Výpočet inverznej matice: vlastnosti a príklady

Inverzná matica alebo invertibilná matica je typ štvorcová matica, to znamená, že má rovnaký počet riadkov (m) a stĺpcov (n).

Nastáva, keď súčin dvoch matíc vedie k a matica identity rovnakého rádu (rovnaký počet riadkov a stĺpcov).

Na nájdenie inverznej hodnoty matice sa teda používa násobenie.

THE. B = B. A = ja_č (keď je matica B inverzná k matici A)

Čo je to však Matica identity?

THE Matica identity je definované, keď sú prvky hlavnej uhlopriečky rovné 1 a ostatné prvky sú rovné 0 (nula). Naznačuje to I._č:

Vlastnosti inverznej matice

• Pre každú maticu existuje iba jedna inverzia.
• Nie všetky matice majú inverznú maticu. Je invertovateľný iba vtedy, ak výsledkom výrobkov štvorcových matíc je matica identity (I_č)
• Inverzná matica inverzie zodpovedá matici samotnej: A = (A^-1)^-1
• Matica transponovaná z inverznej matice je tiež inverzná: (A^t) ^-1 = (A.^-1)^t
• Inverzná matica transponovanej matice zodpovedá transpozícii inverznej: (A^-1 THE^{t) -1}
• Inverzná matica matice identity sa rovná matici identity: I^-1 = Ja

Pozri tiež: Matice

Príklady inverznej matice

2x2 inverzná matica

3x3 inverzná matica

Krok za krokom: Ako vypočítať inverznú maticu?

Vieme, že ak sa súčin dvoch matíc rovná matici identity, má táto matica inverznú hodnotu.

Všimnite si, že ak je matica A inverzná k matici B, použije sa zápis: A^-1.

Príklad: Nájdite inverznú závislosť matice pod objednávkou 3x3.

Najskôr si musíme uvedomiť, že A. THE^-1 = I (Matica vynásobená jej inverznou hodnotou bude mať za následok maticu identity I_č).

Každý prvok prvého riadku prvej matice sa vynásobí každým stĺpcom druhej matice.

Preto sú prvky druhého radu prvej matice vynásobené stĺpcami druhého.

A nakoniec tretí riadok prvého so stĺpcami druhého:

Priradením prvkov k matici identity môžeme zistiť hodnoty:

a = 1
b = 0
c = 0

Ak poznáme tieto hodnoty, môžeme vypočítať ďalšie neznáme v matici. V treťom riadku a prvom stĺpci prvej matice máme + 2d = 0. Začnime teda hľadaním hodnoty dnahradením nájdených hodnôt:

1 + 2d = 0
2d = -1
d = -1/2

Rovnako tak v treťom riadku a druhom stĺpci nájdeme hodnotu a:

b + 2e = 0
0 + 2e = 0
2e = 0
e = 0/2
e = 0

Pokračovaním máme v treťom riadku tretieho stĺpca: c + 2f. Všimnite si, že druhá matica identity tejto rovnice sa nerovná nule, ale rovná sa 1.

c + 2f = 1
0 + 2f = 1
2f = 1
f = ½

Ak sa presunieme do druhého riadku a prvého stĺpca, nájdeme hodnotu g:

a + 3d + g = 0
1 + 3. (-1/2) + g = 0
1 - 3/2 + g = 0
g = -1 + 3/2
g = ½

V druhom riadku a druhom stĺpci nájdeme hodnotu H:

b + 3e + h = 1
0 + 3. 0 + h = 1
h = 1

Nakoniec zistíme hodnotu i rovnicou druhého riadku a tretieho stĺpca:

c + 3f + i = 0
0 + 3 (1/2) + i = 0
3/2 + i = 0
i = 3/2

Po objavení všetkých neznámych hodnôt môžeme nájsť všetky prvky, ktoré tvoria inverznú maticu A:

Cvičenia na prijímacie skúšky so spätnou väzbou

1. (Cefet-MG) Matica je inverzná k
Dá sa správne povedať, že rozdiel (x-y) sa rovná:

a) -8
b) -2
c) 2
d) 6
e) 8

Pozri odpoveď

Alternatíva e: 8

2. (UF Viçosa-MG) Nech matice sú:

Kde x a y sú reálne čísla a M je inverzná matica A. Produkt xy je teda:

a) 3/2
b) 2/3
c) 1/2
d) 3/4
e) 1/4

Pozri odpoveď

Alternatíva k: 3/2

3. (PUC-MG) Inverzná matica matice je to rovnaké ako:

)
B)
ç)
d)
a)

Pozri odpoveď

Alternatíva b:

Čítajte tiež:

• Matice - Cvičenia
• Matice a determinanty
• Typy matíc
• Transponovaná matica
• Násobenie matíc