมือง (พื้นที่ฟักไข่) ดังแสดงในรูป ทำตาม

โดยรู้ว่า B เป็นจุดกึ่งกลางของเซ็กเมนต์ AE และ C เป็นจุดกึ่งกลางของเซกเมนต์ EF พื้นที่ฟักไข่ หน่วยเป็น m², ให้ฉัน

ก) 625.0
ข) 925.5
ค) 1562.5
ง) 2500.0

ดูคำตอบ

ทางเลือกที่ถูกต้อง: c) 1562.5

เมื่อสังเกตจากรูป เราจะสังเกตเห็นว่าพื้นที่ฟักตรงกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน 50 ม. ลบด้วยพื้นที่ของสามเหลี่ยม BEC และ CFD

การวัดด้าน BE ของสามเหลี่ยม BEC เท่ากับ 25 ม. เนื่องจากจุด B แบ่งด้านออกเป็นสองส่วนที่เท่ากัน (จุดกึ่งกลางของส่วน)

สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นกับด้าน EC และ CF นั่นคือ การวัดของพวกมันจะเท่ากับ 25 ม. ด้วย เนื่องจากจุด C เป็นจุดกึ่งกลางของเซ็กเมนต์ EF

ดังนั้นเราจึงสามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยม BEC และ CFD ได้ พิจารณาด้านสองด้านที่เรียกว่าฐาน อีกด้านหนึ่งจะเท่ากับความสูง เนื่องจากสามเหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

การคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสามเหลี่ยม BEC และ CFD เรามี:

ดังนั้น พื้นที่ฟักไข่ หน่วยเป็น m², ขนาด 1562.5.

คำถาม2

(Cefet/RJ - 2017) สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน x ​​และรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้าน y มีพื้นที่เท่ากัน ดังนั้น จึงกล่าวได้ว่าอัตราส่วน x/y เท่ากับ:

ดูคำตอบ

ทางเลือกที่ถูกต้อง: .

ข้อมูลที่ให้ไว้ในปัญหาคือพื้นที่เดียวกันคือ:

พื้นที่ของสามเหลี่ยมหาได้จากการคูณการวัดฐานด้วยการวัดความสูงแล้วหารผลลัพธ์ด้วย 2 เนื่องจากสามเหลี่ยมมีด้านเท่ากันหมดและด้านเท่ากับ y ค่าความสูงจึงถูกกำหนดโดย:

ดังนั้น จึงกล่าวได้ว่าอัตราส่วน x/y เท่ากับ .

คำถาม 3

(IFSP - 2016) จัตุรัสสาธารณะเป็นรูปวงกลมมีรัศมี 18 เมตร จากข้างต้น ให้ทำเครื่องหมายทางเลือกที่นำเสนอพื้นที่ของคุณ

ก) 1,017.36 ลบ²
ข) 1,254.98 ลบ²
ค) 1,589.77 m²
ง) 1,698.44 ลบ²
จ) 1,710.34 m²

ดูคำตอบ

ทางเลือกที่ถูกต้อง: a) 1 017, 36 m².

ในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส เราต้องใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของวงกลม:

A = π.R²

แทนค่ารัศมีและพิจารณา π = 3.14 เราพบว่า:

เอ = 3.14 18² = 3,14. 324 = 1 017, 36 m²

ดังนั้น พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 1 017, 36 m².

คำถาม 4

(IFRS - 2016) สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีขนาด x และ y ซึ่งแสดงโดยสมการ x² = 12 และ (y - 1)² = 3.

