การคูณเมทริกซ์: วิธีการคำนวณ, ตัวอย่าง

THE มการคูณเมทริกซ์ ทำได้โดยใช้อัลกอริธึมที่ต้องให้ความสนใจเป็นอย่างมาก เพื่อให้ผลคูณระหว่างเมทริกซ์ A และเมทริกซ์ B มีอยู่ มีความจำเป็นที่จำนวน คอลัมน์ ให้ ก่อน สำนักงานใหญ่, เผื่อ A เท่ากับจำนวน เส้น ให้ วันจันทร์ สำนักงานใหญ่, ในกรณี ข.

จากการคูณระหว่างเมทริกซ์ เป็นไปได้ที่จะเข้าใจว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์คืออะไร ซึ่งก็คือ องค์ประกอบที่เป็นกลางของการคูณเมทริกซ์ และเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ M คือเมทริกซ์ M^-1 ซึ่งมีผลิตภัณฑ์ของ M by M^-1 เท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์ นอกจากนี้ยังสามารถคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริงได้ ในกรณีนี้ เราคูณแต่ละเทอมของ สำนักงานใหญ่ ตามจำนวน

อ่านด้วย: เมทริกซ์สามเหลี่ยมคืออะไร?

สภาพความเป็นอยู่

การคูณระหว่างเมทริกซ์เป็นกระบวนการที่ต้องการความสนใจอย่างมาก

ในการคูณเมทริกซ์สองตัว ก่อนอื่นจำเป็นต้องตรวจสอบเงื่อนไขการมีอยู่ เพื่อให้สินค้ามีอยู่ จำนวนคอลัมน์ในเมทริกซ์แรกต้องเท่ากับจำนวนแถวในเมทริกซ์ที่สอง นอกจากนี้ ผลลัพธ์ของการคูณคือเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวเท่ากันกับเมทริกซ์แรกและจำนวนคอลัมน์เท่ากันกับเมทริกซ์ที่สอง

ตัวอย่างเช่น ผลคูณ AB ระหว่างเมทริกซ์ A_3x2 และ B_2x5 มีอยู่เพราะจำนวนคอลัมน์ใน A (2 คอลัมน์) เท่ากับจำนวนแถวใน B (2 แถว) และผลลัพธ์คือเมทริกซ์ AB

_3x5. แล้วผลิตภัณฑ์ระหว่าง C เมทริกซ์_3x5 และเมทริกซ์ D_2x5 ไม่มีอยู่ เนื่องจาก C มี 5 คอลัมน์ และ D มี 3 แถว

อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)

จะคำนวณผลคูณระหว่างเมทริกซ์สองตัวได้อย่างไร?

ในการคูณเมทริกซ์ มีความจำเป็นต้องทำตามขั้นตอนบางอย่าง เราจะยกตัวอย่างการคูณเมทริกซ์พีชคณิต A_2x3 โดยเมทริกซ์ B_3x2

เรารู้ว่ามีสินค้าอยู่เนื่องจากเมทริกซ์ A มี 3 คอลัมน์ และเมทริกซ์ B มี 3 แถว เราจะเรียก C ว่าผลลัพธ์ของการคูณ A·B นอกจากนี้ เรายังรู้ด้วยว่าผลลัพธ์คือเมทริกซ์ C_2x2เนื่องจากเมทริกซ์ A มี 2 แถว และเมทริกซ์ B มี 2 คอลัมน์

คำนวณผลคูณของเมทริกซ์ A_2x3 และเมทริกซ์ B_3x2, มาทำตามขั้นตอนกัน

อันดับแรก เราจะหาเงื่อนไขของเมทริกซ์ C. กันก่อน_2x2:

เพื่อหาเงื่อนไข มา เชื่อมโยงแถวของเมทริกซ์ A กับคอลัมน์ของเมทริกซ์ B เสมอ:

ค₁₁ → สายที่ 1 ของ A และ คอลัมน์ที่ 1 ของ B
ค₁₂ → สายที่ 1 ของ A และ คอลัมน์ที่ 2 ของ B
ค₂₁ → สายที่ 2 ของ A และ คอลัมน์ที่ 1 ของ B
ค₂₂ → สายที่ 2 ของ A และ คอลัมน์ที่ 2 ของ B

เราคำนวณแต่ละเทอมโดยการคูณเทอมในแถวของ A และเทอมในคอลัมน์ของ B ตอนนี้เราต้องเพิ่มผลิตภัณฑ์เหล่านี้โดยเริ่มจาก ค_11:

สายที่ 1 ของ A
คอลัมน์ที่ 1 ของ B

ค₁₁ = ดิ₁₁·B₁₁ + ดิ₁₂·B₂₁+ ดิ₁₃·B₃₁

การคำนวณ ค₁₂:

สายที่ 1 ของ A
คอลัมน์ที่ 2 ของ B

ค₁₂ = ดิ₁₁·B₁₂ + ดิ₁₂·B₂₂+ดิ₁₃·B₃₂

การคำนวณ ค₂₁:

สายที่ 2 ของ A
คอลัมน์ที่ 1 ของ B

ค₂₁ = ดิ₂₁·B₁₁ + ดิ₂₂·B₂₁+ดิ₂₃·B₃₁

การคำนวณคำ ค₂₂:

สายที่ 2 ของ A
คอลัมน์ที่ 2 ของ B

ค₂₂ = ดิ₂₁·B₁₂ + ดิ₂₂·B₂₂+ดิ₂₃·B₃₂

ดังนั้นเมทริกซ์ C จึงถูกสร้างขึ้นโดยเงื่อนไข:

ตัวอย่าง:

ลองคำนวณการคูณระหว่างเมทริกซ์ A และ B

เรารู้ว่าใน A_2x2 และ B_2x3จำนวนคอลัมน์ในคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนแถวในคอลัมน์ที่สอง ดังนั้นจึงมีผลิตภัณฑ์อยู่ ดังนั้นเราจะทำ C = A·B และเรารู้ว่า C_2x3.

