เรารู้ว่าเป็นจำนวนจริงทุกจำนวนตรรกยะและ ไม่มีเหตุผล. โดยการเรียน ชุดตัวเลขสิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าพวกมันเป็นไปตามความต้องการและประวัติศาสตร์ของมนุษยชาติ ชุดตัวเลขคือ:
- ชุดตัวเลขธรรมชาติ
- ชุดจำนวนเต็ม
- ชุดของจำนวนตรรกยะ
- ชุดของจำนวนอตรรกยะ
- เซตของจำนวนจริง
คุณ จำนวนจริงมีคุณสมบัติ have เช่น associative, การสับเปลี่ยน, การมีอยู่ขององค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการบวกและการคูณ, การมีอยู่ขององค์ประกอบผกผันในการคูณและการแจกจ่าย ตัวเลขจริง สามารถแสดงบนเส้นจริงได้ — วิธีการแสดงตนอย่างมีระเบียบ
อ่านด้วย: จำนวนเฉพาะคืออะไร?
ตัวเลขจริงคืออะไร?
เรารู้ว่าเป็นจำนวนจริงของเซตที่เกิดจาก สหภาพของจำนวนตรรกยะและอตรรกยะ. เป็นเรื่องปกติที่จะทำงานกับพวกเขา แต่ชุดของตัวเลขจริงไม่ใช่ชุดแรกที่ปรากฏในประวัติศาสตร์
ตัวเลขธรรมชาติ
อู๋ ชุดเลขชุดแรก มันเกิดขึ้นจากจำนวนธรรมชาติ สิ่งเหล่านี้ถูกสร้างขึ้นจากความต้องการพื้นฐานของมนุษย์ในการนับและนับสิ่งของในชีวิตประจำวัน คุณ ตัวเลขธรรมชาติ พวกเขาเป็น:
ไม่มี = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}
จำนวนเต็ม
ด้วยวิวัฒนาการของสังคม ความใฝ่ฝันของมนุษย์จึงเปลี่ยนไปและ ต้องทำงานกับตัวเลขติดลบ. การดำเนินการเช่น 4-6 ซึ่งในชุดของตัวเลขธรรมชาติไม่สมเหตุสมผลเริ่มทำเช่นนั้นด้วยการเกิดขึ้นของชุดใหม่นี้ ชุดของ
จำนวนทั้งหมด มาบวกกับจำนวนลบในชุดของจำนวนธรรมชาติ นั่นคือ เกิดขึ้นจากจำนวนธรรมชาติและตรงข้ามกัน.ซี = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
สรุปตัวเลข
ปรากฎว่าเมื่อบวกจำนวนลบแล้ว เซตของจำนวนเต็มยังไม่เพียงพอ เนื่องจาก อียิปต์โบราณเป็นเรื่องปกติที่จะใช้ตัวเลขที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ถึงเวลานั้นเองที่ความจำเป็นในการจัดระเบียบชุดใหม่จึงเกิดขึ้น: ชุดที่สร้างขึ้นโดยทุกคน ตัวเลขที่แทนด้วยเศษส่วนได้ เรียกว่าจำนวนตรรกยะ
ต่างจากเซตของจำนวนเต็มในเชิงตรรกยะ ไม่สามารถเขียนรายการข้อตกลงกับรุ่นก่อนและผู้สืบทอดได้เพราะถ้าเป็นจำนวนตรรกยะจะมีอีกตัวเสมอ จำนวนตรรกยะ ระหว่างพวกเขา. ตัวอย่างเช่น ระหว่าง 1 ถึง 2 จะมี 1.5; ระหว่าง 1 ถึง 1.5 คือ 1.25; และอื่นๆ ดังนั้น ในการแทนจำนวนตรรกยะ เราใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้:
ในสัญกรณ์นี้ จำนวนตรรกยะคือจำนวนที่แทนด้วยเศษส่วนได้ ดิ ภายใต้ บี, เกี่ยวกับอะไร ดิ เป็นจำนวนเต็มและ บี เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์
ในชุดของจำนวนตรรกยะ รวมจำนวนเต็มทั้งหมดแล้ว ที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าสามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ นอกเหนือไปจากจำนวนทศนิยมที่แน่นอนและ ส่วนสิบเป็นระยะบวกและลบ
ดูด้วย: เลขลำดับคืออะไร?
จำนวนอตรรกยะ
ตรงกันข้ามกับคำจำกัดความของจำนวนตรรกยะ มีตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ นักคณิตศาสตร์บางคนได้ศึกษาพวกมันทันเวลาเพื่อพยายามแสดงสิ่งนี้ แต่ก็เป็นไปไม่ได้ ตัวเลขเหล่านี้คือ ส่วนสิบที่ไม่เป็นงวดและ ราก ไม่แน่นอนซึ่งจบลงด้วยการสร้างส่วนสิบที่ไม่เป็นงวด ตัวอย่างเช่น จำนวน π เป็นจำนวนอตรรกยะที่พบได้ทั่วไปในชีวิตประจำวัน ชุดของจำนวนอตรรกยะไม่สามารถระบุได้ เช่นเดียวกับจำนวนตรรกยะ และเขียนแทนด้วยตัวอักษร ผม.
ตัวอย่าง:
- √2 → รากที่ไม่แน่นอนเป็นจำนวนอตรรกยะ
- -√5 → รากไม่แน่นอนแม้ว่าค่าลบจะเป็นจำนวนอตรรกยะ
- 3.123094921… → ทศนิยมที่ไม่อยู่ในระยะเป็นจำนวนอตรรกยะ
ตัวเลขจริง
เนื่องจากจำนวนธรรมชาติและจำนวนเต็มทั้งหมดถือเป็นจำนวนตรรกยะ จนถึงตอนนี้ ตัวเลขสามารถเป็น แบ่งออกเป็น 2 ชุดใหญ่ คือ เซตของจำนวนตรรกยะและเซตของตัวเลข ไม่ลงตัว เซตของจำนวนจริงไม่มีอะไรมากไปกว่า สหภาพของจำนวนตรรกยะและอตรรกยะ.
R = {Q UI}
จนถึงตอนนี้ ตัวเลขทั้งหมดที่เรารู้จักเรียกว่าจำนวนจริง
การดำเนินการกับตัวเลขจริง
การดำเนินการเกี่ยวกับจำนวนจริงคือการดำเนินการที่รู้จักสำหรับชุดตัวเลขก่อนหน้าทั้งหมด ที่พวกเขา:
- ส่วนที่เพิ่มเข้าไป
- การลบ
- แผนก
- การคูณ
- ศักยภาพ
- รังสี
ในการดำเนินการใดๆ เหล่านี้ระหว่างจำนวนจริง ไม่มีความแตกต่างจากการดำเนินการกับตัวเลขก่อนหน้า
นอกจากนี้ เมื่อพิจารณาการดำเนินการดังกล่าวแล้ว สิ่งสำคัญคือต้องเน้นว่า มีคุณสมบัติ ในชุดของจำนวนจริง
คุณสมบัติของจำนวนจริง
สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าคุณสมบัติของจำนวนจริงคือ ผลที่ตามมาของคำจำกัดความ และมีประโยชน์ในการปฏิบัติงาน ที่พวกเขา:
- การมีอยู่ของธาตุที่เป็นกลางสำหรับการบวกและการคูณ
- สมบัติการสับเปลี่ยน
- ทรัพย์สินร่วม
- ทรัพย์สินกระจาย
- การมีอยู่ของผกผัน
องค์ประกอบที่เป็นกลาง
เบ ดิ จำนวนจริง
มีเลขเพิ่มมาที่ ดิ, ผลลัพธ์ในตัวเอง ดิ:
ดิ + 0 = ดิ
0 เป็นองค์ประกอบเป็นกลางของผลรวม.
มีจำนวนที่เมื่อคูณด้วย ดิ, ผลลัพธ์ในตัวเอง ที่.
ดิ · 1 = ดิ
1 เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางของการคูณ.