เส้นรอบวงและพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้ตามลำดับ

ก) 6√3 + 2 และ 2 + 6√3
ข) 6√3 และ 1 + 2√3
ค) 6√3 + 2 และ 12
ง) 6 และ 2√3
จ) 6√3 + 2 และ 2√3 + 6

ดูคำตอบ

ทางเลือกที่ถูกต้อง: จ) 6√3 + 2 และ 2√3 + 6

ก่อนอื่นให้แก้สมการเพื่อหาค่าของ x และ y:

x²= 12 ⇒ x = √12 = √4.3 = 2√3
(y - 1) ²= 3 ⇒ y = √3 + 1

เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะเท่ากับผลรวมของทุกด้าน:

พี = 2.2√3 + 2 (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2

ในการหาพื้นที่ ก็แค่คูณ x.y:

A = 2√3. (√3 + 1) = 2√3 + 6

ดังนั้น เส้นรอบวงและพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ 6√3 + 2 และ 2√3 + 6 ตามลำดับ

คำถาม 5

(ทหารเรือฝึกหัด - 2559) วิเคราะห์ตัวเลขต่อไปนี้:

เมื่อรู้ว่า EP เป็นรัศมีของครึ่งวงกลมตรงกลางใน E ดังที่แสดงในรูปด้านบน ให้กำหนดค่าของพื้นที่ที่มืดที่สุดแล้วตรวจสอบตัวเลือกที่ถูกต้อง ข้อมูล: หมายเลข π=3

ก) 10 ซม.²
ข) 12 ซม.²
ค) 18 ซม.²
ง) 10 ซม.²
จ) 24 ซม.²

ดูคำตอบ

ทางเลือกที่ถูกต้อง: b) 12 cm².

พื้นที่ที่มืดที่สุดหาได้โดยการเพิ่มพื้นที่ครึ่งวงกลมกับพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABD เริ่มจากการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมกันก่อน สังเกตว่าสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ลองเรียกด้าน AD ของ x และคำนวณการวัดโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสดังที่แสดงด้านล่าง:

5²= x² + 3²
x² = 25 - 9
x = √16
x = 4

เมื่อรู้การวัดด้าน AD เราสามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมได้:

เรายังต้องคำนวณพื้นที่ของครึ่งวงกลม โปรดทราบว่ารัศมีจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของการวัดที่ด้าน AD ดังนั้น r = 2 ซม. พื้นที่ครึ่งวงกลมจะเท่ากับ:

บริเวณที่มืดที่สุดจะพบได้โดยการทำ: A_ตู่ = 6 + 6 = 12 ซม.²

ดังนั้น ค่าของพื้นที่มืดที่สุดคือ 12 ซม.².

คำถาม 6

(ศัตรู - 2016) ชายคนหนึ่งซึ่งเป็นพ่อของลูกสองคนต้องการซื้อที่ดินสองแปลงโดยมีพื้นที่เท่ากันหนึ่งแปลงสำหรับเด็กแต่ละคน ดินแดนแห่งหนึ่งที่ไปเยือนได้ถูกกำหนดเขตไว้แล้วและถึงแม้จะไม่มีรูปแบบทั่วไป (ดังแสดงในรูปที่ B) แต่ก็พอใจกับลูกชายคนโตและด้วยเหตุนี้จึงถูกซื้อ ลูกชายคนเล็กมีโครงการสถาปัตยกรรมสำหรับบ้านที่เขาต้องการสร้าง แต่สำหรับสิ่งนั้นเขาต้องการ ของภูมิประเทศเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ดังแสดงในรูป ก) ที่ยาวกว่า. 7 เมตร ความกว้าง

เพื่อตอบสนองลูกชายคนสุดท้อง สุภาพบุรุษคนนี้ต้องหาที่ดินสี่เหลี่ยมผืนหนึ่งซึ่งมีหน่วยวัดเป็นเมตร ความยาว และความกว้างเท่ากัน ตามลำดับ เพื่อ

ก) 7.5 และ 14.5
ข) 9.0 และ 16.0
ค) 9.3 และ 16.3
ง) 10.0 และ 17.0
จ) 13.5 และ 20.5

ดูคำตอบ

ทางเลือกที่ถูกต้อง: b) 9.0 และ 16.0

เนื่องจากพื้นที่ของรูป A เท่ากับพื้นที่ของรูป B เรามาคำนวณพื้นที่นี้กันก่อน สำหรับสิ่งนี้ ให้แบ่งรูป B ดังที่แสดงในภาพด้านล่าง:

โปรดทราบว่าเมื่อแยกร่าง เรามีสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป ดังนั้น พื้นที่ของรูป ข จะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมเหล่านี้ การคำนวณพื้นที่เหล่านี้เรามี:

