разбирането на комплекти е основната основа за изучаване на алгебра и понятия от голямо значение в математиката, като функции и неравенства. Нотацията, която използваме за набори, винаги е главна буква от нашата азбука (напр. Набор A или набор B).
От гледна точка на представяне на множества, може да се направи от диаграма на Вен, чрез просто описание на характеристиките на неговите елементи, чрез изброяване на елементите или чрез описание на техните свойства. Когато работите с проблеми, които включват множества, има ситуации, които изискват изпълнението на операции между множества, като обединението, пресечната точка и разликата. Ще проучим ли всичко това в детайли?
Вижте също: Числови изрази - научете се да ги решавате!
Нотация и представяне на множества
За представяне на множество винаги използваме a главна буква на азбуката, а елементите винаги са между ключове и са разделени със запетая. За да представим набора от четни числа, по-големи от 1 и по-малки от 20, например, използваме следната нотация: P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
Форми на представяне на множества
представяне чрез изброяване: можем да изброим нейните елементи, тоест да направим списък, винаги между скоби. Вижте пример:
A = {1,5,9,12,14,20}
описващи характеристиките: можем просто да опишем характеристиката на набора. Например, нека X е набор, имаме, че X = {x е положително число, кратно на 5}; Y: е наборът от месеци в годината.
Диаграма на Вен: множествата също могат да бъдат представени под формата на диаграма, известна като a диаграма на Вен, което е по-ефективно представяне за извършване на операции.
Пример:
Като се има предвид множеството A = {1,2,3,4,5}, можем да го представим в следната диаграма на Вен:
Елементи на набор и членство
Като се има предвид всеки елемент, можем да кажем, че елементът принадлежи към комплекта или не принадлежи към този набор. За да представим това членство по-бързо, използваме символите
(чете се като принадлежащо) и ∉ (чете се като непринадлежащо). Например, нека P е множеството от номера на двойки, можем да кажем, че 7 ∉ P и че 12 П.
Не спирайте сега... Има още след рекламата;)
Равенство на множества
Сравнението между множествата е неизбежно, така че можем да кажем, че два множества са равни или не, като проверяваме всеки от неговите елементи. Нека A = {0,1,3,4,8} и B = {8,4,3,1,0}, дори ако елементите са в различен ред, можем да кажем, че множествата A и B са равни: A = B.
Връзка с включването
Когато сравняваме две групи, можем да срещнем няколко взаимоотношения и една от тях е връзката за включване. За тази връзка трябва да знаем някои символи:
⊃ → съдържа ⊂→ се съдържа
⊅ → не съдържа ⊄→не се съдържа
Съвет: Отварящата страна на символа винаги ще бъде обърната към по-големия набор. |
Когато всички елементи на множество A също принадлежат на множество B, ние казваме, че A ⊂ Б или че А се съдържа в Б. Например A = {1,2,3} и B = {1,2,3,4,5,6}. Също така е възможно представянето да се извърши чрез диаграма на Вен, това би изглеждало така:
А се съдържа в B:
A ⊂ B
Подгрупи
Когато приобщаваща връзка, тоест множеството A се съдържа в множеството B, можем да кажем, че A е подмножество на B. Подмножеството остава набор и a set може да има множество подмножества, изграден от принадлежащите му елементи.
Например: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} има като подмножества множествата B: {1,2,3}; С: {1,3,5,7}; D: {1} и дори множеството A {1,2,3,4,5,6,7,8}, тоест A е подмножество от себе си.
унитарен комплект
Както вече подсказва името, именно този набор е този има само един елемент, като набора D: {1} показан по-рано. Предвид множеството B: {1,2,3}, имаме подмножествата {1}, {2} и {3}, които са всички набори от единици.
ВНИМАНИЕ: Наборът E: {0} също е унитарен набор, тъй като има един елемент „0“ и не е празен набор.
Прочетете също: Набор от цели числа - елементи и характеристики
празен комплект
С още по-внушително име празният набор няма елементи и е подмножество на който и да е набор. За представяне на празния набор има две възможни представяния, те са V: {} или символът Ø.
Комплекти части
Познаваме като набори от части всички възможни подмножества от даден набор. Нека A: {1,2,3,4}, можем да изброим всички подмножества от този набор A, започвайки от множествата, които нямат елементи (празни) и след това тези, които имат един, два, три и четири елемента, съответно.
празен комплект: { };
Единични комплекти: {1}; {2};{3}; {4}.
Комплекти с два елемента: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
комплекти с три елемента: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
Комплект с четири елемента: {1,2,3,4}.
Следователно можем да опишем набора от части на A по този начин:
P: {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}}
За да разберем на колко части е възможно да разделим набор, използваме формулата:
n [P (A)] = 2не
Броят на частите на A се изчислява чрез a потентност база 2 повдигната до не, на какво не е броят на елементите в набора.
