THE ústredie bežne sa používa na organizáciu tabuľkových údajov na uľahčenie riešenia problémov. Informácie o matici, či už číselné, alebo nie, sú usporiadané prehľadne v riadkoch a stĺpcoch.
Sada matíc vybavených operáciami dodatok, odčítanie a násobenie a prvky, ako neutrálny a inverzný prvok, tvoria matematickú štruktúru, ktorá umožňuje jeho použitie v rôznych oblastiach tejto veľkej oblasti vedomostí.
Pozri tiež: Vzťah medzi maticovými a lineárnymi systémami
Maticová reprezentácia
Pred začatím štúdií o maticiach je potrebné pripraviť si poznámky týkajúce sa ich znázornenia. O matice sú vždy reprezentované veľkými písmenami. (A, B, C…), ku ktorým sú pripojené indexy, v ktorých prvé číslo označuje počet riadkov a druhé číslo stĺpca.
THE počet riadkov (vodorovné riadky) a stĺpce (zvislé riadky) matice určuje jej objednať. Matica A má poriadok m na n. Zavolajú sa informácie obsiahnuté v poli prvkov a sú usporiadané v zátvorkách, hranatých zátvorkách alebo dvoch zvislých pruhoch, pozrite si príklady:
Matica A má dva riadky a tri stĺpce, takže jej poradie je dva po troch → A2x3.
Matica B má jeden riadok a štyri stĺpce, takže jej poradie je jeden ku štyrom, takže sa volá líniová matica → B1x4.
Matica C má tri riadky a jeden stĺpec, a tak sa volá stĺpcová matica a jeho poradie je tri po druhom → C3x1.
Môžeme všeobecne predstavovať prvky poľa, to znamená, že tento prvok môžeme napísať pomocou matematického znázornenia. Ovšeobecný prvok bude predstavovaný malými písmenami (a, b, c ...), a rovnako ako v znázornení polí má aj index, ktorý označuje jeho polohu. Prvé číslo označuje riadok, v ktorom je prvok, a druhé číslo označuje stĺpec, v ktorom je umiestnený.
Zvážte nasledujúcu maticu A, uvedieme jej prvky.
Pri pozorovaní prvého prvku, ktorý sa nachádza v prvom riadku a prvom stĺpci, to znamená v prvom riadku a prvom stĺpci, máme číslo 4. Pre uľahčenie písania ho označíme:
The11 → riadok jeden prvok, stĺpec jeden
Takže máme nasledujúce prvky matice A2x3:
The11 = 4
The12 =16
The13 = 25
The21 = 81
The22 = 100
The23 = 9
Všeobecne môžeme pole zapísať ako funkciu jeho generických prvkov, to je generická matica.
Maticu m riadkov an stĺpcov predstavuje:
Príklad
Určte maticu A = [aij ]2x2, ktorá má nasledujúci školský zákonij = j2 - 2i. Z údajov vo výpise máme, že matica A je poriadku dva po dvoch, to znamená, že má dva riadky a dva stĺpce, preto:
Okrem toho bol daný zákon o formovaní matice, to znamená, že každý prvok je spokojný so vzťahom kij = j2 - 2i. Nahradením hodnôt i a j vo vzorci máme:
The11 = (1)2 - 2(1) = -1
The12 = (2)2 - 2(1) = 2
The21 = (1)2 - 2(2) = -3
The22 = (2)2 - 2(2) = 0
Preto je matica A:
Typy polí
Niektoré matice si zaslúžia osobitnú pozornosť, pozri teraz tieto typy polí s príkladmi.
štvorcová matica
Matica je štvorcová, keď počet riadkov sa rovná počtu stĺpcov. Maticu, ktorá má n riadkov a n stĺpcov, reprezentujeme pomocou Ač (číta: štvorcová matica rádu n).
V štvorcových maticiach máme dva veľmi dôležité prvky, uhlopriečky: hlavné a vedľajšie. Hlavnú uhlopriečku tvoria prvky, ktoré majú rovnaké indexy, to znamená, že ide o každý prvok aij s i = j. Sekundárna uhlopriečka je tvorená prvkami aij s i + j = n +1, kde n je maticové poradie.
matica identity
Matica identity je štvorcová matica, ktorá má všetkotyprvky hlavnej uhlopriečky rovné 1 a ostatné prvky rovné 0, jeho zákon o formovaní je:
Túto maticu označíme I, kde n je poradie štvorcovej matice, pozri niekoľko príkladov:
jednotková matica
Je to štvorcová matica prvého rádu, to znamená, že má riadok a stĺpec, a teda iba jeden prvok.
A = [-1]1x1, B = ja1 = (1)1x1 a C = || 5 ||1x1
Toto sú príklady jednotkových matíc s dôrazom na maticu B, ktorá je a jednotková matica identity.
nulová matica
O poli sa hovorí, že je nulové, ak sa všetky jeho prvky rovnajú nule. Reprezentujeme nulovú maticu rádu m x n pomocou Omxn.
Matica O je nulová rádu 4.
opačná matica
Uvažujme dve matice rovnakého rádu: A = [aij]mxn a B = [bij]mxn. Tieto matice sa budú nazývať oproti, iba akij = -bij. Teda zodpovedajúce prvky musia byť opačné čísla.
Môžeme reprezentovať maticu B = -A.
transponovaná matica
Dve matice A = [aij]mxn a B = [bij]nxm oni sú transponované ak a len akij = bji , to je dané maticou A, aby ste našli jej transpozíciu, jednoducho vezmite riadky ako stĺpce.
Transpozícia matice A je označená AT. Pozrite si príklad:
Pozrieť viac: Inverzná matica: čo to je a ako sa má overiť
Maticové operácie
Sada matíc má operácie aveľmi dobre definované sčítanie a násobenie, to znamená, že kedykoľvek prevádzkujeme dve alebo viac matíc, výsledok operácie stále patrí do množiny matíc. Čo však s operáciou odčítania? Túto operáciu chápeme ako inverznú hodnotu sčítania (opačnú maticu), ktorá je tiež veľmi dobre definovaná.
Pred definíciou operácií pochopme myšlienky z zodpovedajúci prvok a rovnosť matíc. Zodpovedajúce prvky sú tie, ktoré zaujímajú rovnakú pozíciu v rôznych maticiach, to znamená, že sú umiestnené v rovnakom riadku a stĺpci. Je zrejmé, že polia musia byť v rovnakom poradí, aby mohli zodpovedajúce prvky existovať. Pozri:
Prvky 14 a -14 sú zodpovedajúce prvky opačných matíc A a B, pretože zaujímajú rovnakú pozíciu (rovnaký riadok a stĺpec).
Dve matice sa budú považovať za rovnaké vtedy a len vtedy, ak sú si zodpovedajúce prvky rovnaké. Teda vzhľadom na matice A = [aij]mxn a B = [bij]mxn, budú rovnaké vtedy a len vtedy, akij = bij za hocijaké i j.
Príklad
S vedomím, že matice A a B sú rovnaké, určte hodnoty x a t.
Pretože matice A a B sú rovnaké, potom musia byť zodpovedajúce prvky rovnaké, preto:
x = -1 a t = 1
Sčítanie a odčítanie matíc
Prevádzka spoločnosti sčítanie a odčítanie medzi maticami sú celkom intuitívne, ale najskôr musí byť splnená podmienka. Ak chcete vykonať tieto operácie, je najskôr potrebné overiť, či objednávky polí sú rovnaké.
Po overení tejto podmienky dôjde k sčítaniu a odčítaniu matice sčítaním alebo odčítaním zodpovedajúcich prvkov matíc. Zvážte matice A = [aij]mxn a B = [bij]mxn, potom:
A + B = [aij + bij] mxn
A - B = [aij - Bij] mxn
Príklad
Zvážte matice A a B nižšie, určite A + B a A - B.
Čítajte tiež: Operácie s celým počtom
Násobenie reálneho čísla maticou
Násobenie reálneho čísla v matici (tiež známe ako násobenie matice) skalárom je dané vynásobením každého prvku matice skalárom.
Nech A = [aij]mxn matica at skutočné číslo, takže:
t · A = [tij]mxn
Pozrite si príklad:
Násobenie matíc
Násobenie matíc nie je také malicherné ako ich sčítanie a odčítanie. Pred uskutočnením násobenia musí byť splnená podmienka, ktorá sa týka aj poradia matíc. Zvážte matice Amxn a Bnxr.
Ak chcete vykonať násobenie, stlačte počet stĺpcov v prvej matici sa musí rovnať počtu riadkov v druhej. Produktová matica (ktorá pochádza z násobenia) má poradie dané počtom riadkov v prvom a počtom stĺpcov v druhom.
Ak chcete vykonať násobenie medzi maticami A a B, musíme vynásobiť každý riadok všetkými stĺpcami nasledovne: prvý prvok A sa vynásobí prvým prvkom B a potom sa pridá k druhému prvku A a vynásobí sa druhým prvkom B, a tak postupne. Pozrite si príklad:
Čítajte tiež: Laplaceova veta: vedieť, ako a kedy používať
Cvičenia vyriešené
Otázka 1 - (U. A. Londrina - PR) Nech matice A a B sú 3 x 4 a p x q, a ak má matica A · B poriadok 3 x 5, potom platí, že:
a) p = 5 a q = 5
b) p = 4 a q = 5
c) p = 3 a q = 5
d) p = 3 a q = 4
e) p = 3 a q = 3
Riešenie
Máme vyhlásenie, že:
THE3x4 · Bpxq = C.3x5
Od podmienky vynásobenia dvoch matíc máme, že produkt existuje iba vtedy, ak sa počet stĺpcov v prvom rovná počtu riadkov v druhej, takže p = 4. A tiež vieme, že produktová matica je daná počtom riadkov v prvom s počtom stĺpcov v druhom, teda q = 5.
Preto p = 4 a q = 5.
A: Alternatíva b
Otázka 2 - (Vunesp) Určte hodnoty x, yaz z nasledujúcej rovnosti zahŕňajúcej 2 x 2 reálne matice.
Riešenie
Vykonajme operácie medzi poliami a potom rovnosť medzi nimi.
Na určenie hodnoty x, yaz budeme riešiť lineárnu sústavu. Spočiatku pridajme rovnice (1) a (2).
2x - 4 = 0
2x = 4
x = 2
Dosadením hodnoty x nachádzajúcej sa v rovnici (3) máme:
22 = 2z
2z = 4
z = 2
A nakoniec, dosadením hodnôt x a z nájdených v rovnici (1) alebo (2) máme:
x + y - z = 0
2 + y - 2 = 0
y = 0
Preto je riešenie problému dané rovnicou S = {(2, 0, 2)}.
Robson Luiz
Učiteľ matematiky
