Faktoring je proces používaný v matematike, ktorý spočíva v predstavovaní čísla alebo výrazu ako súčin faktorov.
Napísaním polynómu, ako je napríklad násobenie iných polynómov, môžeme výraz často zjednodušiť.
Nižšie nájdete typy polynomiálnej faktorizácie:
Spoločný dôkazný činiteľ
Tento typ faktorizácie používame, keď existuje faktor, ktorý sa opakuje vo všetkých pojmoch polynómu.
Tento faktor, ktorý môže obsahovať čísla a písmená, bude umiestnený pred zátvorkou.
V zátvorkách bude výsledok rozdelenia každého člena polynómu spoločným faktorom.
V praxi urobíme nasledujúce kroky:
1º) Zistite, či existuje číslo, ktoré rozdeľuje všetky koeficienty polynómu a písmená, ktoré sa opakujú vo všetkých výrazoch.
2º) Pred zátvorky (na dôkaz) vložte spoločné faktory (počet a písmená).
3.) V zátvorkách vložte výsledok vydelenia každého faktora polynómu faktorom, ktorý je v evidencii. V prípade písmen používame pravidlo deľby moci tej istej základne.
Príklady
a) Aká je faktorizovaná forma polynómu 12x + 6y - 9z?
Najskôr identifikujeme toto číslo
3 rozdeľuje všetky koeficienty a že neexistuje písmeno, ktoré by sa opakovalo.Číslo 3 dáme pred zátvorky, všetky výrazy vydelíme tromi a výsledok vložíme do zátvorky:
12x + 6r - 9z = 3 (4x + 2r - 3z)
b) Faktor 2a2b + 3a3c - a4.
Pretože neexistuje číslo, ktoré by delilo 2, 3 a 1 súčasne, nebudeme uvádzať žiadne číslo pred zátvorkou.
List The sa opakuje vo všetkých termínoch. Spoločným faktorom bude The2, čo je najmenší exponent čísla The vo vyjadrení.
Každý člen polynomu vydelíme The2:
22 b:2 = 2. miesto2 - 2 b = 2b
33c: the2 = 3. miesto3 - 2 c = 3ac
The4: a2 =2
Dali sme The2 pred zátvorkou a výsledky rozdelenia v zátvorkách:
22b + 3a3c - a4 =2 (2b + 3ac - a2)
zoskupenie
V polynóme, ktorý neexistuje faktor, ktorý sa opakuje vo všetkých pojmoch, môžeme použiť faktorizáciu zoskupením.
Na tento účel musíme identifikovať pojmy, ktoré možno zoskupiť podľa bežných faktorov.
Pri tomto type faktorizácie sme preukázali spoločné faktory zoskupení.
Príklad
Faktor polynomial mx + 3nx + my + 3ny
Podmienky mx a 3nx má ako spoločný faktor X. už podmienky môj a 3ny majú ako spoločný faktor r.
Dôkazom týchto faktorov:
x (m + 3n) + y (m + 3n)
Upozorňujeme, že (m + 3n) sa teraz tiež opakuje v obidvoch termínoch.
Ak to opäť uvedieme ako dôkaz, nájdeme faktorizovaný tvar polynómu:
mx + 3nx + môj + 3ny = (m + 3n) (x + y)
Perfektný štvorcový trojuholník
Trojčleny sú polynómy s 3 členmi.
Perfektné štvorcové trojčlenky a2 + 2ab + b2 a2 - 2ab + b2 výsledok z pozoruhodného produktu typu (a + b)2 a (a - b)2.
Teda faktorizácia dokonalého štvorcového trojuholníka bude:
The2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (druhá mocnina súčtu dvoch výrazov)
The2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (druhá mocnina rozdielu dvoch výrazov)
Aby sme zistili, či je trinomiál skutočne dokonalým štvorcom, urobíme nasledovné:
1º) Vypočítajte druhú odmocninu výrazov, ktoré sa objavujú na druhú.
2) Vynásobte hodnoty nájdené číslom 2.
3.) Porovnajte zistenú hodnotu s výrazom, ktorý nemá štvorce. Ak sú si rovní, je to dokonalý štvorec.