เนื่องจากรูป A เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า จึงหาพื้นที่ได้โดยทำดังนี้

เธ_เธ = x (x + 7) = x² + 7x

เท่ากับพื้นที่ของรูป A กับค่าที่พบสำหรับพื้นที่ของรูป B เราพบ:

x² + 7x = 144
x² + 7x - 144 = 0

ลองแก้สมการดีกรีที่ 2 โดยใช้สูตรของ Bhaskara:

เนื่องจากการวัดไม่สามารถเป็นค่าลบได้ ลองพิจารณาค่าที่เท่ากับ 9 ดังนั้น ความกว้างของที่ดินในรูป A จะเท่ากับ 9 ม. และความยาวจะเท่ากับ 16 ม. (9+7)

ดังนั้น การวัดความยาวและความกว้างจะต้องเท่ากับ 9.0 และ 16.0 ตามลำดับ

คำถาม 7

(ศัตรู - 2015) บริษัท โทรศัพท์เคลื่อนที่มีเสาอากาศสองสายซึ่งจะถูกแทนที่ด้วยเสาอากาศใหม่ที่ทรงพลังกว่า พื้นที่ครอบคลุมของเสาอากาศที่จะถูกแทนที่คือวงกลมที่มีรัศมี 2 กม. ซึ่งเส้นรอบวงจะสัมผัสกันที่จุด O ดังแสดงในรูป

จุด O ระบุตำแหน่งของเสาอากาศใหม่ และพื้นที่ครอบคลุมจะเป็นวงกลมที่มีเส้นรอบวงภายนอกสัมผัสเส้นรอบวงของพื้นที่ครอบคลุมที่เล็กกว่า ด้วยการติดตั้งเสาอากาศใหม่ การวัดพื้นที่ครอบคลุมเป็นตารางกิโลเมตร ขยายโดย

ก) 8
b) 12 ปี่
ค) 16 ปี่
ง) 32 π
จ) 64 π

ดูคำตอบ

ทางเลือกที่ถูกต้อง: ก) 8 π.

กำลังขยายของการวัดพื้นที่ครอบคลุมจะพบได้โดยการลดพื้นที่ของวงกลมที่เล็กกว่าของวงกลมที่ใหญ่กว่า (หมายถึงเสาอากาศใหม่)

เนื่องจากเส้นรอบวงของพื้นที่ครอบคลุมใหม่สัมผัสกับเส้นรอบวงที่เล็กกว่าภายนอก รัศมีของพื้นที่จะเท่ากับ 4 กม. ดังที่แสดงในรูปด้านล่าง:

มาคำนวณพื้นที่ A. กัน₁ และ₂ ของวงกลมเล็กและพื้นที่ A₃ จากวงกลมที่ใหญ่กว่า:

เธ₁ = เอ₂ = 2². π = 4 π
เธ₃ = 4².π = 16 π

การวัดพื้นที่ขยายจะพบได้โดยทำดังนี้

A = 16 π - 4 π - 4 π = 8 π

ดังนั้น ด้วยการติดตั้งเสาอากาศใหม่ พื้นที่ครอบคลุมเป็นตารางกิโลเมตรจึงเพิ่มขึ้น 8 π

คำถาม 8

(ศัตรู - 2015) แผนภาพ I แสดงการกำหนดค่าของสนามบาสเก็ตบอล รูปสี่เหลี่ยมคางหมูสีเทาที่เรียกว่าคาร์บอยสอดคล้องกับพื้นที่หวงห้าม

มุ่งหวังที่จะปฏิบัติตามแนวทางของคณะกรรมการกลางของสหพันธ์บาสเกตบอลนานาชาติ (Fiba) ในปี 2553 ซึ่งรวมเครื่องหมาย ของโลหะผสมต่าง ๆ คาดว่าจะมีการดัดแปลงในคาร์บอยของคอร์ทซึ่งจะกลายเป็นสี่เหลี่ยมดังแสดงในแผน ครั้งที่สอง

หลังจากดำเนินการเปลี่ยนแปลงตามแผนแล้ว มีการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่ที่ครอบครองโดยคาร์บอยแต่ละตัว ซึ่งสอดคล้องกับ (ก)

ก) เพิ่มขึ้น 5800 ซม.².
b) เพิ่มขึ้น 75 400 ซม.².
c) เพิ่มขึ้น 214 600 cm².
ง) ลดลง 63 800 ซม.².
จ) ลดลง 272 600 cm².

ดูคำตอบ

ทางเลือกที่ถูกต้อง: ก) เพิ่มขึ้น 5800 ซม.²

หากต้องการทราบว่าการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่ที่ถูกครอบครองคืออะไร ให้คำนวณพื้นที่ก่อนและหลังการเปลี่ยนแปลง

ในการคำนวณโครงร่าง I เราจะใช้สูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู ในแผนภาพ II เราจะใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

การเปลี่ยนแปลงพื้นที่จะเป็น:

A = A_II - อา_ผม
A = 284 200 - 278 400 = 5 800 ซม.²

ดังนั้นหลังจากดำเนินการแก้ไขตามแผนแล้วจึงมีการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่ที่ครอบครองโดยคาร์บอยแต่ละตัวซึ่งสอดคล้องกับการเพิ่มขึ้น 5800 ซม. ²

แบบฝึกหัดที่เสนอ (พร้อมความละเอียด)

คำถาม 9

Ana ตัดสินใจสร้างสระสี่เหลี่ยมในบ้านของเธอซึ่งมีฐาน 8 ม. สูง 5 ม. รอบๆ นั้นมีรูปร่างเหมือนราวสำหรับออกกำลังกาย เต็มไปด้วยหญ้า

เมื่อรู้ว่าความสูงของราวสำหรับออกกำลังกายคือ 11 ม. และฐานของมันคือ 20 ม. และ 14 ม. ส่วนที่เต็มไปด้วยหญ้านั้นมีพื้นที่เท่าไหร่?

ก) 294 m²
ข) 153 ม.²
ค) 147 m²
ง) 216 m²

ดูคำตอบ

ทางเลือกที่ถูกต้อง: c) 147 m².

เมื่อสี่เหลี่ยมซึ่งเป็นตัวแทนของสระถูกแทรกเข้าไปในรูปขนาดใหญ่ ราวสำหรับออกกำลังกาย มาเริ่มด้วยการคำนวณพื้นที่ของรูปภายนอกกัน

พื้นที่สำหรับห้อยโหนคำนวณโดยใช้สูตร:

ที่ไหน

B คือการวัดฐานที่ใหญ่ที่สุด
b คือการวัดฐานที่เล็กที่สุด
h คือความสูง

แทนที่ข้อมูลคำสั่งในสูตร เรามี:

ทีนี้ มาคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมกัน ในการนั้น เราแค่ต้องคูณฐานด้วยความสูง

ในการหาพื้นที่ที่มีหญ้าปกคลุม เราต้องลบพื้นที่ที่สระว่ายน้ำครอบครองออกจากพื้นที่สำหรับห้อยโหน

ดังนั้นพื้นที่ที่เต็มไปด้วยหญ้าคือ 147 m².

ดูด้วย: พื้นที่ห้อยโหน

คำถาม 10

คาร์ลอสตัดสินใจซื้อกระเบื้องในยุคอาณานิคมเพื่อปรับปรุงหลังคาโกดัง การใช้หลังคาประเภทนี้ต้องใช้ 20 ชิ้นสำหรับหลังคาแต่ละตารางเมตร

หากหลังคาของสถานที่ประกอบขึ้นด้วยแผ่นสี่เหลี่ยมสองแผ่น ดังรูปด้านบน คาร์ลอสต้องซื้อกระเบื้องกี่แผ่น

ก) 12,000 แผ่น
b) 16000 กระเบื้อง
ค) 18,000 แผ่น
ง) 9600 กระเบื้อง

ดูคำตอบ

ทางเลือกที่ถูกต้อง: b) 16000 กระเบื้อง

หลังคาโกดังทำจากแผ่นสี่เหลี่ยมสองแผ่น ดังนั้นเราต้องคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมแล้วคูณด้วย 2

ดังนั้นพื้นที่หลังคาทั้งหมดคือ 800 ม.². หากตารางเมตรแต่ละตารางเมตรต้องใช้กระเบื้อง 20 แผ่น โดยใช้กฎง่ายๆ 3 ข้อ เราจะคำนวณว่าแต่ละโกดังมีกระเบื้องกี่แผ่น

ดังนั้นจึงจำเป็นต้องซื้อ 16,000 แผ่น

ดูด้วย: พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า

คำถาม 11

มาร์เซียอยากได้แจกันไม้เหมือนกันสองใบเพื่อประดับทางเข้าบ้านของเธอ เนื่องจากเธอสามารถซื้อของโปรดได้เพียงชิ้นเดียว เธอจึงตัดสินใจจ้างช่างทำตู้เพื่อสร้างแจกันอีกชิ้นที่มีขนาดเท่ากัน แจกันต้องมีสี่ด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว และฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

โดยไม่คำนึงถึงความหนาของไม้จะต้องใช้ไม้กี่ตารางเมตรในการผลิตซ้ำ?

ก) 0.2131 m²
ข) 0.1311 m²
ค) 0.2113 m²
ง) 0.3121 m²

ดูคำตอบ

ทางเลือกที่ถูกต้อง: d) 0.3121 m².

ราวสำหรับออกกำลังกายหน้าจั่วเป็นประเภทที่มีด้านเท่ากันและมีฐานขนาดต่างกัน จากภาพ เรามีการวัดสี่เหลี่ยมคางหมูที่แต่ละด้านของเรือดังต่อไปนี้:

ฐานเล็ก (b): 19 ซม.;
ฐานใหญ่ (B): 27 ซม.;
ส่วนสูง (ส.): 30 ซม.

ด้วยค่าในมือเราคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู:

เนื่องจากภาชนะประกอบด้วยสี่เหลี่ยมคางหมูสี่อัน เราจึงต้องคูณพื้นที่ที่พบด้วยสี่

ตอนนี้เราต้องคำนวณฐานของแจกันซึ่งประกอบเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 19 ซม.

เพิ่มพื้นที่คำนวณเราก็มาถึงพื้นที่ทั้งหมดของไม้ที่จะใช้ในการสร้าง

อย่างไรก็ตาม พื้นที่จะต้องนำเสนอเป็นตารางเมตร

ดังนั้นโดยไม่คำนึงถึงความหนาของไม้จึงต้องการ 0.3121 ม² ของวัสดุในการผลิตแจกัน

ดูด้วย: พื้นที่สี่เหลี่ยม

คำถาม 12

เพื่ออำนวยความสะดวกในการคำนวณจำนวนผู้เข้าร่วมกิจกรรมสาธารณะ โดยทั่วไปถือว่าหนึ่งตารางเมตรมีสี่คน

เพื่อเป็นการเฉลิมฉลองวันครบรอบเมือง ทางราชการเมืองจ้างวงดนตรีมาเล่นที่จัตุรัสกลางเมืองซึ่งมีเนื้อที่ 4,000 ตร.ม.². เมื่อรู้ว่าจตุรัสคนแน่น คนร่วมงานประมาณกี่คน?

ก) 16,000 คน
ข) 32,000 คน
ค) 12,000 คน
ง) 40,000 คน

ดูคำตอบ

ทางเลือกที่ถูกต้อง: ก) 16,000 คน

สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีสี่ด้านเท่ากันและมีพื้นที่คำนวณโดยสูตร: A = L x L

ถ้าใน 1 นาที² มีคนอยู่สี่คน ดังนั้น 4 เท่าของพื้นที่ทั้งหมดของจตุรัสจึงให้ค่าประมาณของผู้ที่เข้าร่วมงาน

จึงมีผู้เข้าร่วมงาน 16,000 คน ซึ่งได้รับการส่งเสริมจากศาลากลางจังหวัด

หากต้องการเรียนรู้เพิ่มเติม โปรดดูเพิ่มเติมที่:

• พื้นที่รูปแบน
• รูปทรงเรขาคณิต
• ทฤษฎีบทพีทาโกรัส - แบบฝึกหัด