ฟังก์ชันพหุนาม: มันคืออะไร, ตัวอย่าง, กราฟ

เรียกว่าฟังก์ชัน ฟังก์ชันพหุนามเมื่อกฎการก่อตัวของมันคือ a พหุนาม. ฟังก์ชันพหุนามแบ่งตามระดับของพหุนาม ตัวอย่างเช่น ถ้าพหุนามที่อธิบายกฎการก่อตัวของฟังก์ชันมีดีกรี 2 เราก็บอกว่านี่คือฟังก์ชันพหุนามของดีกรีที่สอง

ในการคำนวณค่าตัวเลขของฟังก์ชันพหุนาม เพียงแค่, แทนที่ตัวแปรด้วยค่าที่ต้องการ, เปลี่ยนพหุนามให้เป็นนิพจน์ตัวเลข ในการศึกษาฟังก์ชันพหุนาม การแสดงภาพแบบกราฟิกเกิดขึ้นซ้ำๆ ฟังก์ชันพหุนามดีกรีที่ 1 มีกราฟเท่ากับเส้นตรงเสมอ ฟังก์ชันดีกรีที่ 2 มีกราฟเท่ากับพาราโบลา

อ่านด้วย: อะไรคือความแตกต่างระหว่างสมการและฟังก์ชัน?

ฟังก์ชันพหุนามคืออะไร?

กราฟของฟังก์ชัน

ฟังก์ชั่น ฉ: R → R เรียกว่าฟังก์ชันพหุนามเมื่อกฎการก่อตัวเป็นพหุนาม:

f(x) = a_ไม่x^ไม่ + ที่_n-1x^n-1 + ที่_น-2x^น-2 + … + ที่₂x² + ที่₁x + เป็₀

เกี่ยวกับอะไร:

x → เป็นตัวแปร

n → คือ a ตัวเลขธรรมชาติ.

_ไม่, แ_n-1, แ_น-2, …₂,ดิ₁ และ₀ → เป็นค่าสัมประสิทธิ์

ค่าสัมประสิทธิ์คือ ตัวเลขจริง ที่มาพร้อมกับตัวแปรพหุนาม

ตัวอย่าง:

• ฉ(x) = x⁵ + 3x⁴ – 3x³ + x² - x + 1

• ฉ(x) = -2x³ + x – 7

• ฉ(x) = x⁹

อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)

จะกำหนดประเภทฟังก์ชันพหุนามได้อย่างไร?

ฟังก์ชันพหุนามมีหลายประเภท เธอคือ จำแนกตามระดับของพหุนาม เมื่อดีกรีเป็น 1 ฟังก์ชันจะเรียกว่าฟังก์ชันพหุนามของดีกรี 1 หรือฟังก์ชันพหุนามของดีกรีที่ 1 หรือฟังก์ชัน affine ด้วย ดูตัวอย่างฟังก์ชันจากระดับ 1 ถึงระดับ 6 ด้านล่าง

ดูด้วย: ฟังก์ชั่นหัวฉีดคืออะไร?

ดีกรีของฟังก์ชันพหุนาม

อะไรกำหนดดีกรีของฟังก์ชันพหุนามคือดีกรีของพหุนาม ดังนั้น เราสามารถมีฟังก์ชันพหุนามระดับใดก็ได้.

• ฟังก์ชันพหุนามดีกรี 1

สำหรับฟังก์ชันพหุนามที่เป็นดีกรี 1 หรือพหุนามดีกรีที่ 1 กฎแห่งการก่อตัวของฟังก์ชัน ต้องเป็น ฉ(x) = ขวาน + bโดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริงและ a ≠ 0 THE ฟังก์ชันพหุนามดีกรี 1 เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชัน affine

ตัวอย่าง:

• ฉ(x) = 2x – 3

• ฉ(x) = -x + 4

• ฉ(x) = -3x

• ฟังก์ชันพหุนามดีกรี 2

สำหรับฟังก์ชันพหุนามที่เป็นพหุนามดีกรีที่ 2 หรือพหุนามดีกรีที่ 2 ให้ กฎการสร้างฟังก์ชัน formation ต้องเป็นฉ(x) = ax² + bx + cโดยที่ a, b และ c เป็นจำนวนจริงและ a ≠ 0 หนึ่ง ฟังก์ชันพหุนามดีกรีที่ 2 เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันกำลังสอง

ตัวอย่าง:

• ฉ(x) = 2x² - 3x + 1

• ฉ(x) = – x² + 2x

• ฉ(x) = 3x² + 4

• ฉ(x) = x²

• ฟังก์ชันพหุนามเกรด 3

สำหรับฟังก์ชันพหุนามที่เป็นดีกรีที่ 3 หรือพหุนามดีกรีที่ 3 ให้ กฎการสร้างฟังก์ชัน formation ต้องเป็นฉ(x) = ax³ + bx² + cx + dโดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริงและ a ≠ 0 ฟังก์ชันของดีกรี 3 เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันลูกบาศก์ก็ได้