ทรัพย์สินหมุนเวียน
เบ ดิ และ บี สองจำนวนจริง
ไม่ว่าจะบวกหรือคูณ ลำดับของตัวเลขจะไม่เปลี่ยนแปลงผลลัพธ์
ดิ + บี = บี + ดิ
a · b = b · a
ทรัพย์สินร่วม
เบ ดิ, บี และ ค ตัวเลขจริง
ในการบวกและการคูณ จำนวนที่ดำเนินการทั้งสองนั้นไม่แยแสกับลำดับใดๆ
(ดิ + บี) + ค = ดิ + (บี + ค)
(ก · ข) · ค = ดิ· (ข · ค)
ทรัพย์สินกระจาย
เบ ดิ, บี และ ค ตัวเลขจริง
คุณสมบัติการกระจายแสดงให้เห็นว่า ผลคูณของผลรวมเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์
ค (a + b) = ca+cb
การมีอยู่ของผกผัน
เบ ดิ จำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์
สำหรับทุกจำนวนจริง ดิ แตกต่างจากศูนย์มีตัวเลขที่ผลิตภัณฑ์เข้า ดิ และจำนวนนี้เท่ากับ 1
การเป็นตัวแทนทางตรง
เราสามารถแทนเซตของจำนวนจริงในเส้นตรงได้ เนื่องจากมี a กฎเกณฑ์ที่กำหนดไว้อย่างดีสำหรับเขา. การแสดงบนเส้นนี้เรียกว่าเส้นจริงหรือ อีกครั้งมันเป็นตัวเลข และเป็นเรื่องธรรมดา แม้กระทั่งในการศึกษาระนาบคาร์ทีเซียน
เข้าถึงด้วย: เศษส่วนคืออะไร?
แก้ไขแบบฝึกหัด
คำถามที่ 1 - โปรดตัดสินข้อความต่อไปนี้:
I – ทศนิยมเป็นระยะเป็นจำนวนจริง
II – ทุกจำนวนจริงเป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ
III – ไม่ใช่จำนวนเต็มทุกตัวที่เป็นธรรมชาติ
โดยการวิเคราะห์ข้อความ เราสามารถพูดได้ว่า:
A) มีเพียงฉันเท่านั้นที่เป็นเท็จ
B) มีเพียง II เท่านั้นที่เป็นเท็จ
C) มีเพียง III เท่านั้นที่เป็นเท็จ
D) ทั้งหมดเป็นความจริง
E) ทั้งหมดเป็นเท็จ
ความละเอียด
ทางเลือก ง.
ฉัน – จริง เนื่องจากส่วนสิบเป็นจำนวนอตรรกยะ จึงเป็นจำนวนจริง
II – จริง เนื่องจากเซตของจำนวนจริงเป็นการรวมกันของจำนวนจริงและจำนวนอตรรกยะ
III – จริง เนื่องจากจำนวนลบ เช่น -2 และ -5 เป็นจำนวนเต็ม แต่ไม่เป็นธรรมชาติ
คำถามที่ 2 - ตรวจสอบคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
I - สมบัติการสับเปลี่ยน
II - ทรัพย์สินการกระจาย
III - ทรัพย์สินเชื่อมโยง
วิเคราะห์การดำเนินการต่อไปนี้และทำเครื่องหมายด้วยจำนวนคุณสมบัติที่เกี่ยวข้อง:
1 - ( ) 3 (2 + 5) = 6 + 15
2 - ( ) 5 · 4 = 4 · 5
3 - ( ) (2 + 4) + 1 = 2 + (4 + 1)
4 - ( ) 1 + 5 = 5 + 1
ทางเลือกใดสอดคล้องกับลำดับคุณสมบัติที่ถูกต้อง:
ก) II - I - III - I
ข) I - III - III - II
ค) III - II - III - III
ง) II - I - III - II
จ) II - III - II - I
ความละเอียด
ทางเลือก ก.
1 - (II) ในกรณีนี้ ทรัพย์สินแบบกระจายเกิดขึ้น เนื่องจากสังเกตว่า 3 ถูกคูณด้วยปัจจัยแต่ละประการของการดำเนินการ
2 - (I) ในกรณีนี้ ลำดับของปัจจัยไม่เปลี่ยนผลคูณ การสลับเปลี่ยนของการคูณ
3 - (III) เรามีคุณสมบัติเชื่อมโยง เนื่องจากลำดับที่องค์ประกอบเหล่านี้ถูกเพิ่มเข้าไปจะไม่เปลี่ยนผลรวม
4 - (I) ที่นี่อีกครั้งเรามีการสับเปลี่ยนเนื่องจากลำดับของพัสดุไม่เปลี่ยนผลรวม
