THE transponovaná matica matice M je matica Mt. ide o ústredie ktoré dostaneme keď prepíšeme maticu M zmenou polohy riadkov a stĺpcov, transformujúc prvý riadok M do prvého stĺpca Mt, druhý riadok M v druhom stĺpci Mt, a tak ďalej.
Ak matica M má m linky a č stĺpce, jeho transponovaná matica, tj. Mt, bude mať č linky a m stĺpce. Pre transponovanú maticu existujú špecifické vlastnosti.
Prečítajte si tiež: Čo je to trojuholníková matica?
Ako sa získa transponovaná matica?
Daná matica Amxn, poznáme ako maticu transponovanú z A do matice Atn x m. Ak chcete nájsť transponovanú maticu, stačí zmeniť polohu riadkov a stĺpcov matice A. Nech je prvý riadok matice A akýkoľvek, bude to prvý stĺpec transponovanej matice At, druhý riadok matice A bude druhým stĺpcom matice At, a tak ďalej.
Algebraicky, nech M = (mij)mxn , transponovaná matica M je Mt = (mji) n x m.
Príklad:
Nájdite maticu transponovanú z matice:
Matica M je matica 3x5, takže jej transpozícia bude 5x3. Aby sme našli transponovanú maticu, urobíme prvý riadok matice M prvým stĺpcom matice Mt.
Druhý riadok matice M bude druhým stĺpcom transponovanej matice:
Nakoniec sa tretí riadok matice M stane tretím stĺpcom matice M.t:
symetrická matica
Na základe konceptu transponovanej matice je možné definovať, čo je to symetrická matica. Matica je známa ako symetrická keď sa rovná vašej transponovanej matici, to znamená, že vzhľadom na maticu M, M = Mt.
Aby sa to stalo, matica musí byť štvorcová, čo znamená, že aby bola matica symetrická, musí sa počet riadkov rovnať počtu stĺpcov.
Teraz neprestávajte... Po reklame je toho viac;)
Príklad:
Keď analyzujeme výrazy nad hlavnou uhlopriečkou a výrazy pod hlavnou uhlopriečkou matice S, je možné vidieť, že existujú pojmy, ktoré sú rovnaké, ktorý ho označuje ako symetrický presne kvôli symetrii matice vo vzťahu k hlavnej uhlopriečke.
Ak nájdeme transpozíciu matice S, je možné vidieť túto St sa rovná S.
Ako S = St, táto matica je symetrická.
Pozri tiež: Ako vyriešiť lineárne systémy?
Vlastnosti transponovanej matice
1. nehnuteľnosť: transpozícia transponovanej matice sa rovná matici samotnej:
(M.t)t = M.
2. nehnuteľnosť: transpozícia súčtu medzi maticami sa rovná súčtu transpozície každej z matíc:
(M + N)t = M.t + Nt
3. nehnuteľnosť: transpozícia násobenie medzi dvoma maticami sa rovná násobeniu transpozície každej z matíc:
(M · N)t = M.t · Nt
4. nehnuteľnosť: O určujúci matice sa rovná determinantu transponovanej matice:
det (M) = det (Mt)
5. vlastnosť: konštanta časov transpozície matice sa rovná konštante časov transpozície matíc:
(kA)t = kAt
Inverzná matica
Koncept inverznej matice sa značne líši od konceptu transponovanej matice a je potrebné zdôrazniť rozdiel medzi nimi. Inverzná matica matice M je matica M-1, kde súčin medzi M a M maticami-1 sa rovná matici identity.
Príklad:
Ak sa chcete dozvedieť viac informácií o tomto type matice, prečítajte si náš text: Inverzná matica.
opačná matica
Ako ďalší prípad špeciálnej matice matica oproti matici M je matica -M. Poznáme ju ako opačnú maticu M = (mij) matica -M = (-mij). Opačná matica sa skladá z opačných členov matice M.
Cvičenia vyriešené
Otázka 1 - (Cesgranrio) Zvážte matice:
Označujeme At transponovaná matica A. Matica (AtA) - (B + Bt) é:
Rozhodnutie
Alternatíva C
Najskôr nájdeme maticu At a matica Bt:
Musíme teda:
Teraz vypočítame B + Bt:
Nakoniec vypočítame rozdiel medzi A · At a B + Bt:
Otázka 2 - (Prispôsobené Cotec) Dané matice A a B násobiace A · Bt, dostaneme:
Rozhodnutie
Alternatíva C
Najprv nájdeme transponovanú maticu B:
Produkt medzi maticami A a Bt je to rovnaké ako:
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky
Prajete si odkaz na tento text v školskej alebo akademickej práci? Pozri:
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Transponovaná matica"; Brazílska škola. Dostupné v: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-transposta.htm. Prístup k 28. júnu 2021.
Matrix, Determinant, Rozlíšenie systému, Cramerovo pravidlo, Aplikácia Cramerovho pravidla, Ako použiť Cramerovo pravidlo, Neznáme systému.
