Exponenciálne rovnice: čo sú a ako ich vyriešiť (s príkladmi)

protection click fraud

Rovnica je exponenciálna, keď neznáma (neznáma hodnota) je v mocnine. Takže matematická veta, ktorá zahŕňa rovnosť medzi dvoma pojmami, kde sa neznáma vyskytuje aspoň v jednom exponente, sa nazýva exponenciálna rovnica.

Mocnina je výsledkom súčinu jej samotnej bázy, koľkokrát je určený exponentom.

V exponenciálnej rovnici určujeme, koľko faktorov sa vynásobí, teda koľkokrát sa vynásobí základ, aby sme získali určitý výsledok.

Definícia exponenciálnej rovnice:

začiatočný štýl matematická veľkosť 18px rovný b na mocninu rovného x sa rovná rovnému až koncovému štýlu

Kde:

b je báza;
x je exponent (neznámy);
a je sila.

Na čom rovné b sa nerovná 1 priamej medzere a rovné b väčšie ako 0 to je rovný a nerovná sa 0 .

Príklad exponenciálnej rovnice:

Neznáma premenná je v exponente. Musíme určiť, koľkokrát sa 2 vynásobia, aby výsledkom bolo 8. Ako 2. 2. 2 = 8, x = 3, pretože 2 je potrebné vynásobiť trikrát, aby sme získali 8.

Ako riešiť exponenciálne rovnice

Exponenciálne rovnice sa dajú písať rôznymi spôsobmi a na ich riešenie použijeme rovnaké mocniny s rovnakými základmi, ktoré musia mať aj rovnaké exponenty.

Keďže exponenciálna funkcia je injektívna, máme:

rovné b na mocninu rovného x s 1 dolným koncom exponenciály rovným b na mocninu rovného x s 2 dolným koncom exponenciálny priestor dvojitá šípka doľava a doprava medzera priamo x s 1 dolným indexom sa rovná priamemu x s 2 predplatené

To znamená, že dve mocniny s rovnakým základom sa budú rovnať práve vtedy, ak sú rovnaké aj ich exponenty.

instagram story viewer

Jednou zo stratégií riešenia exponenciálnych rovníc je teda vyrovnať základy mocností. Keď sú základy rovnaké, môžeme ich odstrániť a porovnať exponenty.

Na vyrovnanie základov mocnin v exponenciálnej rovnici používame matematické nástroje ako faktorizácia a potenciačné vlastnosti.

Príklady riešenia exponenciálnych rovníc

Príklad 1
2 na mocninu rovného x rovného 64

Je to exponenciálna rovnica, keďže veta obsahuje rovnosť (rovnicu) a neznáma premenná x je v exponente (exponenciále).

Aby sme určili hodnotu neznámeho x, prirovnáme základy mocniny pomocou faktorizácie 64.

64 = 2. 2. 2. 2. 2. 2 alebo 2 na mocninu 6

Dosadenie do rovnice:

2 na mocninu rovného x sa rovná 2 na mocninu 6

Neberieme do úvahy základy a ponechávame iba rovnosť medzi exponentmi.

x = 6

Teda x = 6 je výsledkom rovnice.

Príklad 2
9 na mocninu rovného x plus 1 koniec exponenciály rovný 81

Základy porovnávame pomocou faktorizácie.

9 = 3. 3 =
81 = 3. 3. 3. 3 =

Dosadenie do rovnice:

otvorené zátvorky 3 štvorce zatvorené zátvorky na mocninu x plus 1 koniec exponenciály rovný 3 na mocninu 4

Pomocou mocniny vlastnosti mocniny vynásobíme exponenty na ľavej strane.

3 na mocninu 2 x plus 2 koniec exponenciály rovný 3 na mocninu 4

Keď sú základy rovnaké, môžeme ich zahodiť a vyrovnať exponenty.

2 rovné x plus 2 sa rovná 4 2 rovné x sa rovná 4 mínus 2 2 rovné x sa rovná 2 rovné x sa rovná 2 nad 2 sa rovná 1

Teda x = 1 je výsledkom rovnice.

