О Диаграма на Вен, известен също като диаграма на Вен-Ойлер, е a начин за графика на набор, за това използваме затворена линия, която няма самопресичане и представяме елементите на множеството вътре в тази линия. Идеята на диаграмата е да улесни разбирането в основни зададени операции, като например: взаимовръзка и принадлежност, съюз и пресичане, разлика и допълващ набор.
Прочетете и вие: Операции между цели числа: знайте свойствата
Представления на диаграмата на Вен
Както е показано, диаграмата на Вен се състои от затворена (не се преплита) линия, върху която „поставяме“ елементите на въпросния набор, така че представляват един или няколко набора едновременно. Вижте примерите:
• Единичен комплект
Ние можем да ви представим с помощта една затворена линия, например, нека представим множеството A = {1, 3, 5, 7, 9}:
• Между два комплекта
Трябва да направим две графики като тази, представляваща единичния набор. От операциите с множества обаче знаем, че: дадени два множества, те могат или не могат да се пресичат. Ако двата набора не се пресичат, те се именуват несвързани множества.
Пример 1
Начертайте, използвайки диаграмата на Вен, множествата A = {a, b, c, d, e, f} и B = {d, e f, g, h, i}.
Имайте предвид, че пресечната точка е частта от диаграмата, която принадлежи на двата множества, точно както в дефиницията.
A ∩ B = {d, e, f}
Пример 2
Начертайте наборите C = {a, b, c, d} и D = {e, f, g, h}.
Имайте предвид, че пресечната точка на тези набори е празна, тъй като тя няма нито един елемент, който принадлежи едновременно и на двата, т.е.
C ∩ D = {}
• Между три комплекта
Идеята зад представянето, използващо диаграмата на Вен за три множества, е подобна на представянето между два множества. В този смисъл множествата могат да бъдат несвързани един по един, тоест нямат никакво пресичане; или те могат да бъдат разделени две по две, т.е. само две от тях се пресичат; или всички се пресичат.
Пример
Представяне, използвайки диаграмата на Venn, на множества A = {a, b, c, d}, B = {d, e, f, g} и C = {d, e, c, h}.
Вижте също: Важни набори обозначения
членски отношения
Отношението за членство ни позволява да кажем дали даден елемент принадлежи или не към определен набор. За това използваме символите:
Помислете за множеството A = {a, b, c, d}. Анализирайки го, осъзнаваме това жнапример не му принадлежи, така че в диаграмата на Вен имаме:
Връзка с включването
Връзката с включването ни позволява да кажем дали даден набор се съдържа в друг набор. Когато даден набор се съдържа в друг, ние казваме, че е a подмножество. За това използваме символите:
Пример за това е връзката между множеството от естествени числа и набор от цели числа. Знаем, че множеството от естествени числа е подмножество на множеството от цели числа, т.е. множеството натурали се съдържа в множеството цели числа.
Операции между множества
Основните операции между два или повече набора са: единство, пресичане и разлика между два комплекта.
• Съюз
Съюзът между два множества се формира чрез обединяване на елементите, съдържащи се във всеки набор, с други думи: разглеждат се всички елементи на двете множества. Виж:
Помислете за множествата A = {1, 2, 3, 4} и B = {3, 4, 5, 6, 7}. Съюзът между тях се дава от:
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
В диаграмата на Вен ние засенчихме обединената част, тоест и двата набора проверете:
• Пресичане
Пресичането е ново числово множество, образувано от елементи, които принадлежат едновременно на други множества. Най-общо казано, пресечната точка между множествата в диаграмата на Вен се дава от общата част на участващите графи. Виж:
Разглеждайки отново множествата A = {1, 2, 3, 4} и B = {3, 4, 5, 6, 7}, имаме, че елементите, които принадлежат едновременно към множеството A и към множеството B :
A ∩ B = {3,4}
• Разлика между два комплекта
Да разгледаме два набора C и D, разликата между тях (C - D) ще бъде нов набор, образуван от елементи, принадлежащи на C, а не принадлежащи на D. Като цяло можем да представим тази разлика, като използваме диаграмата на Вен, както следва:
решени упражнения
Въпрос 1 - (Ufal) На следващата фигура са представени неразделими множества A, B и C. Цветната област представлява набора:
а) C - (A ∩ B)
б) (A ∩ B) - C
в) (A U B) - C
г) A U B U C
д) A ∩ B ∩ C
Решение
Алтернатива b.
Спомняйки си операциите с множества, знаем, че пресичането между две множества във диаграмата на Вен се дава от общата за тях част. Като разглеждаме множества A, B и C и оцветяваме пресечната точка A ∩ B, имаме:
Заглавие: Решение въпрос1 - част 1
Имайте предвид, че ако премахнем елементите от множеството C, получаваме цветната част, поискана от упражнението, тоест първоначално трябва да маркираме пресечната точка и след това да премахнем елементите от C.
(A ∩ B) - C
въпрос 2 - (Uerj) Деца в училище участваха в кампания за ваксинация срещу детска парализа и морбили. След кампанията беше установено, че 80% от децата са получили ваксината за парализа, 90% са получили ваксината срещу морбили, а 5% не са получили нито едното, нито другото.
Определете процента на децата в това училище, които са получили и двете ваксини.
Решение
Тъй като процентът на децата, получили и двете ваксини, е неизвестен, нека първоначално го наречем x. Не забравяйте, че не трябва да оперираме със символа%, а да запишем процентите на упражненията в десетичната или дробната им форма.
80 % → 0,8
90% → 0,9
5% → 0,05
100% → 1
За да разберем общия брой деца, които са приемали само ваксината срещу парализа, извадихме проверения процент (80%) от процента на тези, които са приемали и двете (x), и същото трябва да се направи за деца, които са взели само ваксината срещу дребна шарка. Поради това:
Присъединявайки се към всички деца, процентът ще бъде 100%, следователно:
0,9 - x + x + 0,8 - x + 0,05 = 1
1,75 - х = 1
- x = 1 - 1,75
(–1) · - x = - 0,75 · (–1)
x = 0,75
x = 75%
Следователно 75% от децата в училището са имали и двете ваксини.
От Л.до Робсън Луиз
Учител по математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm
