เราก่อตั้ง a อาชีพ เมื่อเราเชื่อมโยงปริมาณตั้งแต่หนึ่งปริมาณขึ้นไป ส่วนหนึ่งของปรากฏการณ์ทางธรรมชาติสามารถศึกษาได้ด้วยการพัฒนาในสาขาวิชาคณิตศาสตร์นี้ การศึกษาฟังก์ชันแบ่งออกเป็น 2 ส่วน คือ ส่วนทั่วไป ซึ่งเราศึกษาฟังก์ชัน แนวความคิดทั่วไป, และส่วนเฉพาะที่เราศึกษา กรณีพิเศษเช่น ฟังก์ชันพหุนามและฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ดูด้วย: จะสร้างกราฟฟังก์ชันได้อย่างไร?
ฟังก์ชั่นคืออะไร?
ฟังก์ชันคือแอปพลิเคชันที่ เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบของสอง ชุด ไม่ว่าง. พิจารณาชุดที่ไม่ว่างสองชุด A และ B โดยที่ฟังก์ชัน ฉ เกี่ยวข้อง แต่ละ องค์ประกอบจาก A ถึง หนึ่งเดียว องค์ประกอบของบี
เพื่อให้เข้าใจคำจำกัดความนี้มากขึ้น ลองนึกภาพการนั่งแท็กซี่ สำหรับการเดินทางแต่ละครั้ง นั่นคือ ระยะทางในแต่ละระยะทางมีราคาที่แตกต่างกันและไม่ซ้ำกัน นั่นคือ มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่การเดินทางจะมีสองราคาที่แตกต่างกัน
เราสามารถแสดงฟังก์ชันนี้ที่นำองค์ประกอบจากชุด A ไปยังชุด B ด้วยวิธีต่อไปนี้
โปรดทราบว่าสำหรับแต่ละองค์ประกอบของเซต A จะมี a องค์ประกอบที่เกี่ยวข้องเดียว กับเขาในชุดบี ตอนนี้เราสามารถคิดได้ว่าเมื่อความสัมพันธ์ระหว่างสองชุดจะไม่เป็นฟังก์ชัน? เมื่อองค์ประกอบของเซต A เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบที่แตกต่างกันสององค์ประกอบของ B หรือเมื่อมีองค์ประกอบของเซต A ที่ไม่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบของ B ดู:
โดยทั่วไป เราสามารถเขียนฟังก์ชันพีชคณิตได้ดังนี้
ฉ: A → B
x → y
โปรดทราบว่าฟังก์ชันนำองค์ประกอบจากเซต A (แทนด้วย x) และนำองค์ประกอบเหล่านั้นไปยังองค์ประกอบของ B (แสดงโดย y) เราสามารถพูดได้ว่าองค์ประกอบของเซต B ถูกกำหนดในรูปขององค์ประกอบของเซต A ดังนั้นเราจึงสามารถแทน y โดย:
y = ฉ(x)
มันอ่านว่า: (y เท่ากับ f ของ x)
โดเมน โดเมนร่วม และภาพของบทบาท
เมื่อเรามีบทบาท ฉชุดที่เกี่ยวข้องจะได้รับชื่อพิเศษ พิจารณาฟังก์ชั่น ฉ ซึ่งนำองค์ประกอบจากชุด A ไปยังองค์ประกอบจากชุด B:
ฉ: A → B
เซต A ที่ความสัมพันธ์จากไปเรียกว่า โดเมน ของฟังก์ชัน และเซตที่ได้รับ "ลูกศร" ของความสัมพันธ์นี้เรียกว่า โดเมนที่ขัดแย้งกัน เราแสดงถึงชุดเหล่านี้ดังนี้:
ดีฉ = A → โดเมนของ ฉ
ซีดีฉ = B → โดเมนที่ขัดแย้งกันของ ฉ
เซตย่อยของโดเมนตรงกันข้ามของฟังก์ชันที่เกิดจากองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบของเซตเรียกว่า ภาพ ของฟังก์ชันและแสดงโดย:
ฉันฉ → ภาพของ ฉ
- ตัวอย่าง
พิจารณาฟังก์ชัน f: A → B ที่แสดงในแผนภาพด้านล่างและกำหนดโดเมน โดเมนที่ขัดแย้งกัน และรูปภาพ
ดังที่กล่าวไว้ เซต A = {1, 2, 3, 4} เป็นโดเมนของฟังก์ชัน ฉในขณะที่เซต B = {0, 2, 3, –1} เป็นโดเมนที่ขัดแย้งกันของฟังก์ชันเดียวกัน. ตอนนี้ สังเกตว่าชุดที่เกิดจากองค์ประกอบที่ได้รับลูกศร (สีส้ม) ที่เกิดขึ้นจากองค์ประกอบ {0, 2, –1} เป็นเซตย่อยของโดเมนตรงข้าม B ชุดนี้เป็นภาพของฟังก์ชัน ฉ ดังนั้น:
ดีฉ = A = {1, 2, 3, 4}
ซีดีฉ = B = {0, 2, 3, -1}
ฉันฉ = {0, 2, –1}
เราว่า 0 เป็นภาพองค์ประกอบ 1 ของโดเมนตลอดจน 2 มันเป็นภาพขององค์ประกอบ 2 และ 3 ของโดเมน และ –1 เป็นภาพองค์ประกอบ 4 ของโดเมน หากต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับแนวคิดทั้งสามนี้ โปรดอ่าน: ดีโดเมน โดเมนร่วม และรูปภาพ.