Príklady
a) Faktor polynóm x2 + 6x + 9
Najskôr musíme vyskúšať, či je polynóm dokonalý štvorec.
√x2 = x a √9 = 3
Vynásobením 2 nájdeme: 2. 3. x = 6x
Pretože nájdená hodnota sa rovná termínu, ktorý nie je na druhú, polynom je perfektný na druhú.
Faktorizácia teda bude:
X2 + 6x + 9 = (x + 3)2
b) Faktor polynóm x2 - 8xy + 9r2
Testovanie, či ide o dokonalú štvorcovú trojčlenku:
√x2 = x a √9y2 = 3r
Násobenie: 2. X. 3y = 6xy
Nájdená hodnota sa nezhoduje s termínom polynómu (8xy ≠ 6xy).
Pretože to nie je dokonalý štvorcový trojuholník, nemôžeme použiť tento typ faktorizácie.
Rozdiel dvoch štvorcov
Na faktorovanie polynómov typu a2 - B2 používame pozoruhodný súčin súčtu a rozdielu.
Faktorizácia polynómov tohto typu bude teda:
The2 - B2 = (a + b). (a - b)
Aby sme to zohľadnili, musíme vypočítať druhú odmocninu týchto dvoch členov.
Potom napíšeme súčin súčtu nájdených hodnôt a rozdielu medzi týmito hodnotami.
Príklad
Faktor 9x dvojčlen2 - 25.
Najskôr nájdite druhú odmocninu výrazov:
√9x2 = 3x a √25 = 5
Napíšte tieto hodnoty ako súčin súčtu a rozdielu:
9x2 - 25 = (3x + 5). (3x - 5)
dokonalá kocka
polynómy a3 + 32b + 3ab2 + b3 a3 - 3. miesto2b + 3ab2 - B3 výsledok z pozoruhodného produktu typu (a + b)3 alebo (a - b)3.
Tvarovaný tvar dokonalej kocky je teda:
The3 + 32b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
The3 - 3. miesto2b + 3ab2 - B3 = (a - b)3
Na vylúčenie takýchto polynómov musíme vypočítať kubický koreň výrazov do kocky.
Potom je potrebné potvrdiť, že polynóm je dokonalá kocka.
Ak je to tak, kockujeme súčet alebo odčítanie hodnôt nájdených kubických koreňov.
Príklady
a) Faktor polynóm x3 + 6x2 + 12x + 8
Najskôr si spočítajme kubický koreň výrazov v kockách:
3√ x3 = x a 3√ 8 = 2
Potom potvrďte, či je to dokonalá kocka:
3. X2. 2 = 6x2
3. X. 22 = 12x
Pretože nájdené výrazy sú rovnaké ako výrazy v polynóme, jedná sa o dokonalú kocku.
Faktorizácia teda bude:
X3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3
b) Faktor polynóm a3 - 9. deň2 + 27. - 27. deň
Najskôr si spočítajme kubický koreň výrazov v kockách:
3do3 = a a 3√ - 27 = - 3
Potom potvrďte, či je to dokonalá kocka:
3. The2. (-3) = - 92
3. The. (- 3)2 = 27
Pretože nájdené výrazy sú rovnaké ako výrazy v polynóme, jedná sa o dokonalú kocku.
Faktorizácia teda bude:
The3 - 9. deň2 + 27a - 27 = (a - 3)3
Čítajte tiež:
- Potencovanie
- Polynómy
- Polynomiálna funkcia
- základné čísla
Vyriešené cvičenia
Zvážte nasledujúce polynómy:
a) 33x + 22y - 55z
b) 6nx - 6ny
c) 4x - 8c + mx - 2mc
d) 49 -2
e) 9. deň2 + 12 + 4
a) 11. (3x + 2r - 5z)
b) 6n. (x - y)
c) (x - 2c). (4 + m)
d) (7 + a). (7 - a)
e) (3. + 2)2
Pozri tiež:
- Algebraické výrazy
- Cvičenia z algebraických výrazov
- Pozoruhodné výrobky
- Pozoruhodné produkty - cvičenia
