เกี่ยวกับสมการดีกรีที่ 2

THE สมการดีกรีที่สอง ได้ชื่อมาเพราะเป็นสมการพหุนามที่มีเทอมดีกรีสูงสุดยกกำลังสอง เรียกอีกอย่างว่าสมการกำลังสองซึ่งแสดงโดย:

ขวาน² + bx + c = 0

ในสมการดีกรีที่ 2 จะได้ x คือค่าที่ไม่รู้จักและแสดงถึงค่าที่ไม่รู้จัก เนื้อเพลงแล้ว , บี และ ค เรียกว่าสัมประสิทธิ์สมการ

สัมประสิทธิ์คือจำนวนจริงและสัมประสิทธิ์ ต้องแตกต่างจากศูนย์ไม่เช่นนั้นจะกลายเป็นสมการดีกรีที่ 1

การแก้สมการดีกรีที่สองหมายถึงการหาค่าที่แท้จริงของ xซึ่งทำให้สมการเป็นจริง ค่าเหล่านี้เรียกว่ารากของสมการ

สมการกำลังสองมีรากจริงไม่เกินสองราก

สมการโรงเรียนมัธยมที่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

สมการดีกรีที่ 2 เสร็จสมบูรณ์ มีค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมด นั่นคือ a, b และ c ต่างจากศูนย์ (a, b, c ≠ 0)

ตัวอย่างเช่น สมการ 5x² + 2x + 2 = 0 สมบูรณ์เนื่องจากสัมประสิทธิ์ทั้งหมดไม่เป็นศูนย์ (a = 5, b = 2 และ c = 2)

สมการกำลังสองคือ ไม่สมบูรณ์ เมื่อ b = 0 หรือ c = 0 หรือ b = c = 0 ตัวอย่างเช่น สมการ 2x² = 0 ไม่สมบูรณ์เพราะ a = 2, b = 0 และ c = 0

แก้ไขแบบฝึกหัด

1) กำหนดค่าของ x ที่ทำให้สมการ 4x² - 16 = 0 จริง

สารละลาย:

สมการที่กำหนดเป็นสมการดีกรีที่ 2 ที่ไม่สมบูรณ์ โดยมี b = 0 สำหรับสมการประเภทนี้ เราสามารถแก้ได้โดยแยก x. ดังนั้น:

สังเกตว่ารากที่สองของ 4 สามารถเป็น 2 และ - 2 ได้ เนื่องจากตัวเลขยกกำลังสองสองตัวนี้ให้ผลลัพธ์เป็น 4

ดังนั้นรากของสมการ 4xx² - 16 = 0 คือ x = - 2 และ x = 2

2) หาค่าของ x เพื่อให้พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านล่างเท่ากับ 2

สารละลาย:

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหาได้จากการคูณฐานด้วยความสูง ดังนั้นเราต้องคูณค่าที่กำหนดและเท่ากับ 2

(x - 2). (x - 1) = 2

ทีนี้ลองคูณเงื่อนไขทั้งหมด:

x x - 1 x - 2 x - 2 (- 1) = 2
x² - 1x - 2x + 2 = 2
x² - 3x + 2 - 2 = 0
x² - 3x = 0

หลังจากแก้การคูณและการทอนทอนแล้ว เราพบสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ โดยมีค่า c = 0

สมการประเภทนี้สามารถแก้ได้โดยการ การแยกตัวประกอบ, เพราะว่า x ซ้ำในทั้งสองเงื่อนไข เลยจะเอาไปเป็นหลักฐาน

x (x - 3) = 0

เพื่อให้ผลคูณเท่ากับศูนย์ x = 0 หรือ (x - 3) = 0 อย่างไรก็ตาม การแทนที่ x โดยศูนย์ การวัดของด้านเป็นลบ ดังนั้นค่านี้จะไม่ใช่คำตอบของคำถาม

ดังนั้นเราจึงมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคือ (x - 3) = 0 การแก้สมการนี้:

x - 3 = 0
x = 3

ด้วยวิธีนี้ ค่าของ x เพื่อให้พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับ 2 คือ x = 3.

