หนึ่ง ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (PA) คือ ลำดับ ตัวเลขโดยที่แต่ละเทอมเป็นผลรวมของค่าคงที่ก่อนหน้าหนึ่งค่าคงที่ เรียกว่าอัตราส่วน พวกมันมีอยู่จริง นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ เพื่อกำหนดเงื่อนไขของ PA และคำนวณผลรวมของ of ไม่ เงื่อนไขแรก
สูตรที่ใช้ในการคำนวณ ผลรวมของเทอม ของ PA จำกัด หรือผลรวมของ ไม่ เงื่อนไขแรกของ PA มีดังนี้:
สไม่ = ที่1 + ที่ไม่)
2
*n คือจำนวนเงื่อนไข BP1 เป็นเทอมแรกและไม่ เป็นคนสุดท้าย
ที่มาของผลรวมของเงื่อนไขของ PA
ว่ากันว่านักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Carl Friederich Gauss เมื่ออายุได้ประมาณ 10 ปี ถูกลงโทษในชั้นเรียนของเขาที่โรงเรียน ครูบอกให้นักเรียนบวกตัวเลขทั้งหมดที่ปรากฏใน ลำดับ จาก 1 ถึง 100
เกาส์ไม่เพียงแต่เป็นคนแรกที่จบการแข่งขันในระยะเวลาอันสั้น เขายังเป็นเพียงคนเดียวที่ได้ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง (5050) นอกจากนี้ยังไม่แสดงการคำนวณใดๆ สิ่งที่เขาทำคือการซ่อมแซมทรัพย์สินดังต่อไปนี้:
ผลรวมของสองเทอมที่เท่ากันจากสุดขั้วของ PA จำกัด เท่ากับผลรวมของสุดขั้ว
ไม่มีความรู้เกี่ยวกับ ปาน ในเวลานั้น แต่เกาส์ดูรายการตัวเลขและตระหนักว่าการเพิ่มตัวแรกเข้ากับตัวสุดท้ายจะทำให้ได้ 101; บวกที่สองเข้ารอบสุดท้าย ผลลัพธ์ก็จะเป็น 101 เช่นกัน เป็นผลรวมของเงื่อนไขทุกคู่
เท่ากัน จากความสุดโต่งมาถึง 101 เกาส์ต้องคูณจำนวนนั้นด้วยครึ่งหนึ่งของเงื่อนไขที่มีอยู่เพื่อค้นหาผลลัพธ์ 5050โปรดทราบว่าจากหมายเลข 1 ถึงหมายเลข 100 มีตัวเลข 100 ตัวพอดี เกาส์ตระหนักว่าถ้าเขาบวกมันเข้าไปสองต่อสอง เขาจะได้ 50 ผลลัพธ์เท่ากับ 101 ดังนั้น การคูณนี้ทำได้ครึ่งหนึ่งของเทอมทั้งหมด
การสาธิตผลรวมเงื่อนไขของ PA
ความสำเร็จนี้ทำให้เกิดนิพจน์ที่ใช้ในการคำนวณ ผลรวมของ ไม่ เงื่อนไขแรกของ PA. กลวิธีที่ใช้มาถึงสำนวนนี้มีดังนี้:
ได้รับหนึ่ง ปาน เราจะเพิ่ม n เทอมแรกของมัน ทางคณิตศาสตร์เราจะได้:
สไม่ = the1 + ที่2 + ที่3 + … + ที่น – 2 + ที่น - 1 + ที่ไม่
ข้างล่างนี้ ผลรวมของเงื่อนไข เราจะเขียนอีกคำหนึ่งโดยใช้เงื่อนไขเดียวกับคำก่อนหน้า แต่ในแง่ที่ลดลง โปรดทราบว่าผลรวมของเทอมแรกเท่ากับผลรวมของเทอมในส่วนที่สอง ดังนั้นทั้งสองจึงเท่ากับ Sไม่.
อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)
สไม่ = the1 + ที่2 + ที่3 + … + ที่น – 2 + ที่น - 1 + ที่ไม่
สไม่ = theไม่ + ที่น - 1 + ที่น – 2 + … + ที่3 + ที่2 + ที่1
โปรดทราบว่าสองนิพจน์นี้ได้มาจากซิงเกิ้ล ปาน และระยะเท่ากันนั้นอยู่ในแนวดิ่ง ดังนั้นเราจึงสามารถเพิ่มนิพจน์เพื่อรับ:
สไม่ = the1 + ที่2 + ที่3 + … + ที่น – 2 + ที่น - 1 + ที่ไม่
+ สไม่ = theไม่ + ที่น - 1 + ที่น – 2 + … + ที่3 + ที่2 + ที่1
2Sไม่ = (ที่1 + ที่ไม่) + (a2 + ที่น - 1) + … + (aน - 1 + ที่2) + (aไม่ + ที่1)
จำไว้ว่าผลรวมของเทอมที่เท่ากันจากสุดขั้วนั้นเท่ากับผลรวมของสุดขั้ว ดังนั้น วงเล็บแต่ละวงเล็บสามารถแทนที่ด้วยผลรวมของขั้วสุดขั้ว ดังที่เราจะทำต่อไป:
2Sไม่ = (ที่1 + ที่ไม่) + (a1 + ที่ไม่) +... + (ที่1 + ที่ไม่) + (a1 + ที่ไม่)
แนวคิดของเกาส์คือการเพิ่มระยะเท่ากันของลำดับ ดังนั้นเขาจึงได้ครึ่งเทอมจาก ปาน ในผลลัพธ์ 101 เราทำเพื่อให้แต่ละเทอมของ BP เริ่มต้นถูกเพิ่มเข้าไปในค่าที่เท่ากันโดยคงไว้ จำนวนเงื่อนไข. ดังนั้น เนื่องจาก PA มีเงื่อนไข n เราจึงสามารถเปลี่ยนผลรวมในนิพจน์ด้านบนได้โดยการคูณและแก้สมการ สมการ การค้นหา:
2Sไม่ = (ที่1 + ที่ไม่) + (a1 + ที่ไม่) +... + (ที่1 + ที่ไม่) + (a1 + ที่ไม่)
2Sไม่ = น (a1 + ที่ไม่)
สไม่ = ที่1 + ที่ไม่)
2
นี่คือสูตรที่ใช้เติม. อย่างแม่นยำ ไม่ เงื่อนไขแรกของ PA
ตัวอย่าง
ให้ P.A (1, 2, 3, 4) กำหนดผลรวมของ 100 เงื่อนไขแรก
สารละลาย:
เราจะต้องหาคำว่า a100. สำหรับสิ่งนี้เราจะใช้ use สูตรคำทั่วไป ของ PA:
ไม่ = the1 + (n – 1)r
100 = 1 + (100 – 1)1
100 = 1 + 99
100 = 100
ตอนนี้สูตรสำหรับผลรวมของ n เทอมแรก:
สไม่ = ที่1 + ที่ไม่)
2
ส100 = 100(1 + 100)
2
ส100 = 100(101)
2
ส100 = 10100
2
ส100 = 5050
โดย Luiz Paulo Moreira
จบคณิต
คุณต้องการอ้างอิงข้อความนี้ในโรงเรียนหรืองานวิชาการหรือไม่ ดู:
ซิลวา, ลุยซ์ เปาโล โมเรร่า. "ผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์"; โรงเรียนบราซิล. มีจำหน่ายใน: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm. เข้าถึงเมื่อ 28 มิถุนายน 2021.
