Kmeň kužeľa: čo to je, prvky, vzorce

O kmeň kužeľa je pevná látka tvorená pri vykonávaní úseku dno kužeľa v akejkoľvek výške rovnobežnej so základňou. keď sme rozrezali kužeľ v ktorejkoľvek danej výške je rozdelený na dve geometrické pevné látky, kužeľ menší ako predchádzajúci a kmeň kužeľa.

Kmeň kužeľa má špecifické vzorce, aby bolo možné vypočítať celkovú plochu a objem tohto geometrického telesa.

Prečítajte si tiež: Čo sú Platónove pevné látky?

Kmeňové kužeľové prvky

Kmeň kužeľa sa vytvorí, keď urobíte rez v kužele.

Kmeň kužeľa je a zvláštny prípad okrúhle telá. Dostáva svoje meno, pretože v kužele, keď urobíme rez rovnobežne so základňou, je rozdelený na dve časti. Spodná časť je kmeň kužeľa.

Vzhľadom na kmeň kužeľa sú v tom dôležité prvky pevný, ktoré dostávajú konkrétne mená.

R → polomer najväčšej bázy

h → výška kužeľa

r → polomer najmenšej bázy

g → generatrix kužeľa kmeňa

Vidíme, že kmeň kužeľa je zložený z dve tváre v tvare kruhu, ktoré sú známe ako základy. Ďalej má jeden z nich vždy menší polomer ako druhý. Teda r

Generátor kužeľového kufra

Vzhľadom na kužeľový kmeň je to možné vypočítajte hodnotu generátora tohto telesa pomocou vzorca veta o Pytagoras, keď poznáme polomery najväčšej a najmenšej základne, okrem výšky.

g² = h² + (R - r) ²

Príklad:

Nájdite priamku kužeľa kmeňa, ktorý má výšku 8 cm, polomer základne väčší ako 10 cm a polomer základne menší ako 4 cm.

Aby sme našli kmeň generatrix kužeľa, musíme:

h = 8
R = 10
r = 4

Nahradenie vo vzorci:

g² = h² + (R - r) ²
g² = 8² + (10 - 4) ²
g² = 64 + 6²
g² = 64 + 36
g² = 100
g = √ 100
g = 10 cm

Pozri tiež: Ako nájsť stred kruhu?

Objem kužeľa kufra

Na výpočet objemu kmeňa kužeľa použijeme vzorec:

Ak poznáme výškové hodnoty, polomer najväčšej základne a polomer najmenšej základne, je možné vypočítať objem kmeňa kužeľa.

Príklad:

Nájdite objem kužeľa kmeňa, ktorý má výšku 6 cm, polomer najväčšej základne 8 cm a polomer najmenšej základne 4 cm. Použite π = 3,1.

Plánovanie kmeňa kužeľa

THE hobľovanie geometrického telesa a znázornenie vašich tvárí dvojrozmerným spôsobom. Pozrite sa nižšie na hobľovanie kmeňa kužeľa.

Celková plocha kmeňa kužeľa

Ak poznáme rovinu kmeňa kužeľa, je možné vypočítať hodnotu celkovej plochy tohto geometrického telesa. Vieme, že sa skladá z dvoma základňami v tvare kruhu a tiež jeho bočnou plochou. Celková plocha kmeňa kužeľa je súčtom oblastí týchto troch oblastí:

THE_T = A_B + A_B + A_tam

THE_T → celková plocha

THE_B → väčšia základná plocha

THE_B → menšia základná plocha

THE_Ľ → bočná plocha

Všimnite si, že základmi sú kruhy a že bočná oblasť začína od kruhu, takže:

THE_tam = πg (R + r)

THE_B = πR²

THE_B = πr²

Príklad:

Vypočítajte celkovú plochu kmeňa kužeľa, ktorý má výšku 12 cm, polomer základne väčší ako 10 cm a polomer základne menší ako 5 cm. Použite π = 3.

Najskôr nájdeme generatrix na výpočet bočnej plochy:

g² = 12² + (10 - 5) ²
g² = 12² + 5²
g² = 144 + 25
g² = 169
g = √169
g = 13

THE_tam = πg (R + r)
THE_tam = 3 · 13 (10 + 5)
THE_tam = 39 · 15
THE_tam = 39 · 15
THE_tam = 585 cm²

Teraz vypočítame plochu každej z báz:

THE_B = πR²
THE_B = 3 · 10²
THE_B = 3 · 100
THE_B = 300 cm²

THE_B = πr²
THE_B= 3 · 5²
THE_B= 3 · 25
THE_B= 75 cm²

THE_T = A_B + A_B + A_tam
THE_T = 300+ 75 + 585 = 960 cm²

Pozri tiež: Aké sú rozdiely medzi kruhom a obvodom?

Cvičenia vyriešené

Otázka 1 - (Enem 2013) Kuchár, odborník na výrobu koláčov, používa formu vo formáte znázornenom na obrázku:

Identifikuje znázornenie dvoch trojrozmerných geometrických útvarov. Ide o tieto údaje:

A) zrezaný kužeľ a valec.

B) kužeľ a valec.

C) kmeň pyramídy a valec.

D) dva kmeňové kmene.

E) dva valce.

Rozhodnutie

Alternatíva D. Pri analýze geometrických telies majú tieto dve kruhové plochy rôznych veľkostí, takže ide o zrezané kužele.

Otázka 2 - (Nucepe) Ako to je a na čo slúži predovšetkým šálka, všetci vieme: podávanie nápojov, najmä teplých. Odkiaľ sa však vzala myšlienka vytvoriť „pohár s rukoväťou“?

Čaj, ktorý má orientálny pôvod, sa pôvodne podával v okrúhlych nádobách bez rúčok. Podľa tradície to bolo dokonca varovanie pre tých, ktorí konajú pitný ceremoniál: Ak vám nádoba horela končeky prstov, bola príliš horúca na pitie. Pri ideálnej teplote to neprekážalo ani pri priamom kontakte s porcelánom.

Zdroj: http://www.mexidodeideias.com.br/viagem/a-historia-da-xicara. Prístupné dňa 01.06.2018.

Šálka ​​má tvar priameho kužeľa, ako je znázornené na obrázku nižšie. Aký je približný maximálny objem kvapaliny, ktorú môže obsahovať?

A) 168 cm³

B) 172 cm³

C) 166 cm³

D) 176 cm³

E) 164 cm³

Rozhodnutie

Alternatíva D.

Ak chcete zistiť objem, najskôr vypočítajme hodnotu každého z lúčov. Ak to chcete urobiť, stačí vydeliť priemer dvoma.

R = 8/2 = 4

r = 4/2 = 2

Okrem polomeru vieme, že h = 6.

Musíme teda:

Najbližšia hodnota je 176 cm³.

Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky

Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tronco-cone.htm