ฟังก์ชั่น Surjective
ฟังก์ชั่น ฉ: A → B จะเป็น surjective หรือ surjective ก็ต่อเมื่อชุดรูปภาพสอดคล้องกับสิ่งที่ตรงกันข้าม นั่นคือ ถ้าองค์ประกอบทั้งหมดของความขัดแย้งเป็นภาพ.
เราพูดไปแล้วว่าฟังก์ชันนั้นเป็นสมมุติฐานเมื่อองค์ประกอบทั้งหมดของโดเมนที่อยู่ตรงข้ามได้รับลูกศร หากคุณต้องการเจาะลึกถึงฟังก์ชันประเภทนี้ โปรดไปที่ข้อความของเรา: ฟังก์ชั่นโอเวอร์เจ็ท.
ฟังก์ชั่นการฉีด In
ฟังก์ชั่น ฉ: A → B จะเป็น injective หรือ injective ก็ต่อเมื่อองค์ประกอบที่แตกต่างกันของโดเมนมีภาพที่แตกต่างกันใน counterdomain นั่นคือ ภาพเหมือนถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบที่เหมือนกันของโดเมน.
โปรดทราบว่าเงื่อนไขคือองค์ประกอบที่แตกต่างกันของโดเมนเกี่ยวข้องกับองค์ประกอบที่แตกต่างกันของโดเมนที่ขัดแย้งกัน โดยจะไม่มีปัญหากับองค์ประกอบที่เหลืออยู่ในโดเมนที่ขัดแย้งกัน เพื่อให้เข้าใจแนวคิดนี้มากขึ้น คุณสามารถอ่านข้อความ: ฟังก์ชั่นหัวฉีด.
ฟังก์ชัน Bijector
ฟังก์ชั่น ฉ: A → B จะเป็น bijective ก็ต่อเมื่อเป็น หัวฉีดและ surjector พร้อมกันนั่นคือ องค์ประกอบที่แตกต่างกันของโดเมนมีรูปภาพที่แตกต่างกัน และรูปภาพนั้นสอดคล้องกับโดเมนที่ขัดแย้งกัน
- ตัวอย่าง
ในแต่ละกรณี ให้พิสูจน์ว่าฟังก์ชัน f (x) = x2 มันคือหัวฉีด เซอร์เจกเตอร์ หรือไบเจ็คเตอร์
ก) ฉ: ℝ+ → ℝ
โปรดทราบว่าโดเมนของฟังก์ชันเป็นจำนวนจริงบวกทั้งหมด และโดเมนตรงข้ามเป็นจำนวนจริงทั้งหมด เรารู้ว่าฟังก์ชัน f ถูกกำหนดโดย f (x) = x2ตอนนี้ลองนึกภาพจำนวนจริงบวกทั้งหมดเป็น positive สูง ยกกำลังสอง รูปภาพทั้งหมดจะเป็นค่าบวกด้วย ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าฟังก์ชันนี้กำลังฉีดและไม่ใช่การคาดเดา เนื่องจากจำนวนจริงติดลบจะไม่ได้รับลูกศร
มันถูกฉีดเข้าไปเนื่องจากแต่ละองค์ประกอบของโดเมน (ℝ+) เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบเดียวของโดเมนที่ขัดแย้งกัน (ℝ)
ข) ฉ: ℝ → ℝ+
ฟังก์ชัน ในกรณีนี้ มีโดเมนเป็นจำนวนจริงทั้งหมด และโดเมนโต้แย้งเป็นจำนวนจริงบวก เรารู้ว่าจำนวนจริงใดๆ กำลังสองเป็นบวก ดังนั้นองค์ประกอบทั้งหมดของโดเมนตรงข้ามจึงได้รับลูกศร ดังนั้นฟังก์ชันนี้จึงเป็นสมมุติฐาน จะไม่มีการฉีดเนื่องจากองค์ประกอบของโดเมนเกี่ยวข้องกับองค์ประกอบที่ขัดแย้งกันสององค์ประกอบ ตัวอย่างเช่น:
ฉ(–2) = (–2)2 = 4
ฉ(2) = (2)2 = 4
ค) ฉ:ℝ+ → ℝ+
