การแสดงทางเรขาคณิตของผลรวมของจำนวนเชิงซ้อน

ชุดของ ตัวเลขเชิงซ้อน เกิดขึ้นจากตัวเลข z ทั้งหมดที่สามารถเขียนในรูปแบบต่อไปนี้:

z = a + bi

ในแบบฟอร์มนี้ i = √(– 1) ในตัวเลขเหล่านี้ a เรียกว่า ส่วนจริง และขเรียกว่า is ส่วนจินตภาพ. เพื่อเป็นตัวแทนของ ตัวเลขคอมเพล็กซ์ ในทางเรขาคณิต เราจะใช้ เวกเตอร์ ในแผน

การแสดงทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

คุณ ตัวเลขคอมเพล็กซ์ สามารถแสดงทางเรขาคณิตใน a แบน สร้างขึ้นในทำนองเดียวกันกับ เครื่องบินคาร์ทีเซียน: แกนตั้งฉากสองแกนซึ่งในทางกลับกันคือ เส้นจำนวน. นอกจากนี้ ทั้งสองบรรทัดนี้จะพบที่จุดกำเนิด

ความแตกต่างระหว่างแผนนี้กับ แบนคาร์ทีเซียน มันเป็นเพียงการตีความ: แกน x ของระนาบนี้เรียกว่า แกนจริงและแกน y เรียกว่า แกนจินตภาพ. ดังนั้น เพื่อแทนจำนวนเชิงซ้อนในระนาบนี้ เรียกว่า แผนของ Argand-Gaussเราต้องแปลงตัวเลขนี้เป็นคู่ลำดับ โดยที่พิกัด x คือ ส่วนหนึ่งจริง ของจำนวนเชิงซ้อนและพิกัด y เป็นของคุณ ส่วนหนึ่งจินตภาพ.

หลังจากนั้น เวกเตอร์ที่แทน a จำนวนซับซ้อน อยู่เสมอ ส่วนตรง ที่เริ่มต้นที่จุดกำเนิดของแผน Argand-Gauss และสิ้นสุดที่จุด (a, b) โดยที่ a คือ a ส่วนหนึ่งจริง ของจำนวนเชิงซ้อนและ b เป็นส่วนจินตภาพ

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความแตกต่างที่ใหญ่ที่สุดระหว่างแผนเหล่านี้ก็คือใน

แบนคาร์ทีเซียนเราทำคะแนนและในแผนของ Argand-Gauss, เราใช้ส่วนจริงและจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนในการทำเครื่องหมายเวกเตอร์

ภาพต่อไปนี้แสดงให้เห็น การเป็นตัวแทนเรขาคณิต ของ จำนวนซับซ้อน z = 2 + 3i

การแสดงทางเรขาคณิตของการบวกจำนวนเชิงซ้อน

จากเชิงซ้อน z = a + bi และ u = c + di เรามีการบวกพีชคณิตต่อไปนี้:

อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)

a + u = a + bi + c + di

a + u = a + c + (b + d) i

โปรดทราบว่าจากมุมมอง เรขาคณิต, สิ่งที่ทำเมื่อเพิ่ม ตัวเลขคอมเพล็กซ์ คือผลรวมของพิกัดบนแกนเดียวกัน

ในทางเรขาคณิต ผลรวมระหว่าง คอมเพล็กซ์ z = a + bi และ u = c + di สามารถทำได้ดังนี้:

1 – วาดเวกเตอร์ z และ u ในระนาบของ Argand-Gauss;

2 – ดาวน์โหลดสำเนาของ เวกเตอร์ u สำหรับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ z กล่าวอีกนัยหนึ่ง วาดเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับเวกเตอร์ u และขนานกับมันจากจุด (a, b)

3 – ดาวน์โหลดสำเนาของz เวกเตอร์ z สำหรับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ u;

4 – โปรดทราบว่าเวกเตอร์ u, u’, z และ z’ อยู่ในรูปแบบa สี่เหลี่ยมด้านขนานและสร้างเวกเตอร์ v ที่เริ่มต้นจากจุดกำเนิดและสิ้นสุดที่จุดบรรจบระหว่างเวกเตอร์ u’ และ z’

5 - v = z + u

สังเกตโครงสร้างนี้ในภาพด้านล่าง:

โอ เวกเตอร์ v เป็นเพียงเส้นทแยงมุมของสิ่งนี้ สี่เหลี่ยมด้านขนาน เกิดขึ้นจากเวกเตอร์ u, u’, z และ z’

ตัวอย่าง

พิจารณาเวกเตอร์ a = 1 + 7i และเวกเตอร์ b = 3 – 2i ดูการสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนานจากสองสิ่งนี้ เวกเตอร์:

ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะกำหนดผลลัพธ์ของผลรวมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองนี้โดยสังเกตพิกัดของเวกเตอร์ v = (4, 5) ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อน วี = 4 + 5i

โดย Luiz Paulo Moreira
จบคณิต

คุณต้องการอ้างอิงข้อความนี้ในโรงเรียนหรืองานวิชาการหรือไม่ ดู:

ซิลวา, ลุยซ์ เปาโล โมเรร่า. "การแสดงทางเรขาคณิตของผลรวมของจำนวนเชิงซ้อน"; โรงเรียนบราซิล. มีจำหน่ายใน: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/representacao-geometrica-soma-numeros-complexos.htm. เข้าถึงเมื่อ 28 มิถุนายน 2021.