ทฤษฎีบทของดาล็องแบร์

ทฤษฎีบทของดาล็องแบร์เป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทที่เหลือโดยทันที ซึ่งเกี่ยวข้องกับการแบ่งพหุนามด้วยทวินามของประเภท x – a ทฤษฎีบทที่เหลือบอกว่าพหุนาม G(x) หารด้วยทวินาม x – a จะมีเศษ R เท่ากับ P(a) สำหรับ
x = ก. นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส D'Alembert ได้พิสูจน์โดยคำนึงถึงทฤษฎีบทที่อ้างถึงข้างต้นว่าพหุนาม Q(x) ใดๆ จะหารด้วย x – a นั่นคือ ส่วนที่เหลือของการหารจะเท่ากับศูนย์ (R = 0) ถ้า P(a) = 0.
ทฤษฎีบทนี้ทำให้ง่ายต่อการคำนวณการหารของพหุนามด้วยทวินาม (x –a) ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องแก้การหารทั้งหมดเพื่อดูว่าเศษที่เหลือเท่ากับหรือแตกต่างจากศูนย์หรือไม่
ตัวอย่าง 1
คำนวณส่วนที่เหลือของการหาร (x² + 3x – 10): (x – 3).
ดังที่ทฤษฎีบทของดาล็องแบร์กล่าวว่า เศษที่เหลือ (R) ของการหารนี้จะเท่ากับ:
P(3) = R
3² + 3 * 3 – 10 = R
9 + 9 - 10 = R
18 - 10 = R
R = 8
ดังนั้นส่วนที่เหลือของดิวิชั่นนี้จะเป็น 8
ตัวอย่าง 2
ตรวจสอบว่า x⁵ – 2x⁴ + x³ + x – 2 หารด้วย x – 1 ลงตัว
จากข้อมูลของ D'Alembert พหุนามหารด้วยทวินามลงตัวถ้า P(a) = 0
ป(1) = (1)⁵ – 2*(1)⁴ + (1)³ + (1) – 2
P(1) = 1 - 2 + 1 + 1 - 2
P(1) = 3 - 4
P(1) = – 1
เนื่องจาก P(1) ไม่ใช่ศูนย์ พหุนามจึงไม่หารด้วยทวินาม x – 1 ลงตัว

ตัวอย่างที่ 3
คำนวณค่าของ m เพื่อให้เศษที่เหลือของการหารพหุนาม
P(x) = x⁴ – mx³ + 5x² + x – 3 คูณ x – 2 คือ 6
เรามี R = P(x) → R = P(2) → P(2) = 6
P(2) = 2⁴ – ม.*2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ – ม.*2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16 – 8 เมตร + 20 + 2 – 3 = 6
– 8 เมตร = 6 – 38 + 3
– 8 เมตร = 9 – 38
– 8m = – 29
ม. = 29/8
ตัวอย่างที่ 4
คำนวณส่วนที่เหลือของการหารของพหุนาม 3x³ + x² – 6x + 7 คูณ 2x + 1
R = P(x) → R = P(– 1/2)
R = 3*(–1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3*(–1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

โดย มาร์ค โนอาห์
จบคณิต
ทีมโรงเรียนบราซิล

พหุนาม - คณิตศาสตร์ - โรงเรียนบราซิล

ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm