Cviky zloženého úroku

Zložený úrok predstavuje opravu použitú na sumu, ktorá bola požičaná alebo použitá. Tento typ korekcie sa nazýva aj úrok z úroku.

Ako veľmi dobre použiteľný obsah sa často objavuje na súťažiach, prijímacích skúškach a na Enem. Preto si pomocou nasledujúcich otázok overte svoje vedomosti o tomto obsahu.

Komentované otázky

1) Enem - 2018

Zmluva o pôžičke ustanovuje, že pri splácaní zálohy bude poskytnuté zníženie úroku v súlade so zálohovým obdobím. V takom prípade sa vyplatí súčasná hodnota, ktorá je hodnotou v tom čase, sumy, ktorá by mala byť vyplatená k budúcemu dátumu. Súčasná hodnota P predložená zloženému úroku pri sadzbe i, za časové obdobie n, vytvorí budúcu hodnotu V určenú vzorcom

V zmluve o pôžičke so šesťdesiatimi pevnými mesačnými splátkami vo výške 820,00 R $ s úrokovou sadzbou 1,32% mesačne spolu pri tridsiatej splátke bude vopred zaplatená ďalšia splátka za predpokladu, že zľava bude vyššia ako 25% hodnoty splátky porcia.

Použite 0,2877 ako aproximáciu pre a 0,0131 ako aproximácia k ln (1,0132).
Prvou zo splátok, ktoré možno očakávať spolu s 30., je

a) 56.
b) 55. deň
c) 52. miesto
d) 51. miesto
e) 45. deň

Pozri odpoveď

V navrhovanej otázke chceme zistiť, ktorá splátka, pri uplatnení zníženia úroku pri platbe vopred, má zaplatená suma zľavu vyššiu ako 25%, to znamená:

Zjednodušenie zlomku (vydelenie hornej a dolnej časti číslom 25) a zistenie, že suma, ktorá sa má zaplatiť za zálohovú splátku, musí byť:

Očakávaná splátka zodpovedá budúcej hodnote korigovanej na súčasnú hodnotu, to znamená diskontovanú o 1,32% úrok pri splácaní tejto splátky pred termínom, to znamená:

Kde n sa rovná očakávanému obdobiu. Nahradením tohto výrazu predchádzajúcim výrazom máme:

Pretože 820 sa objavuje na oboch stranách nerovnosti, môžeme túto hodnotu zjednodušiť: „znížiť“ túto hodnotu:

Frakcie môžeme prevrátiť, pričom dávame pozor, aby sme invertovali aj znak nerovnosti. Náš výraz je teda:

Všimnite si, že hodnota, ktorú chceme nájsť, je v exponente (n). Preto na vyriešenie nerovnosti použijeme prirodzený logaritmus (ln) na oboch stranách nerovnosti, to znamená:

Teraz môžeme nahradiť hodnoty uvedené vo výpise a nájsť hodnotu n:

Pretože n musí byť väčšie ako zistená hodnota, budeme musieť počítať s 22 splátkami, to znamená, že zaplatíme 30. splátku spolu s 52. splátkou (30 + 22 = 52).

Alternatíva: c) 52. miesto

2) Enem - 2011

Mladý investor si musí zvoliť, ktorá investícia mu prinesie najväčšiu finančnú návratnosť v prípade investície vo výške 500,00 R $. Za týmto účelom skúma príjmy a daň z dvoch investícií: úspory a CDB (bankový vkladový certifikát). Získané informácie sú zhrnuté v tabuľke:

Pre mladého investora je na konci mesiaca najvýhodnejšia aplikácia

a) úspory, pretože celková suma dosiahne 502,80 USD.
b) úspory, pretože celková suma predstavuje 500,56 R $.
c) CDB, pretože celková suma predstavuje 504,38 R $.
d) CDB, pretože celková suma predstavuje 504,21 R $.
e) CDB, pretože celková suma predstavuje 500,87 R $.

Pozri odpoveď

Ak chcete zistiť, aký je najlepší výnos, spočítajme si, aký výnos bude mať každý na konci mesiaca. Začnime teda výpočtom príjmu z úspor.

Vzhľadom na problémové údaje máme:

c = 500,00 BRL
i = 0,560% = 0,0056 a.m.
t = 1 mesiac
M =?

Nahradením týchto hodnôt vo vzorci zloženého úroku máme:

M = C (1 + i)^t
M_úspory = 500 (1 + 0,0056)¹
M_úspory = 500.1,0056
M_úspory = 502,80 BRL

Keďže pri tomto type aplikácie nedochádza k odpočtu dane z príjmu, bude sa jednať o vyplatenú sumu.

Poďme teraz vypočítať hodnoty pre CDB. Pre túto aplikáciu je úroková sadzba rovná 0,876% (0,00876). Nahradením týchto hodnôt máme:

M_CBD = 500 (1+0,00876)¹
M_CBD = 500.1,00876
M_CBD = 504,38 BRL

Táto suma nebude predstavovať sumu, ktorú dostane investor, pretože v tejto aplikácii je 4% zľava, týkajúce sa dane z príjmu, ktorá by sa mala uplatniť na prijaté úroky, ako je uvedené nižšie:

J = M - C
J = 504,38 - 500 = 4,38

Musíme vypočítať 4% z tejto hodnoty, stačí urobiť:

4,38.0,04 = 0,1752

Pri uplatnení tejto zľavy na hodnotu zistíme:

504,38 - 0,1752 = BRL 504,21

Alternatíva: d) CDB, pretože celková suma predstavuje 504,21 R $.

3) UERJ - 2017

Kapitál spoločnosti C reais bol investovaný so zloženým úrokom 10% mesačne a za tri mesiace vygeneroval sumu 53 240 R $. Vypočítajte hodnotu počiatočného imania C, in reais.

Pozri odpoveď

Problém obsahuje nasledujúce údaje:

M = 5 3240,00 BRL
i = 10% = 0,1 mesačne
t = 3 mesiace
C =?

Nahradením týchto údajov vo vzorci zloženého úroku máme:

M = C (1 + i)^t
53240 = C (1 + 0,1)³
53240 = 1,331 ° C

4) Fuvest - 2018

Maria chce kúpiť televíziu, ktorá sa predáva za 1 500,00 R $ v hotovosti alebo v 3 mesačných bezúročných splátkach po 500,00 R $. Peniaze, ktoré Maria vyčlenila na tento nákup, nestačia na vyplatenie v hotovosti, ale zistila, že banka ponúka finančné investície, ktoré zarábajú 1% mesačne. Po vykonaní výpočtov Mária dospela k záveru, že ak zaplatí prvú splátku a v ten istý deň použije zvyšnú sumu, budete môcť zaplatiť dve zostávajúce splátky bez toho, aby ste museli platiť alebo brať cent ani. Koľko si vlastne Mária vyhradila na tento nákup?

a) 1 450,20
b) 1 480,20
c) 1 485,20
d) 1 495,20
e) 1 490,20

Pozri odpoveď

V tomto probléme musíme urobiť ekvivalenciu hodnôt, to znamená, že poznáme budúcu hodnotu, ktorá sa musí zaplatiť v každej splátke, a chceme poznať súčasnú hodnotu (kapitál, ktorý sa použije).

Pre túto situáciu použijeme nasledujúci vzorec:

Vzhľadom na to, že v čase platby druhej splátky, čo bude 1 mesiac po zaplatení prvej splátky, by aplikácia mala priniesť 500,00 BRL, máme:

Ak chcete zaplatiť tretiu splátku tiež vo výške 500,00 R $, čiastka sa použije po dobu 2 mesiacov, takže použitá suma sa bude rovnať:

Suma, ktorú si Maria vyhradila na nákup, sa teda rovná súčtu súm uplatnených so sumou prvej splátky, teda:

V = 500 + 495,05 + 490,15 = BRL 1 485,20

Alternatíva: c) 1 485,20 BRL

5) UNESP - 2005

Mário si vzal pôžičku vo výške 8 000,00 R s 5% úrokom mesačne. O dva mesiace neskôr Mário vyplatil pôžičku vo výške 5 000,00 R $ a mesiac po tejto výplate splatil celý svoj dlh. Hodnota poslednej platby bola:

a) 3 015 BRL.
b) 3 820,00 BRL.
c) 4 011,00 BRL.
d) 5 011,00 BRL.
e) 5 250 BRL.

Pozri odpoveď

Vieme, že pôžička bola splatená v dvoch splátkach a že máme nasledujúce údaje:

V._P = 8000
i = 5% = 0,05 hod
V._F1 = 5000
V._F2 = x

Ak vezmeme do úvahy údaje a ekvivalenciu veľkých písmen, máme:

Alternatíva: c) 4 011,00 R $.

6) PUC / RJ - 2000

Banka účtuje za službu prečerpania úrokovú sadzbu 11% mesačne. Za každých 100 reaktúr kontokorentu si banka účtuje v prvom mesiaci 111, v druhom 123,21 atď. Pri sume 100 realít bude banka na konci jedného roka účtovať približne:

a) 150 reais.
b) 200 reais
c) 250 reais.
d) 300 rea.
e) 350 reais.

Pozri odpoveď

Z informácií uvedených v probléme sme zistili, že oprava sumy účtovanej prečerpaním je zloženým úrokom.

Upozorňujeme, že suma účtovaná za druhý mesiac bola vypočítaná s ohľadom na sumu už opravenú za prvý mesiac, to znamená:

J = 111. 0,11 = 12,21 BRL

M = 111 + 12,21 = BRL 123,21

Preto, aby sme našli sumu, ktorú si banka bude účtovať na konci roka, použijeme vzorec zloženého úroku, teda:

M = C (1 + i)^t

Byť:

C = 100,00 BRL
i = 11% = 0,11 mesačne
t = 1 rok = 12 mesiacov
M = 100 (1 + 0,11)¹²
M = 100,1,11¹²
M = 100,3 498

Alternatíva: e) 350 reais

Ak sa chcete dozvedieť viac informácií o tejto téme, prečítajte si tiež:

• Percento
• Ako vypočítať percento?
• Percento cvičení
• Matematické vzorce
• Matematika v enem