Príklad 3

0 čiarka 75 na mocninu rovného x rovného 9 na 16 medzery

Základ 0,75 transformujeme na centezimálny zlomok.

otvorené zátvorky 75 nad 100 tesné zátvorky na mocninu rovného x rovné 9 na 16 medzera

Zjednodušíme centezimálny zlomok.

otvorené zátvorky 3 na 4 tesné zátvorky na mocninu rovného x rovné 9 na 16 medzera

Faktorujeme 9 a 16.

otvorené zátvorky 3 na 4 zatvorte zátvorky na mocninu rovného x rovné 3 na druhú na 4 na druhú

Ak dávame rovnítko medzi základy, máme x = 2.

otvorené zátvorky 3 cez 4 zatvorte zátvorky na druhú mocninu x rovná sa otvorené zátvorky 3 cez 4 zatvorte zátvorky na druhú

x = 2

Príklad 4

Premieňame koreň na silu.

4 na mocninu x rovnú 32 na mocninu 1 tretieho konca exponenciály

Zohľadňujeme mocenské základne.

otvorené zátvorky 2 umocnené okrúhle zátvorky na mocninu x sa rovnajú otvorenej zátvorke 2 na mocninu 5 tesné zátvorky na mocninu 1 tretí koniec exponenciály

Vynásobením exponentov zrovnáme základy.

2 na mocninu 2 x koniec exponenciály sa rovná 2 na mocninu 5 nad 3 koniec exponenciály

Preto musíme:

2 rovné x sa rovná 5 nad 3 rovné x sa rovná čitateľovi 5 nad menovateľom 2.3 koniec zlomku sa rovná 5 nad 6

Príklad 5

Faktoring 25

otvorené zátvorky 5 na druhú mocninu rovného x mínus 6,5 na mocninu rovného x plus 5 sa rovná 0

Mocninu 5² prepíšeme na x. Zmena poradia exponentov.

otvorené zátvorky 5 na mocninu x zatvorte zátvorky na druhú mínus 6,5 na mocninu rovného x plus 5 sa rovná 0

Používame pomocnú premennú, ktorú budeme nazývať y.

5 na mocninu rovného x sa rovná priamemu y (tuto rovnicu si ponechajte, použijeme ju neskôr).

Dosadzovanie do predchádzajúcej rovnice.

rovno y na druhú mínus 6. priamka y plus 5 sa rovná 0 priamka y na druhú mínus 6 priamka y plus 5 sa rovná 0

Pri riešení kvadratickej rovnice máme:

prírastok sa rovná b na druhú mínus 4. The. c prírastok sa rovná ľavá zátvorka mínus 6 pravá zátvorka na druhú mínus 4,1,5 prírastok sa rovná 36 mínus 20 prírastok sa rovná 16

rovné y s 1 dolným indexom sa rovná čitateľ mínus priame b plus druhá odmocnina prírastku nad menovateľom 2. rovno na koniec priameho zlomku y s 1 dolným indexom rovným čitateľ mínus ľavá zátvorka mínus 6 pravá zátvorka plus druhá odmocnina zo 16 nad menovateľom 2.1 koniec priameho zlomku y s 1 dolným indexom rovným čitateľovi 6 plus 4 nad menovateľom 2 koniec zlomku rovným 10 nad 2 rovný 5

rovné y s 2 dolným indexom sa rovná čitateľ mínus rovný b mínus druhá odmocnina prírastku nad menovateľom 2. rovno na koniec zlomku rovno y s 2 dolný index rovný čitateľovi 6 mínus 4 nad menovateľom 2 koniec zlomku rovný 2 nad 2 rovný 1

Sada riešení pre kvadratickú rovnicu je {1, 5}, nie je to však riešenie exponenciálnej rovnice. Musíme sa vrátiť k premennej x pomocou 5 na mocninu rovného x sa rovná priamemu y.