Pytagorova veta: vzorec a cvičenia

O Pytagorova veta vypíše dĺžku strán pravého trojuholníka. Tento geometrický útvar je tvorený vnútorným uhlom 90 °, ktorý sa nazýva pravý uhol.

Tvrdenie tejto vety je:

"Súčet štvorcov vašich nôh zodpovedá štvorcu vašej prepony."

Vzorec Pytagorovej vety

Podľa vyjadrenia Pytagorovej vety je vzorec znázornený takto:

The² = b² + c²

Byť,

The: prepona
B: cateto
ç: cateto

THE prepona je najdlhšia strana pravého trojuholníka a strana naproti pravému uhlu. Ďalšie dve strany sú nohy. Uhol tvorený týmito dvoma stranami má mieru rovnajúcu sa 90 ° (pravý uhol).

Identifikovali sme tiež nohy podľa referenčného uhla. To znamená, že strana sa dá nazvať susedná strana alebo opačná strana.

Keď je noha blízko referenčného uhla, nazýva sa to a susedné, na druhej strane, ak je proti tomuto uhlu, volá sa opak.

Ďalej sú uvedené tri príklady aplikácií Pytagorovej vety na metrické vzťahy pravého trojuholníka.

Príklad 1: vypočítajte mieru prepony

Ak má pravý trojuholník 3 cm a 4 cm ako miery nôh, aká je prepona tohto trojuholníka?

Preto sú strany pravého trojuholníka 3 cm, 4 cm a 5 cm.

Príklad 2: vypočítajte mieru jednej z nôh

Určte mieru nohy, ktorá je súčasťou pravouhlého trojuholníka, ktorej prepona je 20 cm a druhá noha meria 16 cm.

Preto sú rozmery strán pravého trojuholníka 12 cm, 16 cm a 20 cm.

Príklad 3: skontrolujte, či je trojuholník obdĺžnik

Trojuholník má strany s rozmermi 5 cm, 12 cm a 13 cm. Ako viete, či je to pravý trojuholník?

Aby sa dokázalo, že pravý trojuholník je pravdivý, musia sa rozmery jeho strán podriaďovať Pytagorovej vete.

Pretože dané opatrenia uspokojujú Pythagorovu vetu, tj štvorec prepony sa rovná súčtu štvorca nôh, potom môžeme povedať, že trojuholník je obdĺžnik.

Prečítajte si tiež: Metrické vzťahy v obdĺžnikovom trojuholníku

Pytagorejský trojuholník

Keď meria boky a správny trojuholník sú kladné celé čísla, trojuholník sa nazýva Pytagorovský trojuholník.

V tomto prípade sa nohy a prepona nazývajú „Pytagorejský oblek“ alebo „Pytagorejské trio“. Aby sme skontrolovali, či tri čísla tvoria Pytagorovu trojicu, použijeme vzťah k² = b² + c².

Najznámejšie pytagorejské trio je zastúpené číslami: 3, 4, 5. Prepona sa rovná 5, väčšia noha sa rovná 4 a menšia noha sa rovná 3.

Upozorňujeme, že plocha štvorcov nakreslených na každej strane trojuholníka súvisí rovnako ako Pytagorova veta: plocha štvorca na dlhej strane zodpovedá súčtu plôch ďalších dvoch námestie.

Je zaujímavé, že násobky týchto čísel tvoria aj pytagorejský oblek. Napríklad ak vynásobíme trojicu 3, 4 a 5 číslom 3, dostaneme čísla 9, 12 a 15, ktoré tiež tvoria Pytagorovu kombinézu.

Okrem oblekov 3, 4 a 5 existuje veľké množstvo ďalších oblekov. Ako príklad môžeme uviesť:

• 5, 12 a 13
• 7, 24, 25
• 20, 21 a 29
• 12, 35 a 37

Prečítajte si tiež: Trigonometria v obdĺžnikovom trojuholníku

Kto bol Pytagoras?

podľa histórie Pytagoras zo Samosu (570 a. Ç. - 495 a. C.) bol grécky filozof a matematik, ktorý založil Pytagorovu školu, ktorá sa nachádza v južnom Taliansku. Nazývaná aj Pytagorova spoločnosť, zahŕňala štúdium matematiky, astronómie a hudby.

Aj keď metrické vzťahy pravého trojuholníka poznali už Babylončania, ktorí žili dávno pred Pytagorasom, prvý dôkaz, že sa táto veta vzťahovala na akýkoľvek pravý trojuholník, pravdepodobne urobil Pytagoras.

Pytagorova veta je jednou z najznámejších, najdôležitejších a používaných viet v matematike. Je nevyhnutný pri riešení problémov v analytickej geometrii, rovinnej geometrii, priestorovej geometrii a trigonometrii.

