พิจารณา สมการพหุนาม ด้านล่างโดยที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมด ดิไม่เป็นจำนวนเต็ม:
ดิไม่xไม่ + ที่n-1xn-1 + ที่น-2xน-2 + … + ที่2x2 + ที่1x + เป็0 = 0
โอ ทฤษฎีบทรากเหตุผล รับรองได้ว่าถ้าสมการนี้ยอมรับจำนวนตรรกยะ พี/อะไร เป็นราก (กับ พี
, อะไร 
และ mdc (p, q) = 1) แล้ว ดิ0 หารด้วย พี และ ดิไม่ หารด้วย อะไร.
ความคิดเห็น:
1º) ทฤษฎีบทรากที่มีเหตุมีผลไม่ได้รับประกันว่าสมการพหุนามมีราก แต่ถ้ามีจริง ทฤษฎีบทจะช่วยให้เราสามารถระบุได้ รากทั้งหมด ของสมการ
2º) ถ้า ดิไม่= 1 และสัมประสิทธิ์อื่นๆ เป็นจำนวนเต็ม สมการมีรากจำนวนเต็มเท่านั้น
3°) ถ้า q = 1 และมีรากเหง้าที่เป็นเหตุเป็นผล เหล่านี้ล้วนเป็นทั้งตัวหารของ ดิ0.
การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทรากเหตุผล:
ลองใช้ทฤษฎีบทเพื่อหารากของสมการพหุนามกัน 2x4 + 5x3 – 11x2 – 20x + 12 = 0.
อันดับแรก ให้ระบุรากที่มีเหตุผลที่เป็นไปได้ของสมการนี้ นั่นคือ รากของรูปแบบ พี/อะไร. ตามทฤษฎีบทนั้น ดิ0 หารด้วย พี; ด้วยวิธีนี้ วิธี ดิ0 = 12แล้วค่าที่เป็นไปได้ของ พี คือ {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12} ในทำนองเดียวกันเราต้อง ดิไม่ หารด้วย อะไร และ ดิไม่ = 2, แล้ว อะไร สามารถมีค่าต่อไปนี้: {±1, ±2} ดังนั้นการหารค่าของ
พี ต่อ อะไร, เราได้รับค่าที่เป็นไปได้ พี/อะไร รากของสมการ: {+½, – ½, +1, – 1, +3/2, –3/2, +2, –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.เพื่อยืนยันว่าค่าที่เราพบนั้นเป็นรากของสมการพหุนามจริงๆ ให้แทนค่าแต่ละค่าแทน x ของสมการ ผ่าน แคลคูลัสเชิงพีชคณิต, ถ้าผลพหุนามเป็น ศูนย์, จำนวนที่แทนที่จึงเป็นรากของสมการ
2x4 + 5x3 – 11x2 – 20x + 12 = 0
สำหรับ x = + ½
2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0
สำหรับ x = – ½
2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4
อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)
สำหรับ x = + 1
2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12
สำหรับ x = – 1
2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18
สำหรับ x = + 3/2
2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4
สำหรับ x = - 3/2
2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2
สำหรับ x = + 2
2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0
สำหรับ x = – 2
2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0
สำหรับ x = + 3
2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150
สำหรับ x = – 3
2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0
สำหรับ x = + 4
2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588
สำหรับ x = – 4
2.(– 4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108
สำหรับ x = + 6
2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168
สำหรับ x = – 6
2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248
สำหรับ x = + 12
2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300
สำหรับ x = – 12
2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500
ดังนั้นรากของสมการพหุนาม 2x4 + 5x3 – 11x2 – 20x + 12 = 0 พวกเขาเป็น {– 3, – 2, ½, 2}. ผ่าน ทฤษฎีบทการสลายตัวของพหุนามเราสามารถเขียนสมการนี้ได้เป็น (x + 3).(x + 2).(x – ½).(x – 2)= 0.
โดย Amanda Gonçalves
จบคณิต
คุณต้องการอ้างอิงข้อความนี้ในโรงเรียนหรืองานวิชาการหรือไม่ ดู:
ริเบโร, อแมนด้า กอนซัลเวส. "ทฤษฎีบทรากที่มีเหตุผล"; โรงเรียนบราซิล. มีจำหน่ายใน: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-das-raizes-racionais.htm. เข้าถึงเมื่อ 28 มิถุนายน 2021.
