Výpočet oblasti kužeľa: vzorce a cvičenia

THE oblasť kužeľa odkazuje na mieru povrchu tohto priestorového geometrického útvaru. Pamätajte, že kužeľ je geometrický pevný útvar s kruhovou základňou a bodom, ktorý sa nazýva vrchol.

Vzorce: Ako vypočítať?

V kuželi je možné vypočítať tri oblasti:

Základná plocha

THE_B =π.r²

Kde:

THE_B: základná plocha
π (pi): 3,14
r: blesk

Bočná plocha

THE_tam = π.r.g

Kde:

THE_tam: bočná plocha
π (pi): 3,14
r: blesk
g: generátor

Poznámka: A generatrix zodpovedá miere boku kužeľa. Tvorený ľubovoľným segmentom, ktorý má jeden koniec na vrchole a druhý na základni, sa počíta podľa vzorca: g² = h² + r² (bytie H výška kužeľa a r blesk)

Celková plocha

At = π.r (g + r)

Kde:

THE_t: Celková plocha
π (pi): 3,14
r: blesk
g: generátor

Oblasť kužeľového kufra

Takzvaný „kmeň kužeľa“ zodpovedá časti, ktorá obsahuje základňu tohto obrázku. Ak teda rozdelíme kužeľ na dve časti, máme jednu, ktorá obsahuje vrchol, a druhú, ktorá obsahuje základňu.

Posledný menovaný sa nazýva „kmeň kužeľa“. Vo vzťahu k ploche je možné vypočítať:

Malá základná plocha (A_B)

THE_B = π.r²

Hlavná základná plocha (A_B)

THE_B = π.R²

Bočná plocha (A_tam)

THE_tam = π.g. (R + R)

Celková plocha (A_t)

THE_t = A_B + A_B + A_tam

Vyriešené cvičenia

1. Aká je bočná plocha a celková plocha priameho kruhového kužeľa, ktorý má výšku 8 cm a polomer základne 6 cm?

Rozhodnutie

Najprv musíme vypočítať generatrix tohto kužeľa:

g = r² + h²
g = √6² + 8²
g = √36 + 64
g = √ 100
g = 10 cm

Potom môžeme vypočítať bočnú plochu pomocou vzorca:

THE_tam = π.r.g
THE_tam = π.6.10
THE_tam = 60π cm²

Podľa vzorca celkovej plochy máme:

THE_t = π.r (g + r)
Pri = π.6 (10 + 6)
Pri = 6π (16)
O = 96π cm²

Mohli by sme to vyriešiť iným spôsobom, to znamená pridaním oblastí bočnej a spodnej časti:

THE_t = 60π + π.6²
THE_t = 96π cm²

2. Nájdite celkovú plochu kmeňa kužeľa, ktorá je vysoká 4 cm, väčšia základňa má kruh s priemerom 12 cm a menšia základňa má kruh s priemerom 8 cm.

Rozhodnutie

Ak chcete zistiť celkovú plochu tohto kmeňového kužeľa, je potrebné nájsť plochy najväčšej základne, najmenšej a dokonca bočnej strany.

Ďalej je dôležité pamätať na koncept priemeru, ktorý je dvojnásobkom merania polomeru (d = 2r). Podľa vzorcov teda máme:

Malá základná plocha

THE_B = π.r²
THE_B = π.4²
THE_B = 16π cm²

Hlavná základná plocha

THE_B = π.R²
THE_B = π.6²
THE_B = 36π cm²

Bočná plocha

Pred nájdením bočnej oblasti musíme nájsť mieru generatrixu obrázku:

g² = (R - r)² + h²
g² = (6 – 4)² + 4²
g² = 20
g = √20
g = 2√5

Po dokončení nahraďte hodnoty vo vzorci pre bočnú oblasť:

THE_tam = π.g. (R + R)
THE_tam = π. 2√5. (6 + 4)
THE_tam = 20π√5 cm²

Celková plocha

THE_t = A_B + A_B + A_tam
THE_t = 36π + 16π + 20π√5
THE_t = (52 + 20√5) π cm²

Cvičenia na prijímacie skúšky so spätnou väzbou

1. (UECE) Priamy kruhový kužeľ, ktorého meranie výšky je H, je rozdelený rovinou rovnobežnou so základňou na dve časti: kužeľ, ktorého výška je h / 5, a kmeň kužeľa, ako je znázornené na obrázku:

Pomer medzi meraniami objemov väčšieho kužeľa a menšieho kužeľa je:

a) 15
b) 45
c) 90
d) 125

Pozri odpoveď

Alternatíva d: 125

2. (Mackenzie-SP) Flakón s parfumom, ktorý má tvar priameho kruhového kužeľa s polomerom 1 cm a 3 cm, je úplne plný. Jeho obsah sa naleje do nádoby, ktorá má tvar priameho kruhového valca s polomerom 4 cm, ako je znázornené na obrázku.

ak d je výška nenaplnenej časti valcovitej nádoby a za predpokladu π = 3 je hodnota d:

a) 6/10
b) 6/11
c) 6/6
d) 13/6
e) 14/14

Pozri odpoveď

Alternatíva b: 6/11

3. (UFRN) Rovnostranný kužeľovitý tienidlo je na stole, takže keď svieti, premieta na neho kruh svetla (pozri obrázok nižšie).

Ak je výška tienidla vo vzťahu k stolu H = 27 cm, plocha osvetleného kruhu v cm² bude sa rovnať:

a) 225π
b) 243π
c) 250π
d) 270π

Pozri odpoveď

Alternatíva b: 243π

Prečítajte si tiež:

• Kužeľ
• Objem kužeľa
• číslo pí