Okrem vety boli ďalšími dôležitými príspevkami Pytagorovej spoločnosti pre matematiku:

• Objav iracionálnych čísel;
• Vlastnosti celých čísel;
• MMC a MDC.

Prečítajte si tiež: Matematické vzorce

Dôkazy Pytagorovej vety

Existuje niekoľko spôsobov, ako dokázať Pytagorovu vetu. Napríklad kniha Pytagorejský návrh, Publikované v roku 1927, predstavilo 230 spôsobov, ako to demonštrovať, a ďalšie vydanie, vydané v roku 1940, sa zvýšilo na 370 demonštrácií.

Sledujte video nižšie a pozrite si niektoré ukážky Pytagorovej vety.

Koľko spôsobov existuje na dokázanie Pytagorovej vety? - Betty Fei

Komentované cvičenia k Pytagorovej vete

Otázka 1

(PUC) Súčet štvorcov troch strán pravého trojuholníka sa rovná 32. Aká dlhá je prepona trojuholníka?

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6

Pozri odpoveď

Správna alternatíva: b) 4.

Z informácií vo vyhlásení vieme, že² + b² + c² = 32. Na druhej strane, podľa Pytagorovej vety musíme² = b² + c² .

Nahradenie hodnoty b²+ c² podľa² v prvom výraze nájdeme:

The² +² =32 ⇒ 2. The² = 32 ⇒ do² = 32/2 ⇒ do² = 16 ⇒ a = √ 16
a = 4

Ďalšie otázky nájdete na: Pytagorova veta - Cvičenia

otázka 2

(A buď)

Na obrázku vyššie, ktorý predstavuje schody s 5 schodmi rovnakej výšky, sa celková dĺžka zábradlia rovná:

a) 1,9 m
b) 2,1 m
c) 2,0 m
d) 1,8 m
e) 2,2 m

Pozri odpoveď

Správna alternatíva: b) 2,1 m.

Celková dĺžka zábradlia sa bude rovnať súčtu dvoch úsekov dĺžky rovných 30 cm s úsekom, pre ktorý nepoznáme mieru.

Na obrázku môžeme pozorovať, že neznámy úsek predstavuje preponu pravouhlého trojuholníka, ktorého miera jednej z nôh sa rovná 90 cm.

Aby sme zistili mieru druhej nohy, musíme pridať dĺžku 5 krokov. Preto máme b = 5. 24 = 120 cm.

Na výpočet prepony použijeme na tento trojuholník Pytagorovu vetu.

The² = 90² + 120² do² = 8100 + 14 400 ⇒ do² = 22 500 ⇒ a = √ 22 500 = 150 cm

Všimnite si, že na výpočet prepony sme mohli použiť myšlienku Pytagorejských oblekov, pretože končatiny (90 a 120) sú násobkom farieb 3, 4 a 5 (všetky výrazy sa vynásobia číslom 30).

Týmto spôsobom bude celková miera zábradlia:

30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 m

Otestujte si svoje vedomosti pomocou Trigonometrické cvičenia

otázka 3

(UERJ) Millôr Fernandes v krásnej pocte matematike napísal báseň, z ktorej extrahujeme fragment uvedený nižšie:

Na toľko listov knihy o matematike,
kvocient sa jedného dňa divoko zamiloval
od Neznámeho.
Pozeral sa na ňu svojím nespočetným pohľadom
a videl ju od vrcholu po základňu: zvláštna postava;
kosoštvorcové oči, lichobežníkové ústa,
obdĺžnikové telo, sféroidné prsia.
Váš život bol paralelný s jej,
až kým sa nestretli v Infinity.
"Kto si?" - spýtal sa v radikálnej úzkosti.
"Som súčet štvorcov nôh."
Ale môžete ma nazvať preponou.”

(Millôr Fernandes. Tridsať rokov seba samého.)

Inkognita nesprávne povedala, o koho išlo. Na splnenie Pytagorovej vety je potrebné urobiť nasledovné

a) „Som druhá mocnina súčtu nôh. Ale zavolajte mi námestie preponu. “
b) „Som súčet nôh. Ale môžeš ma nazvať preponou. “
c) „Som druhá mocnina súčtu nôh. Ale môžeš ma nazvať preponou. “
d) „Som súčet štvorcov nôh. Ale zavolajte mi námestie preponu. “

Pozri odpoveď

Alternatíva d) „Som súčet štvorcov nôh. Ale zavolajte mi námestie preponu. “

Získajte viac informácií o tejto téme:

• rovnoramenný trojuholník
• Sínus, kosínus a dotyčnica
• Matematika v enem