ตัวอย่าง:

• ฉ(x) = 2x³ - 3x² + 2x + 1

• ฉ(x) = -5x³ + 4x² + 2x

• ฉ(x) = 3x³ + 8x – 4

• ฉ(x) = -7x³

• ฟังก์ชันพหุนามเกรด 4

ทั้งสำหรับฟังก์ชันพหุนามของดีกรี 4 และสำหรับฟังก์ชันอื่นๆ การให้เหตุผลก็เหมือนกัน

ตัวอย่าง:

• ฉ(x) = 2x⁴ + x³ - 5x² + 2x + 1

• ฉ(x) = x⁴ + 2x³ - x

• ฉ(x) = x⁴

• ฟังก์ชันพหุนามเกรด 5

ตัวอย่าง:

• ฉ(x) = x⁵ – 2x⁴ + x³ – 3x² + x + 9

• ฉ(x) = 3x⁵ + x³ – 4

• ฉ(x) = -x⁵

• ฟังก์ชันพหุนามของดีกรี 6

ตัวอย่าง:

• ฉ(x) = 2x⁶ – 7x⁵ + x⁴ – 5x³ + x² + 2x – 1

• ฉ(x) = -x⁶ + 3x⁵ + 2x³ + 4x + 8

• ฉ(x) = 3x⁶ + 2x² + 5x

• ฉ(x) = x⁶

ค่าตัวเลขของฟังก์ชัน

รู้กฎการสร้างบทบาท ฉ(x) เพื่อคำนวณค่าตัวเลขของ อาชีพ เพื่อความคุ้มค่า ไม่ เพียงแค่คำนวณมูลค่าของ ฉ(ไม่). ดังนั้น, เราแทนที่ตัวแปรในกฎการก่อตัว.

ตัวอย่าง:

ได้รับหน้าที่ ฉ(x) = x³ + 3x² – 5x + 4 เราพบค่าตัวเลขของฟังก์ชันสำหรับ x = 2

เพื่อหาค่าของ ฉ(x) เมื่อ x = 2 เราจะทำ ฉ(2).

ฉ(2) = 2³ + 3 · 2² – 5 · 2 + 4
ฉ(2) = 8 + 3 · 4 – 5 · 2 + 4
ฉ(2) = 8 + 12 – 10 + 4
ฉ(2) = 20 – 10 + 4
ฉ(2) = 10 + 4
ฉ(2) = 14

เราสามารถพูดได้ว่าภาพของฟังก์ชันหรือค่าตัวเลขของฟังก์ชัน เมื่อ x = 2 เท่ากับ 14

ดูด้วย: ฟังก์ชันผกผัน - ประกอบด้วยผกผันของฟังก์ชัน f (x)

กราฟฟังก์ชันพหุนาม

เพื่อเป็นตัวแทนใน เครื่องบินคาร์ทีเซียน ฟังก์ชัน เราแทน บนแกน x ค่าของ x และภาพของ ฉ(x) โดยจุดบนระนาบ จุดบนระนาบคาร์ทีเซียนเป็นประเภท (ไม่, ฉ(ไม่)).

ตัวอย่างที่ 1:

• ฉ(x) = 2x - 1

กราฟของฟังก์ชันดีกรีที่ 1 จะเป็น a. เสมอ ตรง.

ตัวอย่างที่ 2:

• ฉ(x) = x² - 2x - 1

กราฟฟังก์ชันดีกรีที่ 2 จะเป็น a. เสมอ คำอุปมา.

ตัวอย่างที่ 3:

• ฉ(x) = x³ - x

กราฟของฟังก์ชันดีกรีที่ 3 เรียกว่า ลูกบาศก์

ความเท่าเทียมกันของพหุนาม

เพื่อให้พหุนามสองตัวเท่ากัน จำเป็นที่เมื่อทำ การเปรียบเทียบ ในระหว่าง คุณ ของคุณ เงื่อนไข ค่าสัมประสิทธิ์จะเท่ากัน

ตัวอย่าง:

จากพหุนามต่อไปนี้ p(x) และ g(x) และรู้ว่า p(x) = g(x) หาค่าของ a, b, c และ d

p (x) = 2x³ + 5x² + 3x – 4
g (x) = ax³ + (a + b) x² + (c – 2) x + d

เนื่องจากพหุนามเหมือนกัน เราจึงมี:

ax³ = 2x³
(a + b) x² = 5x²
(c – 2)x = 3x
d = -4

โปรดทราบว่าเรามีค่าของ d แล้ว เนื่องจาก d = -4 ทีนี้ การคำนวณค่าสัมประสิทธิ์แต่ละตัว เราต้อง:

ax³ = 2x³
a = 2

เมื่อทราบค่าของ a แล้ว ให้หาค่าของ b กัน:

(a + b) x² = 5x²
a + b = 5

a = 2

2 + ข = 5
b = 5 - 2
ข = 3

การหาค่าของ c:

(c – 2)x = 3x
ค – 2 = 3
ค = 3 + 2
ค = 5

ดูด้วย: สมการพหุนาม - สมการที่มีพหุนามเท่ากับ 0

ปฏิบัติการพหุนาม

จากพหุนามสองพหุนาม เป็นไปได้ที่จะดำเนินการของ บวก ลบ และการคูณระหว่างเทอมพีชคณิตเหล่านี้

• ส่วนที่เพิ่มเข้าไป

การบวกพหุนามสองตัวคำนวณโดย ผลรวมของ คุณrมือที่คล้ายกัน. เพื่อให้คำศัพท์สองคำมีความคล้ายคลึงกัน ส่วนตามตัวอักษร (ตัวอักษรที่มีเลขชี้กำลัง) จะต้องเหมือนกัน

ตัวอย่าง:

ให้ p (x) = 3x² + 4x + 5 และ q (x) = 4x² – 3x + 2 คำนวณค่าของ p (x) + q (x)

3x² + 4x + 5 + 4x² - 3x + 2

เน้นคำที่คล้ายกัน:

3x² + 4x + 5 + 4x² – 3x + 2

ทีนี้มาบวกค่าสัมประสิทธิ์ของคำที่คล้ายกันกัน:

(3 + 4)x² + (4 - 3)x + 7
7x² + x + 7

• การลบพหุนาม

การลบจะคล้ายกับการบวกมาก อย่างไรก็ตาม ก่อนดำเนินการ เราเขียนพหุนามตรงข้าม.

ตัวอย่าง:

ข้อมูล: p (x) = 2x² + 4x + 3 และ q (x) = 5x² – 2x + 1 คำนวณ p (x) – q (x)

พหุนามตรงข้ามของ q (x) คือ -q (x) ซึ่งไม่มีอะไรมากไปกว่าพหุนาม q (x) ที่ตรงข้ามกันของแต่ละเทอม

q (x) = 5x² - 2x + 1

-q (x) = -5x² + 2x – 1

ดังนั้นเราจะคำนวณ:

2x² + 4x + 3 - 5x² + 2x - 1

ทำให้คำที่คล้ายกันง่ายขึ้น เรามี:

(2 - 5)x² + (4 + 2)x + (3 - 1)
-3x² + 6x + 2

• การคูณพหุนาม

การคูณพหุนามต้องใช้ การประยุกต์ใช้ทรัพย์สินการกระจาย disนั่นคือ เราคูณแต่ละเทอมของพหุนามแรกด้วยเทอมที่สองแต่ละเทอม

ตัวอย่าง:

(x + 1) · (x² + 2x – 2)

การใช้คุณสมบัติการกระจายเราต้อง:

x · x² + x · 2x + x · (-2) + 1 · x² + 1 · 2x + 1 · (-2)

x³ + 2x² + -2x – 2 + x² + 2x + -2

x³ + 3x² - 4

• การหารพหุนาม

ในการคำนวณ การหารระหว่างพหุนามสองพหุนามเราใช้วิธีการเดียวกับที่ใช้ในการคำนวณการหารของตัวเลขสองตัวคือวิธีคีย์

ตัวอย่าง:

คำนวณ p (x): q (x) โดยรู้ว่า p (x) = 15x² + 11x + 2 และ q (x) = 3x + 1

อ่านด้วย: Briot-Ruffini Handy Device – อีกวิธีหนึ่งในการคำนวณการหารพหุนาม

แก้ไขแบบฝึกหัด

คำถามที่ 1 - ต้นทุนการผลิตรายวันของอุตสาหกรรมชิ้นส่วนยานยนต์ในการผลิตชิ้นส่วนตามปริมาณที่กำหนดโดยกฎหมายการก่อตัว ฉ(x) = 25x + 100 โดยที่ x คือจำนวนชิ้นที่ผลิตในวันนั้น โดยรู้ว่าวันหนึ่งมีการผลิต 80 ชิ้น ต้นทุนการผลิตของชิ้นเหล่านี้คือ:

ก) BRL 300

ข) BRL 2100

ค) BRL 2000

ง) BRL 1800

จ) BRL 1250

ความละเอียด

ทางเลือก B

ฉ(80) = 25 · 80 + 100
ฉ(80) = 2000 + 100
ฉ(80) = 2100

คำถามที่ 2 - ระดับของฟังก์ชัน h(x) = ฉ(x) · g(x) รู้ว่า ฉ (x) = 2x² + 5x และ g(x) = 4x - 5 คือ:

ถึง 1

ข) 2

ค) 3

ง) 4

จ) 5

ความละเอียด

ทางเลือก C

อันดับแรก เราจะหาพหุนามที่เป็นผลจากการคูณระหว่าง ฉ(X และ g(x):

ฉ(x) · g(x) = (2x² + 5x) · (4x – 5)
ฉ(x) · g(x) = 8x³ – 10x² + 20x – 25x

โปรดทราบว่านี่คือพหุนามที่มีดีกรี 3 ดังนั้นดีกรีของฟังก์ชัน h(x) คือ 3

โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิตศาสตร์