Cvičte cvičenia na trojuholníkoch s týmto zoznamom, ktorý sme pripravili. Cvičenia sú vysvetlené krok za krokom, aby ste mohli odstrániť svoje pochybnosti a dozvedieť sa všetko o tomto trojstrannom mnohouholníku.
Otázka 1
Analyzujte nasledujúci obrázok tvorený trojuholníkmi a určte mieru úsečky ED rovnobežnej s AB, pričom viete, že:
CD = 15
AD = 1
AB = 8
Pretože DE je rovnobežné s AB, trojuholníky CDE a CAB sú podobné. Môžeme teda zapísať pomery medzi ich zodpovedajúcimi stranami
AC = AD + DC = 1 + 15 = 16.
otázka 2
Na obrázku nižšie určte hodnotu uhla x v stupňoch.
Odpoveď: 110 stupňov
Podľa vety o vonkajšom uhle sa vonkajší uhol k vrcholu rovná súčtu vnútorných uhlov dvoch ostatných.
x = 50 stupňov + 60 stupňov = 110 stupňov
Ďalším spôsobom, ako vyriešiť túto otázku, je pridať tri vnútorné uhly a urobiť ich rovnými 180º. Ak teda zavoláme doplnkový vnútorný uhol k x y, jeho hodnota je
:
50 + 60 + y = 180
110 + y = 180
y = 180 - 110
y = 70°
Ak sa y rovná 70 stupňom, x je to, ako ďaleko je potrebné dosiahnuť 180.
x = 180 stupňov - 70 stupňov = 110 stupňov
otázka 3
Určte dĺžku segmentu x.
Odpoveď: 2,4 m
Obrázok je tvorený dvoma podobnými trojuholníkmi. Obidve majú pravé a rovnaké uhly oproti spoločnému vrcholu medzi nimi. V prípade podobnosti AA (uhol-uhol) potvrdzujeme podobnosť.
Ak vezmeme pomer ich zodpovedajúcich strán, máme:
otázka 4
Na obrázku nižšie je znázornený obdĺžnik so základňou 8 cm a výškou 1 cm vpísaný do trojuholníka. Základňa obdĺžnika je zhodná so základňou trojuholníka. Určte mieru výšky h.
Odpoveď: v = 2 cm
Môžeme určiť dva podobné trojuholníky: jeden so základňou 12 cm a výškou x cm a druhý so základňou 8 cm (základňa obdĺžnika) a výškou h.
Pri proporcii zodpovedajúcich strán máme:
Vidieť, že x sa rovná výške h plus výške obdĺžnika.
x = h + 1
Výmena:
otázka 5
Fernando je tesár a oddeľuje drevené lamely rôznych dĺžok na stavbu trojuholníkových štruktúr.
Z nasledujúcich možností lamelových trojíc je jediná schopná vytvoriť trojuholník
a) 3 cm, 7 cm, 11 cm
b) 6 cm, 4 cm, 12 cm
c) 3 cm, 4 cm, 5 cm
d) 7 cm, 9 cm, 18 cm
e) 2 cm, 6 cm, 9 cm
Podmienka existencie trojuholníka hovorí, že každá jeho strana musí byť menšia ako súčet ostatných dvoch.
Jedinou možnosťou, ktorá spĺňa túto podmienku, je písmeno c.
otázka 6
V nižšie uvedenom trojuholníku sú čiary a segmenty: zelená, červená, modrá a čierna:
odpoveď:
Zelená: osička. Je to čiara, ktorá prerezáva segment v jeho strede pod uhlom 90°.
Červená: stredná. Je to segment, ktorý prebieha od vrcholu do stredu opačnej strany.
Modrá: osička. Rozdeľuje uhol na dva zhodné uhly.
Čierna: výška. Je to segment, ktorý opúšťa vrchol a prechádza na opačnú stranu, pričom vytvára uhol 90°.
otázka 7
(ENCCEJA 2012) Patchworková prikrývka obdĺžnikového tvaru je vyrobená zo štyroch trojuholníkových kusov látky, ako je znázornené na obrázku.
Zvážte, že švy pozdĺž uhlopriečok tejto prikrývky sú dokonale rovné.
Kus A prikrývky, ktorý má tvar trojuholníka, možno klasifikovať podľa vnútorných uhlov a strán ako
a) akútne a rovnostranné.
b) tupé a šupinové.
c) tupé a rovnoramenné.
d) obdĺžnik a rovnoramenný.
Klapka A je tupá, pretože má tupý uhol väčší ako 90°.
Keďže prikrývka je obdĺžnik a rozstupy trojuholníkov sú tvorené dvoma uhlopriečkami, vnútorné strany sú rovnaké, dva krát dva.
Keďže klapka má dve rovnaké strany, je rovnoramenná.
otázka 8
V trojuholníku ABC znázornenom na obrázku nižšie je AD osou vnútorného uhla v A a . Vnútorný uhol v A je rovný
a) 60º
b) 70º
c) 80º
d) 90°
Segment AD je os a rozdeľuje uhol A na dva rovnaké uhly. Keďže trojuholník ADB má dve rovnaké strany, AD a BD, je rovnoramenný a základné uhly sú rovnaké.
Máme teda 60º uhol a tri ďalšie rovnaké.
Volaním x neznámeho uhla dostaneme:
60 + x + x + x = 180
60 + 3x = 180
3x = 180 - 60
3x = 120
x = 120/3
x = 40
Ak x = 40 a uhol v A je tvorený 2x, potom:
A = 2x
A = 2,40 = 80 stupňov
otázka 9
(Enem 2011) Na určenie vzdialenosti od člna k pláži navigátor použil nasledovný postup: z bodu A zmeral zorný uhol zamierením na pevný bod P na pláži. Držiac loď v rovnakom smere, pokračoval do bodu B tak, aby bolo možné vidieť rovnaký bod P z pláže, avšak pod zorným uhlom 2α. Túto situáciu ilustruje obrázok:
Predpokladajme, že navigátor zmeral uhol α = 30º a po dosiahnutí bodu B overil, že loď prešla vzdialenosť AB = 2000 m. Na základe týchto údajov a pri zachovaní rovnakej trajektórie bude najkratšia vzdialenosť od člna k pevnému bodu P
a) 1000 m.
b) 1 000√3 m.
c) 2 000√3/3 m.
d) 2000 m.
e) 2 000√3 m
Rozhodnutie
Údaje
= 30º
= 2000 metrov
Krok 1: Doplnenie 2.
ak uhol je 30 stupňov, 2
= 60º a jeho doplnkové, čo chýba pre 180º, je 120º.
180 - 60 = 120
Krok 2: Určite vnútorné uhly trojuholníka ABP.
Keďže súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180°, uhol musí byť 30º, pretože:
30 + 120 + P = 180
P = 180 - 120 - 30
P = 30
Trojuholník ABP je teda rovnoramenný a strany AB a BP majú rovnakú dĺžku.
Krok 3: Určite najkratšiu vzdialenosť medzi loďou a bodom P.
Najmenšia vzdialenosť je kolmá úsečka medzi bodom P a bodkovanou čiarou, ktorá predstavuje dráhu lode.
Úsek BP je prepona pravouhlého trojuholníka.
Sínus 60° súvisí so vzdialenosťou x a preponou BP.
Záver
Najkratšia vzdialenosť medzi loďou a bodom P na pláži je 1000 m.
otázka 10
(UERJ – 2018)
Zhromažďujem okolo seba toto slnečné svetlo,
Vo svojom hranole sa rozptyľujem a znovu skladám:
Povesť siedmich farieb, biele ticho.
JOSÉ SARAMAGO
Na nasledujúcom obrázku trojuholník ABC predstavuje rovinný rez rovnobežný so základňou priameho hranolu. Čiary n a n' sú kolmé na strany AC a AB a BÂC = 80°.
Veľkosť uhla θ medzi n a n' je:
a) 90º
b) 100 stupňov
c) 110°
d) 120°
V trojuholníku s vrcholom A 80º a základňou tvorenou lúčom svetla, rovnobežným s väčšou základňou, môžeme určiť vnútorné uhly.
Keďže hranol je rovný a svetlá základňa trojuholníka s vrcholom v A je rovnobežná s väčšou základňou, tieto uhly sú rovnaké. Keďže súčet vnútorných uhlov trojuholníka sa rovná 180°, máme:
80 + x + x = 180
2x = 180 - 80
2x = 100
x = 100/2
x = 50
Pridaním 90º uhla vytvoreného bodkovanými čiarami máme 140º.
Vnútorné uhly menšieho trojuholníka smerujúce nadol sú teda:
180–140 = 40
Opätovným použitím súčtu vnútorných uhlov máme:
40 + 40 + = 180
= 180 - 80
= 100º
Pokračujte v štúdiu trojuholníkov:
- Trojuholník: všetko o tomto mnohouholníku
- Klasifikácia trojuholníkov
- Oblasť trojuholníka: ako vypočítať?
- Trigonometria v pravouhlom trojuholníku
ASTH, Rafael. Vysvetlené cvičenia na trojuholníkoch.All Matter, [n.d.]. Dostupné v: https://www.todamateria.com.br/exercicios-sobre-triangulos-explicados/. Prístup na:
Pozri tiež
- Klasifikácia trojuholníkov
- Trojuholník: všetko o tomto mnohouholníku
- Oblasť trojuholníka
- Cvičenia na štvoruholníky s vysvetlenými odpoveďami
- Cvičenia na zodpovedané uhly
- Podobnosť trojuholníkov: komentované a riešené cvičenia
- Pozoruhodné body trojuholníka: čo sú a ako ich nájsť
- Podmienka existencie trojuholníka (s príkladmi)