Да разгледаме множеството A: {1,2,3,4}, което има четири елемента. Общият брой на възможните подмножества от този набор е 24 =16.
Прочетете също: Какъв е наборът от ирационални числа?
Краен и безкраен набор
Когато работим с множества, ние намираме множества, които са ограничен (краен) и тези, които са неограничен (безкраен). Комплектът от четни или нечетни числанапример е безкраен и, за да го представим, описваме последователно някои от неговите елементи, така че е възможно да се предскаже какви ще бъдат следващите елементи и ние поставяме елипси в Финал.
I: {1,3,5,7,9,11 ...}
P: {2,4,6,8,10, ...}
В краен набор обаче не поставяме елипсите в края, тъй като той има определено начало и край.
О: {1,2,3,4}.
вселена набор
О вселена набор, обозначен с U, се определя като множеството, образувано от всички елементи, които трябва да бъдат разгледани в рамките на даден проблем. Всеки елемент принадлежи към множеството на вселената и всеки набор се съдържа в множеството на вселената.
Операции със комплекти
Операциите с множества са: обединение, пресичане и разлика.
Пресичане на множества
Пресичане възниква, когато елементите принадлежат едновременно на един или повече набори. Когато пишем A∩B, ние търсим елементи, които принадлежат както на множество A, така и на набор B.
Пример:
Да разгледаме A = {1,2,3,4,5,6} и B = {2,4,6,7,8}, елементите, които принадлежат както на множество A, така и на B, са: A∩B = {2, 4,6}. Представянето на тази операция се извършва по следния начин:
A∩B
Когато множествата нямат общи елементи, те са известни като несвързани множества.
A∩B = Ø
разлика между множествата
изчислете разлика между два комплекта е да се търсят елементи, които принадлежат само на един от двата набора. Например A - B има за отговор набор, съставен от елементи, които принадлежат към множество A и не принадлежат към множество B.
Пример: A: {1,2,3,4,5,6} и B: {2,4,6,7,8}. Имайте предвид, че A ∩ B = {2,4,6}, така че имаме това:
а) A - B = {1,3,5}
б) B - A = {7,8}
Единство
Обединението на два или повече набора е присъединяване към вашите условия. Ако има елементи, които се повтарят и в двата набора, те се записват само веднъж. Например: A = {1,2,3,4,5} и B = {4,5,6,7,10,14}. За да представим обединението, използваме символа (гласи: Обединение с B).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
За да научите повече за тези операции и да проверите няколко решени упражнения, прочетете: Операции със комплекти.
Законите на Морган
Нека A и B са два множества и нека U е вселенски набор, има две свойства, които са дадени от законите на Morgan, а именно:
(A U B)° С = A° С ∩B° С
(A ∩ B)° С = A° С U B° С
Пример:
Предвид множествата:
U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
О: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
Б: {5.10,15,20}
Нека проверим, че (A U B)° С = A° С ∩B° С. И така, трябва да:
A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Следователно, (A U B)° С={1,3,7,9,11,13,17,19}
За да проверим верността на равенството, нека анализираме операция A° С ∩B° С:
НА° С:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
Б.° С:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Тогава, НА° С ∩B° С ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(A U B)° С = A° С ∩B° С
решени упражнения
01) Помислете за U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} и B: {4,5,6, 7,8,9}. Покажете, че (A ∩ B)° С = A° С U B° С.
Резолюция:
1-ва стъпка: намери (A ∩ B)° С. За това имаме, че A ∩ B = {4,5,6}, така че (A ∩ B)° С ={1,2,3,7,8,9,10}.
2-ра стъпка: намери си° С U B° С. НА° С: {7,8,9,10} и Б° С: {1,2,3,10}, така че A° С U B° С = {1,2,3,7,8,9,19}.
Показано е, че (A ∩ B)° С = A° С U B° С.
02) Знаейки, че A е набор от четни числа от 1 до 20, какъв е общият брой на подмножествата, които можем да изградим от елементите на този набор?
Резолюция:
Нека P е описаното множество, имаме това P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Следователно броят на елементите на P е 10.
Съгласно теорията за множеството части, броят на възможните подмножества на P е:
210=1024
От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика
(PUC-Рио-2009) В училище със 100 ученици 80 като шоколадов сладолед, 70 като сладолед и 60 като двата вкуса. Колко ученици не харесват нито един от вкусовете?
(PUC) В проучване на пазара беше установено, че 15 души използват поне един от продуктите A или B. Знаейки, че 10 от тези хора не използват продукт B и 2 от тези хора не използват продукт A, колко хора използват продукти A и B?