การคูณเราต้อง:

ดูด้วย: เมทริกซ์ทรานสโพสคืออะไร?

เมทริกซ์เอกลักษณ์

ในการคูณระหว่างเมทริกซ์ มีบางกรณีพิเศษ เช่น เมทริกซ์เอกลักษณ์ ซึ่งเป็นองค์ประกอบเป็นกลางของการคูณระหว่างเมทริกซ์. เมทริกซ์เอกลักษณ์คือเมทริกซ์สี่เหลี่ยม นั่นคือ จำนวนแถวจะเท่ากับจำนวนคอลัมน์เสมอ นอกจากนี้ เฉพาะเทอมของเส้นทแยงมุมเท่านั้นที่เท่ากับ 1 ในนั้น และเทอมอื่นๆ ทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ เมื่อเราคูณเมทริกซ์ M ด้วยเมทริกซ์เอกลักษณ์ I_ไม่, เราต้อง:

ม · ฉัน_ไม่ = เอ็ม

เมทริกซ์เอกลักษณ์จากคำสั่ง 2 ถึงคำสั่ง 5

ตัวอย่าง:

เมทริกซ์ผกผันคืออะไร?

จากเมทริกซ์ M เรารู้ว่ามันเป็นเมทริกซ์ผกผันของ M เมทริกซ์ M^-1ที่มีผลิตภัณฑ์ M · M^-1 เท่ากับ à เมทริกซ์เอกลักษณ์ I_ไม่. เพื่อให้เมทริกซ์มีค่าผกผัน จะต้องเป็นกำลังสอง และ ดีเทอร์มิแนนต์ ต้องแตกต่างจาก 0 มาดูตัวอย่างเมทริกซ์ที่ผกผันกัน:

การคำนวณผลิตภัณฑ์ A·B เราต้อง:

โปรดทราบว่า ผลิตภัณฑ์ระหว่าง A และ B สร้างเมทริกซ์ I₂. เมื่อสิ่งนี้เกิดขึ้น เราบอกว่า B เป็นเมทริกซ์ผกผันของ A หากต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับเมทริกซ์ประเภทนี้ โปรดอ่าน: เมทริกซ์ผกผัน.

การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริง

ต่างจากการคูณระหว่างเมทริกซ์ การคูณเมทริกซ์ด้วยหนึ่ง เบอร์จริงซึ่งเป็นการดำเนินการที่ง่ายกว่ามากในการค้นหาวิธีแก้ปัญหา

รับเมทริกซ์ M คูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริง k เท่ากับเมทริกซ์ kม. เพื่อหาเมทริกซ์นี้ kม.พอ คูณพจน์ทั้งหมดในเมทริกซ์ด้วยค่าคงที่ k.

ตัวอย่าง:

ถ้า k = 5 และพิจารณาเมทริกซ์ M ด้านล่าง ค้นหาเมทริกซ์ 5M

คูณ:

แก้ไขแบบฝึกหัด

คำถามที่ 1 - (Unitau) ให้เมทริกซ์ A และ B

ค่าขององค์ประกอบ c₁₁ ของเมทริกซ์ C = AB คือ:

ก) 10.

ข) 28.

ค) 38.

ง) 18.

จ) 8.

ความละเอียด

ทางเลือก ก.

เราต้องการคำว่า c. อย่างไร₁₁, ลองคูณเทอมในแถวแรกและ A กับเทอมในคอลัมน์แรกของ B

การคำนวณ c₁₁ = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10

คำถามที่ 2 - (ศัตรู 2012) นักเรียนคนหนึ่งลงทะเบียนคะแนนรายสองเดือนของวิชาบางวิชาลงในตาราง เขาตั้งข้อสังเกตว่ารายการตัวเลขในตารางสร้างเมทริกซ์ขนาด 4×4 และเขาสามารถคำนวณค่าเฉลี่ยรายปีสำหรับสาขาวิชาเหล่านี้ได้โดยใช้ผลคูณของเมทริกซ์ การทดสอบทั้งหมดมีน้ำหนักเท่ากัน และตารางที่เขาได้แสดงไว้ด้านล่าง

เพื่อให้ได้ค่าเฉลี่ยเหล่านี้ เขาคูณเมทริกซ์ที่ได้จากตารางด้วยเมทริกซ์:

ความละเอียด

ทางเลือก E

ค่าเฉลี่ยไม่มีอะไรมากไปกว่าผลรวมขององค์ประกอบหารด้วยจำนวนองค์ประกอบ โปรดทราบว่ามี 4 โน้ตต่อบรรทัด ดังนั้นค่าเฉลี่ยจะเป็นผลรวมของโน้ตเหล่านั้นหารด้วย 4 การหารด้วย 4 เท่ากับการคูณด้วย เศษส่วน ¼. นอกจากนี้ เมทริกซ์ของเกรดก็คือเมทริกซ์ขนาด 4x4 ดังนั้นเราต้องคูณด้วยเมทริกซ์ขนาด 4x1 นั่นคือ มี 4 แถวและ 1 คอลัมน์ เพื่อหาเมทริกซ์ที่มีค่าเฉลี่ยของเกรด

โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิตศาสตร์