แนวคิดและการคำนวณความน่าจะเป็น

เธ ทฤษฎีความน่าจะเป็น เป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาการทดลองหรือปรากฏการณ์สุ่ม และโดยผ่านมัน จะสามารถวิเคราะห์โอกาสของเหตุการณ์บางอย่างที่เกิดขึ้นได้

เมื่อเราคำนวณความน่าจะเป็น เรากำลังเชื่อมโยงระดับความเชื่อมั่นว่าผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทดลองจะเกิดขึ้น ซึ่งไม่สามารถระบุผลลัพธ์ล่วงหน้าได้

ดังนั้น การคำนวณความน่าจะเป็นจะเชื่อมโยงการเกิดขึ้นของผลลัพธ์กับค่าที่เปลี่ยนแปลงจาก 0 ถึง 1 และยิ่งผลลัพธ์เข้าใกล้ 1 มากเท่าใด ความแน่นอนของการเกิดขึ้นของผลลัพธ์ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่คนจะซื้อตั๋วลอตเตอรีที่ชนะหรือรู้โอกาสที่คู่รักจะมีลูก 5 คน เด็กผู้ชายทั้งหมด

การทดลองสุ่ม

การทดลองแบบสุ่มคือการทดลองที่ไม่สามารถคาดเดาได้ว่าจะได้ผลลัพธ์อะไรก่อนที่จะดำเนินการ

เหตุการณ์ลักษณะนี้ เมื่อเกิดซ้ำภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน อาจให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน และความไม่แน่นอนนี้เกิดจากโอกาส

ตัวอย่างของการทดลองแบบสุ่มคือการม้วนแม่พิมพ์ที่ไม่มีอคติ (แม่พิมพ์ที่มีการกระจายมวลเป็นเนื้อเดียวกัน) ขึ้นไป เมื่อตกลงมาจะไม่สามารถคาดเดาได้ว่าหน้าใดใน 6 หน้าจะหงายขึ้น

สูตรความน่าจะเป็น

ในปรากฏการณ์สุ่ม โอกาสของเหตุการณ์จะเกิดขึ้นเท่ากัน

ดังนั้น เราสามารถหาความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่กำหนดได้โดยการหารจำนวนเหตุการณ์ที่น่าพอใจและจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด:

เป็น:

พี(เอ): ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A
ที่): จำนวนคดีที่เราสนใจ (เหตุการณ์ ก)
น (Ω): จำนวนคดีที่เป็นไปได้ทั้งหมด

ตัวอย่าง

1) ถ้าเราทอยลูกเต๋าที่สมบูรณ์ ความน่าจะเป็นที่จะทอยเลขน้อยกว่า 3 เป็นเท่าไหร่?

สารละลาย

ในการตายที่สมบูรณ์แบบ ทั้ง 6 หน้ามีโอกาสเท่ากันที่จะหงายหน้า ลองใช้สูตรความน่าจะเป็นกัน

สำหรับสิ่งนี้เราต้องพิจารณาว่าเรามีความเป็นไปได้ 6 กรณี (1, 2, 3, 4, 5, 6) และเหตุการณ์ "จากจำนวนที่น้อยกว่า 3" มีความเป็นไปได้ 2 อย่างนั่นคือจากหมายเลข 1 หรือหมายเลข 2. ดังนั้นเราจึงมี:

2) สำรับไพ่ประกอบด้วยไพ่ 52 ใบ แบ่งออกเป็นสี่ชุด (หัวใจ, ไม้กอล์ฟ, เพชร และโพดำ) โดยแต่ละชุดมี 13 ใบ ดังนั้น หากคุณจั่วไพ่แบบสุ่ม ความน่าจะเป็นของไพ่ที่ออกมาจากชุดไม้คลับเป็นเท่าไหร่?

สารละลาย

เมื่อจั่วการ์ดแบบสุ่ม เราไม่สามารถคาดเดาได้ว่าการ์ดใบนี้จะเป็นอะไร นี่คือการทดลองแบบสุ่ม

ในกรณีนี้ จำนวนไพ่จะสอดคล้องกับจำนวนกรณีที่เป็นไปได้ และเรามี 13 สโมสรที่แสดงถึงจำนวนเหตุการณ์ที่เอื้ออำนวย

แทนค่าเหล่านี้ในสูตรความน่าจะเป็น เรามี:

พื้นที่ตัวอย่าง

แทนด้วยตัวอักษร Ω, พื้นที่ตัวอย่างสอดคล้องกับชุดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ที่ได้รับจากการทดลองสุ่ม

ตัวอย่างเช่น เมื่อสุ่มหยิบไพ่จากสำรับ พื้นที่สุ่มตัวอย่างจะสอดคล้องกับไพ่ 52 ใบที่ประกอบเป็นสำรับนี้

ในทำนองเดียวกัน พื้นที่ตัวอย่างเมื่อหมุนแม่พิมพ์ 1 ครั้ง คือใบหน้าทั้งหกที่ประกอบขึ้นเป็น:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5 และ 6}

ประเภทของงาน

เหตุการณ์คือเซตย่อยใดๆ ของพื้นที่ตัวอย่างของการทดลองสุ่ม

เมื่อเหตุการณ์ตรงกับพื้นที่ตัวอย่างทุกประการ เรียกว่า a เหตุการณ์ที่ถูกต้อง. ในทางกลับกัน เมื่อเหตุการณ์ว่างจะเรียกว่า เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้.

ตัวอย่าง

ลองนึกภาพว่าเรามีกล่องที่มีลูกบอลตั้งแต่ 1 ถึง 20 และลูกบอลทั้งหมดเป็นสีแดง

เหตุการณ์ "จับลูกบอลสีแดง" เป็นเหตุการณ์ที่แน่นอน เนื่องจากลูกบอลทั้งหมดในกล่องมีสีนี้ เหตุการณ์ "วาดตัวเลขที่มากกว่า 30" เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากจำนวนสูงสุดในกล่องคือ 20

การวิเคราะห์เชิงผสมผสาน

ในหลาย ๆ สถานการณ์ เป็นไปได้ที่จะค้นพบจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้และเหตุการณ์ที่น่าพอใจโดยตรงในการทดสอบแบบสุ่ม

อย่างไรก็ตาม ในบางปัญหา คุณจะต้องคำนวณค่าเหล่านี้ ในกรณีนี้ เราสามารถใช้สูตรการเรียงสับเปลี่ยน การจัดเรียง และการรวมกันตามสถานการณ์ที่เสนอในคำถาม

หากต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับหัวข้อ ไปที่:

• การวิเคราะห์เชิงผสมผสาน
• แบบฝึกหัดการวิเคราะห์เชิงผสม
• หลักการพื้นฐานของการนับ
• การเปลี่ยนแปลง

ตัวอย่าง

(EsPCEx - 2012) ความน่าจะเป็นที่จะได้ตัวเลขหารด้วย 2 จากการสุ่มเลือกหนึ่งในการเปลี่ยนลำดับของตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5 คือ

สารละลาย

ในกรณีนี้ เราจำเป็นต้องค้นหาจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ นั่นคือจำนวนตัวเลขต่างๆ ที่เราได้รับโดยการเปลี่ยนลำดับของตัวเลข 5 หลักที่ให้มา (n=5)

ในกรณีนี้ ลำดับของตัวเลขในรูปแบบตัวเลขต่างกัน เราจะใช้สูตรการเรียงสับเปลี่ยน ดังนั้นเราจึงมี:

เหตุการณ์ที่เป็นไปได้:

ดังนั้นด้วยตัวเลข 5 หลัก เราจึงสามารถค้นหาตัวเลขต่างๆ ได้ 120 ตัว

ในการคำนวณความน่าจะเป็น เรายังต้องหาจำนวนเหตุการณ์ที่เอื้ออำนวยซึ่งในกรณีนี้ คือการหาจำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัว ซึ่งจะเกิดขึ้นเมื่อหลักสุดท้ายของตัวเลขเป็น 2 หรือ 4.

เมื่อพิจารณาว่าสำหรับตำแหน่งสุดท้าย เรามีความเป็นไปได้เพียงสองอย่างนี้ จากนั้นเราจะต้องสลับตำแหน่งอีก 4 ตำแหน่งที่ประกอบเป็นตัวเลขดังนี้:

เหตุการณ์ที่ดี:

จะพบความน่าจะเป็นโดยการทำ:

อ่านด้วยนะ:

• สามเหลี่ยมปาสกาล
• ตัวเลขที่ซับซ้อน
• คณิตศาสตร์ในศัตรู

แก้ไขการออกกำลังกาย

1) PUC/RJ - 2013

ถ้า a = 2n + 1 กับ n ∈ {1, 2, 3, 4} ความน่าจะเป็นของตัวเลข การเป็นคู่คือ

ถึง 1
ข) 0.2
ค) 0.5
ง) 0.8
จ) 0

ดูคำตอบ

เมื่อเราแทนที่ค่าที่เป็นไปได้แต่ละค่าของ n ลงในนิพจน์สำหรับตัวเลข a เราสังเกตว่าผลลัพธ์จะเป็นเลขคี่เสมอ

ดังนั้น "การเป็นจำนวนคู่" จึงเป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นเท่ากับศูนย์

ทางเลือก: จ) 0

2) UPE - 2013

ในกลุ่มของหลักสูตรภาษาสเปน สามคนตั้งใจที่จะทำโครงการแลกเปลี่ยนในชิลี และเจ็ดคนในสเปน ในบรรดาสิบคนเหล่านี้ สองคนได้รับเลือกให้ให้สัมภาษณ์เพื่อชิงทุนการศึกษาไปศึกษาต่อต่างประเทศ ความน่าจะเป็นที่ผู้ที่ได้รับเลือกสองคนนี้อยู่ในกลุ่มของผู้ที่ตั้งใจจะแลกเปลี่ยนในชิลีคือ

ดูคำตอบ

อันดับแรก หาจำนวนสถานการณ์ที่เป็นไปได้กันก่อน เนื่องจากการเลือกคน 2 คนไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับ เราจะใช้สูตรผสมเพื่อกำหนดจำนวนกรณีที่เป็นไปได้ เช่น

จึงมี 45 วิธีในการเลือก 2 คนจากกลุ่ม 10 คน

ตอนนี้ เราต้องคำนวณจำนวนเหตุการณ์ที่เอื้ออำนวย นั่นคือ สองคนที่จับสลากต้องการแลกเปลี่ยนในชิลี เราจะใช้สูตรผสมอีกครั้ง:

จึงมี 3 วิธีในการเลือกคน 2 คนจาก 3 คนที่ต้องการเรียนที่ชิลี

ด้วยค่าที่พบ เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่ขอแทนค่าในสูตร:

ทางเลือก: b)

อ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับบางเรื่องที่เกี่ยวข้อง:

• ทวินามของนิวตัน
• แบบฝึกหัดความน่าจะเป็น (ง่าย)
• แบบฝึกหัดความน่าจะเป็น
• สถิติ
• สถิติ - แบบฝึกหัด
• สูตรคณิตศาสตร์