Jeden rovnica druhého stupňa je celá rovnica vo forme sekera2 + bx + c = 0, s a, bac skutočné čísla a a ≠ 0. Na vyriešenie rovnice tohto typu môžete použiť rôzne metódy.
Použite komentáre uvedené v cvičeniach nižšie, aby ste odstránili všetky svoje pochybnosti. Nezabudnite si vyskúšať svoje vedomosti pomocou vyriešených súťažných otázok.
Komentované cvičenia
Cvičenie 1
Vek mojej mamy vynásobený mojím vekom sa rovná 525. Ak mala moja matka, keď som sa narodila, 20 rokov, koľko mám rokov?
Riešenie
Berúc do úvahy môj vek rovný X, potom môžeme zvážiť, že vek mojej matky sa rovná x + 20. Ako poznáme hodnotu produktu nášho veku, potom:
X. (x + 20) = 525
Aplikácia na distribučné vlastnosti množenia:
X2 + 20 x - 525 = 0
Potom dospejeme k úplnej rovnici 2. stupňa s a = 1, b = 20 a c = - 525.
Na výpočet koreňov rovnice, teda hodnôt x, kde sa rovnica rovná nule, použijeme Bhaskarov vzorec.
Najskôr musíme vypočítať hodnotu ∆:
Na výpočet koreňov používame:
Nahradením hodnôt vo vyššie uvedenom vzorci nájdeme korene rovnice, napríklad takto:
Pretože môj vek nemôže byť záporný, pohŕdame hodnotou -35. Výsledok teda je 15 rokov.
Cvičenie 2
Štvorec znázornený na nasledujúcom obrázku má obdĺžnikový tvar a jeho plocha sa rovná 1 350 m2. S vedomím, že jeho šírka zodpovedá 3/2 jeho výšky, určte rozmery štvorca.
Riešenie
Ak vezmeme do úvahy, že jeho výška sa rovná X, šírka sa potom bude rovnať 3 / 2x. Plocha obdĺžnika sa počíta vynásobením jeho základne hodnotou výšky. V tomto prípade máme:
Dostaneme sa k neúplnej rovnici 2. stupňa, kde a = 3/2, b = 0 a c = - 1350, môžeme tento typ rovnice vypočítať tak, že izolujeme x a vypočítame druhú odmocninu.
Pretože hodnota x predstavuje mieru výšky, nebudeme brať ohľad na - 30. Výška obdĺžnika sa teda rovná 30 m. Na výpočet šírky vynásobme túto hodnotu 3/2:
Šírka štvorca sa preto rovná 45 m a jeho výška sa rovná 30 m.
Cvičenie 3
Takže x = 1 je koreňom rovnice 2ax2 + (2.2 - a - 4) x - (2 + a2) = 0, hodnoty a by mali byť:
a) 3 a 2
b) - 1 a 1
c) 2 a - 3
d) 0 a 2
e) - 3 a - 2
Riešenie
Aby sme zistili hodnotu a, najskôr nahraďme x číslom 1. Takto bude rovnica vyzerať takto:
2.a.12 + (2.2 - až - 4). 1 - 2 - a2 = 0
2. + 2.2 - do - 4 - 2 - do2 = 0
The2 + až - 6 = 0
Teraz musíme vypočítať koreň úplnej rovnice 2. stupňa, pretože na to použijeme Bhaskarov vzorec.
Správnou alternatívou je preto písmeno C.
Súťažné otázky
1) Epcar - 2017
Zvážte v ℝ rovnicu (m+2) x2 - 2mx + (m - 1) = 0 v premennej x, kde m je reálne číslo iné ako - 2.
Skontrolujte vyhlásenia uvedené nižšie a ohodnoťte ich ako V (PRAVDA) alebo F (NEPRAVDA).
() Pre všetky m> 2 má rovnica prázdnu množinu riešení.
() Existujú dve reálne hodnoty m pre rovnicu, ktorá pripúšťa rovnaké korene.
() V rovnici, ak ∆> 0, potom m môže predpokladať iba kladné hodnoty.
Správna postupnosť je
a) V - V - V
b) F - V - F
c) F - F - V
d) V - F - F
Pozrime sa na každé z vyhlásení:
Pre všetky m> 2 má rovnica prázdnu množinu riešení
Pretože rovnica je druhého stupňa v ℝ, nebude mať riešenie, ak je delta menšia ako nula. Pri výpočte tejto hodnoty máme:
Prvé tvrdenie je teda pravdivé.
Existujú dve skutočné hodnoty m pre rovnicu, ktorá pripúšťa rovnaké korene.
Rovnica bude mať rovnaké skutočné korene, keď Δ = 0, to znamená:
- 4 m + 8 = 0
m = 2
Preto je tvrdenie nepravdivé, pretože existuje iba jedna hodnota m, kde sú korene skutočné a rovnaké.