ในตัวอย่างนี้ ฟังก์ชันมีโดเมนและโดเมนตรงข้ามเป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้นฟังก์ชันคือ ไบเจ็คเตอร์, เพราะจำนวนจริงบวกแต่ละจำนวนสัมพันธ์กับค่าเดียว เบอร์จริง ค่าบวกของโดเมนตรงข้าม ในกรณีนี้คือกำลังสองของตัวเลข นอกจากนี้ หมายเลขโดเมนที่โต้แย้งทั้งหมดยังได้รับลูกศร
ฟังก์ชั่นคอมโพสิต composite
THE ฟังก์ชั่นคอมโพสิต composite มีความเกี่ยวข้องกับ แนวคิดทางลัด พิจารณาชุดที่ไม่ว่างสามชุด A, B และ C พิจารณาสองฟังก์ชัน f และ g โดยที่ฟังก์ชัน f รับองค์ประกอบ x จากชุด A ไปยังองค์ประกอบ y = f (x) จากชุด B และฟังก์ชัน g รับองค์ประกอบ y = f (x) ไปยังองค์ประกอบ z จากชุด C
ฟังก์ชันคอมโพสิตได้รับชื่อนี้เนื่องจากเป็นแอปพลิเคชันที่นำองค์ประกอบจากชุด A ไปยังองค์ประกอบจากชุด C โดยตรง โดยไม่ต้องผ่านชุด B ผ่านองค์ประกอบของฟังก์ชัน f และ g ดู:
ฟังก์ชั่นที่แสดงโดย (f o g) นำองค์ประกอบจากชุด A ไปยังชุด C โดยตรง เรียกว่าฟังก์ชันคอมโพสิต
- ตัวอย่าง
พิจารณาฟังก์ชัน f(x) = x2 และฟังก์ชัน ก. (x) = x + 1 ค้นหาฟังก์ชันคอมโพสิต (f o g)(x) และ (g o f)(x)
ฟังก์ชัน f o g ถูกกำหนดโดยฟังก์ชัน g ที่ใช้กับ f นั่นคือ:
(f o g)(x) = f (g(x))
เพื่อกำหนดฟังก์ชันผสมนี้ เราต้องพิจารณาฟังก์ชัน ฉและแทนที่ตัวแปร x เราต้องเขียนฟังก์ชัน g. ดู:
x2
(x+1)2
(f o g)(x) = f (g(x)) = x2 + 2x + 1
ในทำนองเดียวกัน เพื่อกำหนดฟังก์ชันคอมโพสิต (g o f)(x) เราต้องใช้ฟังก์ชัน ฉ ในบทบาท gนั่นคือพิจารณาฟังก์ชัน g และเขียนฟังก์ชัน f แทนตัวแปร ดู:
(x + 1)
x2 + 1
ดังนั้น ฟังก์ชันประกอบ (g o f)(x) = g (f (x)) = x2 + 1.
ฟังก์ชั่นสม่ำเสมอ
พิจารณาฟังก์ชั่น ฉ: A → ℝ โดยที่ A เป็นสับเซตของจำนวนจริงที่ไม่ว่างเปล่า ฟังก์ชัน f จะเป็นเลขคู่สำหรับ x จริงทั้งหมดเท่านั้น
ตัวอย่าง
พิจารณาฟังก์ชั่น ฉ: ℝ → ℝ ให้โดย f (x) = x2.
โปรดทราบว่าสำหรับค่า x จริงใดๆ หากยกกำลังสอง ผลลัพธ์จะเป็นบวกเสมอ นั่นคือ:
ฉ(x) = x2
และ
ฉ(–x) = (–x)2 = x2
ดังนั้น f(x) = f(–x) สำหรับค่า x จริงใดๆ ดังนั้นฟังก์ชัน ฉ มันเป็นคู่
อ่านด้วย:คุณสมบัติของพลังงานs - มันคืออะไรและอย่างไร ที่ ใช้อากาศ?
ฟังก์ชั่นที่เป็นเอกลักษณ์
พิจารณาฟังก์ชั่น ฉ: A → ℝ โดยที่ A เป็นสับเซตของจำนวนจริงที่ไม่ว่างเปล่า ฟังก์ชัน f จะเป็นเลขคี่สำหรับ x จริงทั้งหมดเท่านั้น
- ตัวอย่าง
พิจารณาฟังก์ชั่น ฉ: ℝ → ℝ ให้โดย f (x) = x3.
