Exponenciálna funkcia: 5 komentovaných cvičení

THE exponenciálna funkcia je každá funkcia ℝ v ℝ^*_+, definované f (x) = a^X, kde a je skutočné číslo, väčšie ako nula a rovné 1.

Využite komentované cvičenia na odstránenie všetkých svojich pochybností o tomto obsahu a nezabudnite si skontrolovať svoje vedomosti v vyriešených otázkach súťaží.

Komentované cvičenia

Cvičenie 1

Skupina biológov študuje vývoj konkrétnej kolónie baktérií a zistilo sa, že za ideálnych podmienok možno počet baktérií nájsť prostredníctvom výrazu N (t) = 2000. 2^0,5t, byť t v hodinách.

Ak vezmeme do úvahy tieto podmienky, ako dlho po začiatku pozorovania sa počet baktérií rovná 8192000?

Riešenie

V navrhovanej situácii poznáme počet baktérií, to znamená, že vieme, že N (t) = 8192000 a chceme zistiť hodnotu t. Stačí teda nahradiť túto hodnotu v danom výraze:

Na vyriešenie tejto rovnice napíšeme číslo 4096 do prvočíselných faktorov, pretože ak máme rovnakú základňu, môžeme sa rovnať exponentom. Preto, pri zohľadnení čísla, máme:

Kultúra bude teda obsahovať 8 192 000 baktérií po 1 dni (24 h) od začiatku pozorovania.

Cvičenie 2

Rádioaktívne materiály majú prirodzenú tendenciu časom rozkladať svoju rádioaktívnu hmotu. Čas potrebný na to, aby sa polovica jeho rádioaktívnej hmoty rozpadla, sa nazýva jeho polčas rozpadu.

Množstvo rádioaktívneho materiálu daného prvku je dané:

Byť,

N (t): množstvo rádioaktívneho materiálu (v gramoch) za daný čas.
N₀: počiatočné množstvo materiálu (v gramoch)
T: polčas (v rokoch)
t: čas (v rokoch)

Ak vezmeme do úvahy, že polčas rozpadu tohto prvku je 28 rokov, určite čas potrebný na zníženie rádioaktívneho materiálu na 25% jeho pôvodného množstva.

Riešenie

Pre navrhovanú situáciu A (t) = 0,25 A₀ = 1/4 A₀, takže môžeme napísať daný výraz a nahradiť T 28 rokmi, potom:

Preto bude trvať 56 rokov, kým sa množstvo rádioaktívneho materiálu zníži o 25%.

Súťažné otázky

1) Unesp - 2018

Ibuprofen je predpísaný liek proti bolesti a horúčke s polčasom približne 2 hodiny. To znamená, že napríklad po 2 hodinách po užití 200 mg ibuprofénu zostane v krvi pacienta iba 100 mg liečiva. Po ďalších 2 hodinách (celkovo 4 hodiny) zostane v krvi iba 50 mg atď. Ak pacient dostane 800 mg ibuprofénu každých 6 hodín, množstvo tohto lieku, ktoré zostane v krvi počas 14. hodiny po užití prvej dávky, bude

a) 12,50 mg
b) 456,25 mg
c) 114,28 mg
d) 6,25 mg
e) 537,50 mg

Pozri odpoveď

Pretože počiatočné množstvo liekov v krvi každé 2 hodiny je rozdelené na polovicu, môžeme túto situáciu znázorniť pomocou nasledujúcej schémy:

Pamätajte, že exponent sa v každej situácii rovná času delenému 2. Môžeme teda definovať množstvo liekov v krvi ako funkciu času pomocou nasledujúceho výrazu:

Byť

Q (t): množstvo v danej hodine
Q₀: počiatočná požitá suma
t: čas v hodinách

Ak vezmeme do úvahy, že 800 mg ibuprofénu sa užívalo každých 6 hodín, máme:

Aby sme zistili množstvo liekov v krvi 14 hodín po požití 1. dávky, musíme pridať množstvá týkajúce sa 1., 2. a 3. dávky. Pri výpočte týchto množstiev máme:

Množstvo 1. dávky zistíme po zohľadnení času 14 hodín, takže máme:

Pri druhej dávke, ako je znázornené na obrázku vyššie, bol čas 8 hodín. Nahradením tejto hodnoty máme:

Čas na 3. dávku bude iba 2 hodiny. Množstvo súvisiace s 3. dávkou bude potom:

Teraz, keď poznáme množstvá pre každú prijatú dávku, nájdeme celkové množstvo pridaním každého z nájdených množstiev:

Q_Celkom= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 mg

Alternatíva b) 456,25 mg

2) UERJ - 2013

Jazero používané na zásobovanie mesta bolo kontaminované po priemyselnej havárii a dosiahlo úroveň toxicity T₀, čo zodpovedá desaťnásobku počiatočnej úrovne.
Prečítajte si informácie uvedené nižšie.