สูตรภัสการะ

เมื่อสมการกำลังสองสมบูรณ์ เราใช้ สูตรภัสการะ เพื่อหารากของสมการ

สูตรถูกนำเสนอด้านล่าง:

สูตรเดลต้า

ในสูตรของ Bhaskara อักษรกรีกปรากฏขึ้น Δ (เดลต้า)ซึ่งเรียกว่าการจำแนกของสมการ เนื่องจากตามค่าของมัน เป็นไปได้ที่จะทราบจำนวนรากของสมการนั้น

ในการคำนวณเดลต้าเราใช้สูตรต่อไปนี้:

เป็นขั้นเป็นตอน

ในการแก้สมการดีกรีที่ 2 โดยใช้สูตรของ Bhaskara เราต้องทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

ก้าวแรก: ระบุค่าสัมประสิทธิ์ , บี และ ค.

เงื่อนไขของสมการไม่ปรากฏในลำดับเดียวกันเสมอไป ดังนั้นสิ่งสำคัญคือต้องรู้วิธีระบุสัมประสิทธิ์โดยไม่คำนึงถึงลำดับของสมการ

ค่าสัมประสิทธิ์ คือจำนวนที่ไปกับ x², O บี คือเลขที่มาพร้อมกับ x มันเป็น ค เป็นเทอมอิสระ นั่นคือ ตัวเลขที่ปรากฏโดยไม่มี x

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณเดลต้า

ในการคำนวณรูตจำเป็นต้องทราบค่าของเดลต้า ในการทำเช่นนี้ เราจะแทนที่ตัวอักษรในสูตรด้วยค่าสัมประสิทธิ์

จากค่าเดลต้า เราสามารถทราบจำนวนรูตที่สมการดีกรีที่ 2 ได้ล่วงหน้า นั่นคือถ้าค่าของ Δ มากกว่าศูนย์ (Δ > 0) สมการจะมีรากที่แท้จริงและต่างกันสองราก

ถ้าตรงกันข้าม เดลต้ามีค่าน้อยกว่าศูนย์ (Δ ) สมการจะไม่มีรากจริงและถ้าเท่ากับศูนย์ (Δ = 0) สมการจะมีรากเดียว

ขั้นตอนที่ 3: คำนวณราก

หากค่าที่พบสำหรับเดลต้าเป็นค่าลบ คุณไม่จำเป็นต้องทำการคำนวณอีกต่อไป และคำตอบก็คือสมการนั้นไม่มีรากที่แท้จริง

หากค่าเดลต้าเท่ากับหรือมากกว่าศูนย์ เราต้องแทนที่ตัวอักษรทั้งหมดด้วยค่าในสูตรของ Bhaskara และคำนวณราก

แก้ไขการออกกำลังกาย

กำหนดรากของสมการ 2x² - 3x - 5 = 0

สารละลาย:

ในการแก้ปัญหานี้ เราต้องระบุสัมประสิทธิ์ก่อน ดังนั้นเราจึงมี:
a = 2
ข = - 3
ค = - 5

ตอนนี้เราสามารถหาค่าเดลต้าได้แล้ว เราต้องระวังกฎของเครื่องหมายและจำไว้ว่าเราต้องแก้สมการและการคูณก่อนแล้วจึงบวกและลบ

Δ = (- 3)² - 4. (- 5). 2 = 9 +40 = 49

เนื่องจากค่าที่พบเป็นค่าบวก เราจะพบค่ารากที่แตกต่างกันสองค่า ดังนั้น เราต้องแก้สูตรของ Bhaskara สองครั้ง ดังนั้นเราจึงมี:

ดังนั้นรากของสมการ 2x² - 3x - 5 = 0 คือ x = 5/2 และ x = - 1.

ระบบสมการดีกรีที่ 2

เมื่อเราต้องการหาค่าของสองสิ่งที่ไม่รู้ต่างกันที่ตอบสนองสองสมการพร้อมกัน เราได้ a ระบบสมการ.

สมการที่ประกอบเป็นระบบสามารถเป็นระดับที่ 1 และระดับที่ 2 ในการแก้ระบบประเภทนี้ เราสามารถใช้วิธีทดแทนและวิธีบวกได้

แก้ไขการออกกำลังกาย

แก้ระบบด้านล่าง:

สารละลาย:

ในการแก้ระบบ เราสามารถใช้วิธีบวก ในวิธีนี้ เราจะเพิ่มพจน์ที่คล้ายกันจากสมการที่ 1 กับสมการที่ 2 ดังนั้นเราจึงลดระบบเป็นสมการเดียว

เรายังทำให้พจน์ทั้งหมดของสมการง่ายขึ้นด้วย 3 แล้วผลลัพธ์จะเป็นสมการ x² - 2x - 3 = 0. การแก้สมการเราได้:

Δ = 4 - 4. 1. (- 3) = 4 + 12 = 16

หลังจากหาค่า x แล้ว อย่าลืมว่าเรายังต้องหาค่า y ที่ทำให้ระบบเป็นจริง

ในการทำเช่นนี้เพียงแทนที่ค่าที่พบใน x ในสมการใดสมการหนึ่ง

y₁ - 6. 3 = 4
y₁ = 4 + 18
y₁ = 22

y₂ - 6. (-1) = 4
y₂ + 6 = 4
y₂ = - 2

ดังนั้นค่าที่ตรงตามระบบที่เสนอคือ (3, 22) และ (-1, - 2)

คุณอาจสนใจ สมการดีกรีที่หนึ่ง.

การออกกำลังกาย

คำถามที่ 1

แก้สมการกำลังสองสมบูรณ์โดยใช้สูตรของ Bhaskara:

2x² + 7x + 5 = 0

ดูคำตอบ

ประการแรก สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตแต่ละสัมประสิทธิ์ในสมการ ดังนั้น:

a = 2
ข = 7
ค = 5

จากสูตรของดิสคริมิแนนต์ของสมการ เราต้องหาค่าของ Δ

นี่คือการหารากของสมการในภายหลังโดยใช้สูตรทั่วไปหรือสูตรของ Bhaskara:

Δ = 7² – 4. 2. 5
Δ = 49 - 40
Δ = 9

โปรดทราบว่าหากค่าของ Δ มากกว่าศูนย์ (Δ > 0) สมการจะมีรากที่แท้จริงและต่างกันสองราก

ดังนั้น หลังจากหา Δ แล้ว ให้แทนที่ด้วยสูตรของ Bhaskara:

ดังนั้นค่าของรากที่แท้จริงทั้งสองคือ: x₁ = - 1 และ x₂ = - 5/2

ตรวจสอบคำถามเพิ่มเติมได้ที่ สมการโรงเรียนมัธยม - แบบฝึกหัด

คำถาม2

แก้สมการดีกรีที่สองที่ไม่สมบูรณ์:

ก) 5x² – x = 0

ดูคำตอบ

อันดับแรก เรามองหาสัมประสิทธิ์ของสมการ:

a=5
ข= - 1
ค = 0

เป็นสมการที่ไม่สมบูรณ์ โดยที่ c = 0

ในการคำนวณเราสามารถใช้การแยกตัวประกอบซึ่งในกรณีนี้คือการใส่ x ไว้ในหลักฐาน

5x² – x = 0
x (5x-1) = 0
ในสถานการณ์นี้ ผลิตภัณฑ์จะเท่ากับศูนย์เมื่อ x = 0 หรือเมื่อ 5x -1 = 0 ลองคำนวณค่าของ x:

ดังนั้นรากของสมการคือ x₁ = 0 และ x₂ = 1/5.

ข) 2x² – 2 = 0

ดูคำตอบ

a = 2
ข = 0
ค = - 2

เป็นสมการดีกรีที่สองที่ไม่สมบูรณ์ โดยที่ b = 0 การคำนวณสามารถทำได้โดยแยก x:

x₁ = 1 และ x₂ = - 1

ดังนั้นรากทั้งสองของสมการคือ x₁ = 1 และ x₂ = - 1

ค) 5x² = 0

ดูคำตอบ

a = 5
ข = 0
ค = 0

ในกรณีนี้ สมการที่ไม่สมบูรณ์จะแสดงค่าสัมประสิทธิ์ b และ c เท่ากับศูนย์ (b = c = 0):

ดังนั้นรากของสมการนี้จึงมีค่า x₁ = x₂ = 0

หากต้องการเรียนรู้เพิ่มเติม ให้อ่านเพิ่มเติม:

• ฟังก์ชันกำลังสอง
• ผลรวมและผลิตภัณฑ์
• ความไม่เท่าเทียมกัน
• สมการอตรรกยะ
• จุดยอดของพาราโบลา