เห็นว่าสำหรับค่า x ใด ๆ เราสามารถเขียนได้ว่า (–x)3 = -x3. ดูตัวอย่างบางส่วน:
(–2)3 = –23 = –8
(–3)3 = –33 = –27
ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ว่า:
ฉ(–x) = (–x)3 = –x3
ฉ(–x) = (–x)3 = –เอฟ(x)
ดังนั้นสำหรับจำนวนจริง x f(–x) = –f (x) และฟังก์ชัน f (x) = x3 เป็นเอกลักษณ์
ฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น
ฟังก์ชั่น ฉ é กำลังเติบโต ในช่วงเวลาหนึ่งก็ต่อเมื่อองค์ประกอบโดเมนเติบโต รูปภาพของพวกมันก็เติบโตเช่นกัน ดู:
สังเกตว่า x1 > x2 และสิ่งเดียวกันก็เกิดขึ้นกับรูปภาพ เราจึงสร้างเงื่อนไขเกี่ยวกับพีชคณิตสำหรับฟังก์ชันได้ ฉ เป็น กำลังเติบโต.
ฟังก์ชันจากมากไปหาน้อย
ฟังก์ชั่น ฉ é ลดลง ในช่วงเวลาหนึ่งก็ต่อเมื่อองค์ประกอบโดเมนเติบโตขึ้น ภาพของพวกมันก็ลดลง ดู:
เห็นว่าในโดเมนฟังก์ชัน เรามี x1 > x2อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ไม่เกิดขึ้นในอิมเมจฟังก์ชัน โดยที่ f (x1) < f(x2). เราจึงสร้างเงื่อนไขเกี่ยวกับพีชคณิตเพื่อลดฟังก์ชันได้ ดู:
ฟังก์ชันคงที่
อย่างที่ชื่อบอก ฟังก์ชันคือ ค่าคงที่ เมื่อค่าใด ๆ โดเมน ค่าของภาพจะเท่ากันเสมอ
ฟังก์ชั่นที่เกี่ยวข้อง
THE ฟังก์ชัน affine หรือพหุนามของดีกรีที่หนึ่ง ถูกเขียนในรูปแบบ:
f (x) = ขวาน + b
โดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริง a ไม่ใช่ศูนย์ และกราฟของคุณเป็นเส้นตรง ฟังก์ชันนี้มีโดเมนจริงและโดเมนที่ขัดแย้งกันจริง
ฟังก์ชันกำลังสอง
THE ฟังก์ชันกำลังสอง หรือฟังก์ชันพหุนามของดีกรีที่สองกำหนดโดย พหุนาม ของชั้นสอง, ดังนั้น:
f(x) = ขวาน2 + bx + c
โดยที่ a, b และ c เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ และกราฟของคุณคือ a คำอุปมา. บทบาทยังมีโดเมนจริงและโดเมนเคาน์เตอร์
ฟังก์ชั่นโมดูลาร์
THE ฟังก์ชั่นโมดูลาร์ กับ ตัวแปร x พบ-ถ้า ภายในโมดูล และพีชคณิตแสดงโดย:
f(x) = |x|
ฟังก์ชันยังมีโดเมนจริงและโดเมนตัวนับ นั่นคือ เราสามารถคำนวณค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงใดๆ ได้
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
THE ฟังก์ชันเลขชี้กำลังแสดงตัวแปร x ในเลขชี้กำลัง. นอกจากนี้ยังมีโดเมนจริงและโดเมนที่ขัดแย้งกันจริง และอธิบายเป็นพีชคณิตโดย:
f(x) = ax
โดยที่ a เป็นจำนวนจริงที่มากกว่าศูนย์
ฟังก์ชันลอการิทึม
THE ฟังก์ชันลอการิทึม มี ตัวแปรในลอการิทึม และโดเมนที่เกิดจากจำนวนจริงที่มากกว่าศูนย์
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ที่ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ มี ตัวแปร x ที่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนตรีโกณมิติ, รายการหลักคือ:
f(x) = บาป(x)
f(x) = cos(x)
ฉ(x) = tg(x)
ฟังก์ชั่นรูท
ฟังก์ชันรูทมีลักษณะเฉพาะโดยมี ตัวแปรภายในรูทด้วยวิธีนี้ หากดัชนีของรูทเป็นเลขคู่ โดเมนของฟังก์ชันจะกลายเป็นเฉพาะจำนวนจริงบวกเท่านั้น
โดย Robson Luiz
ครูคณิต