• Prirodzený tok jazera umožňuje obnovovať 50% jeho objemu každých desať dní.
• Hladinu toxicity T (x) po x dňoch nehody možno vypočítať pomocou nasledujúcej rovnice:

Zvážte D za najmenší počet dní prerušenia dodávky vody, ktoré sú potrebné na to, aby sa toxicita vrátila na pôvodnú úroveň.
Ak log 2 = 0,3, hodnota D sa rovná:

a) 30
b) 32
c) 34
d) 36

Pozri odpoveď

Na návrat k pôvodnej úrovni toxicity je potrebné, aby:

Nahradením tejto hodnoty v danej funkcii máme:

Vynásobením „kríža“ vznikne rovnica:

2 ^0,1x= 10

Použime základný logaritmus 10 na obe strany a urobme z neho rovnicu 1. stupňa:

denník (2^0,1x) = denník 10

Pamätajte, že denník 10 v základe 10 sa rovná 1, bude naša rovnica vyzerať takto:

0,1x. log 2 = 1

Ak vezmeme do úvahy, že log 2 = 0,3 a nahradením tejto hodnoty v rovnici:

Najmenší počet dní, ktoré by mali byť pozastavené, je teda približne 34 dní.

Alternatíva c) 34

3) Fuvesp - 2018

Nech f: ℝ → ℝ ag: ℝ₊ → ℝ definované

resp.

Graf zloženej funkcie g_ºviera:

Pozri odpoveď

Hľadaný graf je zložená funkcia g_ºf, preto je prvým krokom určenie tejto funkcie. Za týmto účelom musíme nahradiť funkciu f (x) v x funkcie g (x). Vytvorením tejto náhrady nájdeme:

Pomocou vlastnosti logaritmu kvocientu a mocniny máme:

Všimnite si, že vyššie uvedená funkcia je typu ax + b, čo je afinná funkcia. Váš graf bude teda rovná čiara.

Sklon a sa rovná log₁₀ 5, čo je kladné číslo, takže graf sa bude zväčšovať. Týmto spôsobom môžeme vylúčiť možnosti b, c a e.

Zostávajú nám možnosti a a d, ale keď x = 0, máme gof = - log₁₀ 2, čo je záporná hodnota znázornená v grafe a.

Alternatíva a)

4) Unicamp - 2014

Nasledujúci graf ukazuje krivku biotického potenciálu q (t) pre populáciu mikroorganizmov v čase t.

Pretože a a b sú skutočné konštanty, funkcia, ktorá môže predstavovať tento potenciál, je

a) q (t) = pri + b
b) q (t) = ab^t
c) q (t) = o² + bt
d) q (t) = a + log _B t

Pozri odpoveď

Zo zobrazeného grafu môžeme zistiť, že keď t = 0, funkcia sa rovná 1000. Ďalej je tiež možné pozorovať, že funkcia nie je afinná, pretože graf nie je priamkou.

Keby funkcia bola typu q (t) = at²+ bt, keď t = 0, výsledok by sa rovnal nule a nie 1000. Nie je to teda ani kvadratická funkcia.

Ako sa prihlásiť_B0 nie je definované, ani by nemohlo mať ako odpoveď funkciu q (t) = a + log_Bt.

Jedinou možnosťou by teda bola funkcia q (t) = ab^t. Ak vezmeme do úvahy t = 0, funkcia bude q (t) = a, keďže a je konštantná hodnota, stačí, že sa rovná 1000, aby sa funkcia zmestila do daného grafu.

Alternatíva b) q (t) = ab^t

5) Enem (PPL) - 2015

Odborový zväz zamestnancov spoločnosti navrhuje, aby platová trieda platov bola 1 800,00 R $, čo navrhuje fixné percentuálne zvýšenie pre každý rok venovaný práci. Výraz, ktorý zodpovedá návrhu (-mám) platu, ako funkcia dĺžky služby (t) v rokoch, je s (t) = 1 800. (1,03)^t .

Podľa návrhu únie bude mzda profesionála z tejto spoločnosti s 2 rokmi služby v skutočnosti

a) 7 416,00
b) 3 819,24
c) 3 709,62
d) 3 708,00
e) 1 909,62.

Pozri odpoveď

Odborom navrhovaný výraz pre výpočet mzdy ako funkcie času zodpovedá exponenciálnej funkcii.

Ak chcete zistiť hodnotu platu v naznačenej situácii, vypočítajme hodnotu s, keď t = 2, ako je uvedené nižšie:

s (2) = 1800. (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

Alternatívne e) 1 909,62

Čítajte tiež:

• Exponenciálna funkcia
• Logaritmus
• Logaritmus - cvičenia
• Vlastnosti logaritmu
• Potencovanie
• potenciačné cvičenia
• Afinná funkcia
• Lineárna funkcia
• Súvisiace funkčné cvičenia
• Kvadratická funkcia
• Kvadratická funkcia - cvičenia
• Matematické vzorce