V rovnici, ak ∆> 0, potom m môže nadobúdať iba kladné hodnoty.
Pre Δ> 0 máme:
Pretože v množine nekonečných reálnych čísel sú záporné čísla menšie ako 2, tvrdenie je tiež nepravdivé.
Alternatíva d: V-F-F
2) Coltec - UFMG - 2017
Laura musí vyriešiť „rovnicu“ 2. stupňa v „domácnosti“, ale uvedomuje si, že pri kopírovaní z tabule do zošita zabudla kopírovať koeficient x. Na vyriešenie rovnice to zaznamenal nasledovne: 4x2 + sekera + 9 = 0. Pretože vedela, že rovnica má iba jedno riešenie a toto bolo pozitívne, dokázala určiť hodnotu a, čo je
a) - 13
b) - 12
c) 12
d) 13
Keď má rovnica 2. stupňa jediné riešenie, delta sa z Bhaskarovho vzorca rovná nule. Takže aby som zistil hodnotu The, stačí vypočítať deltu a rovnať jej hodnotu nule.
Takže ak a = 12 alebo a = - 12, rovnica bude mať iba jeden koreň. Stále však musíme skontrolovať, ktorá z hodnôt The výsledkom bude pozitívny koreň.
Na to nájdeme koreň, pre hodnoty The.
Takže pre a = -12 bude mať rovnica iba jeden koreň a kladný.
Alternatíva b: -12
3) Enem - 2016
Tunel musí byť utesnený betónovým krytom. Prierez tunela a betónový kryt majú obrysy parabolického oblúka a rovnaké rozmery. Aby bolo možné určiť cenu práce, musí inžinier vypočítať plochu pod príslušným parabolickým oblúkom. Pomocou vodorovnej osi na úrovni zeme a osi symetrie paraboly ako zvislej osi získal túto rovnicu pre parabolu:
y = 9 - x2, kde x a y sa merajú v metroch.
Je známe, že plocha pod touto parabolou sa rovná 2/3 plochy obdĺžnika, ktorého rozmery sa rovnajú základni a výške vstupu do tunela.
Aká je plocha prednej strany betónového krytu v metroch štvorcových?
a) 18
b) 20
c) 36
d) 45
e) 54
Aby sme tento problém vyriešili, musíme nájsť miery základne a výšky vchodu do tunela, as problém nám hovorí, že plocha prednej strany sa rovná 2/3 plochy obdĺžnika s týmito rozmermi.
Tieto hodnoty sa nájdu z danej rovnice 2. stupňa. Parabola tejto rovnice má konkávnosť zníženú, pretože má koeficient The je negatívne. Nižšie je uvedený obrys tohto podobenstva.
Z grafu vidíme, že mieru základne tunela zistíme výpočtom koreňov rovnice. Už jeho výška sa bude rovnať miere vrcholu.
Pre výpočet koreňov pozorujeme, že rovnica 9 - x2 je neúplný, takže jeho korene môžeme nájsť tak, že rovnicu vyrovnáme na nulu a izolujeme x:
Preto bude meranie základne tunela rovné 6 m, to znamená vzdialenosť medzi dvoma koreňmi (-3 a 3).
Pri pohľade na graf vidíme, že vrcholový bod zodpovedá hodnote na osi y, že x sa rovná nule, takže máme:
Teraz, keď poznáme merania základne a výšky tunela, môžeme vypočítať jeho plochu:
Alternatíva c: 36
4) Cefet - RJ - 2014
Pre akú hodnotu „a“ má rovnica (x - 2). (2ax - 3) + (x - 2). (- ax + 1) = 0 dva korene a rovnaké?
do 1
b) 0
c) 1
d) 2
Aby rovnica 2. stupňa mala dva rovnaké korene, je potrebné, aby Δ = 0, teda b2-4ac = 0. Pred výpočtom delty musíme rovnicu napísať do tvaru ax2 + bx + c = 0.
Môžeme začať uplatnením distribučnej vlastnosti. Poznamenávame však, že (x - 2) sa opakuje v obidvoch termínoch, poďme to teda dokázať:
(x - 2) (2ax -3 - ax + 1) = 0
(x - 2) (os -2) = 0
Teraz pri distribúcii produktu máme:
sekera2 - 2x - 2ax + 4 = 0
Pri výpočte Δ a rovnaní nule nájdeme:
Takže keď a = 1, rovnica bude mať dva rovnaké korene.
Alternatíva c: 1
Ak sa chcete dozvedieť viac, prečítajte si tiež:
- Rovnica druhého stupňa
- Rovnica prvého stupňa
- Kvadratická funkcia
- Kvadratická funkcia - cvičenia
- Lineárna funkcia
- Súvisiace funkčné cvičenia
