Cvičenia z analytickej geometrie

Otestujte si svoje vedomosti okrem iných tém aj otázkami o všeobecných aspektoch analytickej geometrie, ktoré sa týkajú aj vzdialenosti medzi dvoma bodmi, stredom, rovnicou.

Využite pripomienky v uzneseniach, aby ste objasnili svoje pochybnosti a získali viac poznatkov.

Otázka 1

Vypočítajte vzdialenosť medzi dvoma bodmi: A (-2,3) a B (1, -3).

Pozri odpoveď

Správna odpoveď: d (A, B) = .

Na vyriešenie tejto otázky použite vzorec na výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi.

Dosadíme hodnoty do vzorca a vypočítame vzdialenosť.

Koreň 45 nie je presný, takže je potrebné vykonávať zakorenenie, kým z koreňa už nebudete môcť odstrániť žiadne číslo.

Preto vzdialenosť medzi bodmi A a B je .

otázka 2

Na karteziánskej rovine sú body D (3.2) a C (6.4). Vypočítajte vzdialenosť medzi D a C.

Pozri odpoveď

Správna odpoveď: .

Byť a , môžeme použiť Pytagorovu vetu na trojuholník DCP.

Dosadením súradníc vo vzorci nájdeme vzdialenosť medzi bodmi takto:

Preto vzdialenosť medzi D a C je

Pozri tiež: Vzdialenosť medzi dvoma bodmi

otázka 3

Určte obvod trojuholníka ABC, ktorého súradnice sú: A (3,3), B (–5, –6) a C (4, –2).

Pozri odpoveď

Správna odpoveď: P = 26,99.

1. krok: Vypočítajte vzdialenosť medzi bodmi A a B.

2. krok: Vypočítajte vzdialenosť medzi bodmi A a C.

3. krok: Vypočítajte vzdialenosť medzi bodmi B a C.

4. krok: Vypočítajte obvod trojuholníka.

Preto je obvod trojuholníka ABC 26,99.

Pozri tiež: Obvod trojuholníka

otázka 4

Určte súradnice, ktoré nachádzajú stred medzi A (4,3) a B (2, -1).

Pozri odpoveď

Správna odpoveď: M (3, 1).

Pomocou vzorca na výpočet stredného bodu určíme súradnicu x.

Súradnica y sa počíta pomocou rovnakého vzorca.

Podľa výpočtov je stredný bod (3.1).

otázka 5

Vypočítajte súradnice vrcholu C trojuholníka, ktorého body sú: A (3, 1), B (–1, 2) a barycentrum G (6, –8).

Pozri odpoveď

Správna odpoveď: C (16, –27).

Barycentrum G (x_Gr_G) je bod, kde sa stretávajú tri mediány trojuholníka. Jeho súradnice sú dané vzorcami:

a

Nahradením hodnôt x súradníc máme:

Teraz urobíme rovnaký postup pre hodnoty y.

Preto má vrchol C súradnice (16, -27).

otázka 6

Na základe súradníc kolineárnych bodov A (-2, y), B (4, 8) a C (1, 7) určite, aká je hodnota y.

Pozri odpoveď

Správna odpoveď: y = 6.

Pre tri body, ktoré sa majú zarovnať, sa determinant nižšie uvedenej matice musí rovnať nule.

1. krok: nahraďte hodnoty x a y v matici.

2. krok: zapíšte prvky prvých dvoch stĺpcov vedľa matice.

3. krok: znásobte prvky hlavných uhlopriečok a spočítajte ich.

Výsledkom bude:

4. krok: znásobte prvky sekundárnych uhlopriečok a obráťte znamienko pred nimi.

Výsledkom bude:

5. krok: spojte výrazy a vyriešte operácie sčítania a odčítania.

Preto, aby boli body kolineárne, musí byť hodnota y 6.

Pozri tiež: Matice a determinanty

otázka 7

Určte plochu trojuholníka ABC, ktorého vrcholy sú: A (2, 2), B (1, 3) a C (4, 6).

Pozri odpoveď

Správna odpoveď: Plocha = 3.

Plochu trojuholníka je možné vypočítať z determinantu takto:

1. krok: nahraďte súradnicové hodnoty v matici.

2. krok: zapíšte prvky prvých dvoch stĺpcov vedľa matice.

3. krok: znásobte prvky hlavných uhlopriečok a spočítajte ich.

Výsledkom bude:

4. krok: znásobte prvky sekundárnych uhlopriečok a obráťte znamienko pred nimi.

Výsledkom bude:

5. krok: spojte výrazy a vyriešte operácie sčítania a odčítania.

6. krok: vypočítajte plochu trojuholníka.

Pozri tiež: Oblasť trojuholníka

otázka 8

(PUC-RJ) Bod B = (3, b) je v rovnakej vzdialenosti od bodov A = (6, 0) a C = (0, 6). Bod B je preto:

a) (3, 1)
b) (3, 6)
c) (3, 3)
d) (3, 2)
e) (3, 0)

Pozri odpoveď

Správna alternatíva: c) (3, 3).

Ak sú body A a C v rovnakej vzdialenosti od bodu B, znamená to, že body sa nachádzajú v rovnakej vzdialenosti. Takže, d_AB = d_CB a vzorec na výpočet je:

1. krok: nahraďte hodnoty súradníc.

2. krok: vyriešte korene a nájdite hodnotu b.

Preto bod B je (3, 3).

Pozri tiež: Cvičenie na vzdialenosť medzi dvoma bodmi

otázka 9

(Unesp) Trojuholník PQR v karteziánskej rovine s vrcholmi P = (0, 0), Q = (6, 0) a R = (3, 5), je
a) rovnostranný.
b) rovnoramenné, ale nie rovnostranné.
c) scalén.
d) obdĺžnik.
e) tupý uhol.

Pozri odpoveď

Správna alternatíva: b) rovnoramenné, ale nie rovnostranné.

1. krok: vypočítajte vzdialenosť medzi bodmi P a Q.

2. krok: vypočítajte vzdialenosť medzi bodmi P a R.

3. krok: vypočítajte vzdialenosť medzi bodmi Q a R.

4. krok: posúdte alternatívy.

a) NESPRÁVNE. Rovnostranný trojuholník má rovnaké trojstranné merania.

b) SPRÁVNE. Trojuholník je rovnoramenný, pretože dve strany majú rovnaké rozmery.

c) NESPRÁVNE. Scalenový trojuholník má rozmery troch rôznych strán.

d) NESPRÁVNE. Pravý trojuholník má pravý uhol, to znamená 90 °.

e) NESPRÁVNE. Tupouhlý trojuholník má jeden z uhlov väčší ako 90 °.

Pozri tiež: Klasifikácia trojuholníka

otázka 10

(Unitau) Rovnica priamky, ktorá prechádza bodmi (3.3) a (6.6), je:

a) y = x.
b) y = 3x.
c) y = 6x.
d) 2y = x.
e) 6y = x.

Pozri odpoveď

Správna alternatíva: a) y = x.

Pre ľahšie pochopenie budeme nazývať bod (3,3) A a bod (6,6) B.

Užívanie P (x_Pr_P) ako bod, ktorý patrí do priamky AB, sú potom A, B a P kolineárne a rovnica priamky je určená:

Všeobecná rovnica priamky prechádzajúcej cez A a B je ax + o + c = 0.

Dosadením hodnôt do matice a výpočtom determinantu máme:

Preto x = y je rovnica priamky, ktorá prechádza bodmi (3,3) a (6,6).

Pozri tiež: Rovnica priamky